数学建模课后答案

第一章

4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(a)和g(a)。f和g都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a，f(a)和g(a)中至少有一个不为零。不妨设g(0)?0,f(0)?0。当椅子旋转90°后，对角线互换，

f(π/2)?0,g(π/2)?0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证

明如下的数学命题：

已知f(a)和g(a)是a的连续函数，对任意a,f(a)?g(a)?0,且g(0)?f(π/2)?0，

f(0)?0,g(π/2)?0。证明存在a0，使f(a0)?g(a0)?0

证：令h(a)?f(a)?g(a),则h(0)?0和h(π/2)?0， 由f和g的连续性知h也是连续函数。 根据连续函数的基本性质，

必存在a0（0＜a0＜π/2）使h(a0)?0，即f(a0)?g(a0)?0 因为f(a0)?g(a0)?0，所以f(a0)?g(a0)?0

8

第二章

7.

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设

q(x)?q0?kx (1)k是产量增加一个单位时成本的降低 ，

销售量x与价格p呈线性关系x?a?bp,a,b?0 (2) 收入等于销售量乘以价格p :f(x)?px (3) 利润r(x)?f(x)?q(x) (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出

r(x)??bp2?pa?kbp?q0?ka

当a,b,q0,k给定后容易求出使利润达到最大的定价p*为

p*?q0?kaa? 2?2kb2b6.根据最优定价模型 f(x)?px x是销售量 p是价格，成本q随着时间增长，q?q0??t,?为增长率，q0为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系x?a?bp,a,b?0.

利润u(x)?f(x)?q(x).假设前一半销售量的销售价格为p1，后一半销售量的销售价格为p2。

前期利润 u(p1)??0[p1?q(t)](a?bp1)dt 后期利润 u(p2)??T/2[p2?q(t)](a?bp2)dt 总利润 U?u(p1)?u(p2) 由

?U?U?0,?0可得到最优价格: ?p1?p2TT/2p1?1?T13?T[a?b(q0?)] P2?[a?b(q0?)] 2b42b4

前期销售量 后期销售量

?T、20T（a?bp1)dt (a?p2)dt

?T/2总销售量 Q0=aT?bT(p1?p2) 2在销售量约束条件下U的最大值点为

aQ?T~aQ?T~ ,P2??0? p1??0?bbT8bbT8 7.

(1)雨水淋遍全身，s?2(ab?bc?ac)?2*(1.5*0.5?0.5*0.2?1.5*0.2)?2.2m2 以最大速度跑步，所需时间tmin?d/vm?1000/5?200s

(2)顶部淋雨量Q1?bcdwcos?/v

雨速水平分量 usin?,水平方向合速度 usin??v 迎面淋雨量 Q2?abdw(usin??v)/uv 总淋雨量 Q?Q1?Q2

，Q?1.55L 当v?vm时，Q最小，??0，Q?1.15L;??30。

(3)合速度为

|us??iv|n总淋雨量

nnu(uss??iv)bdwnu(cc??oas?)s?iavn?bdwcuc??o?,v?us?i??uvuvQ??

a(v?uss?)ibdwnu(cc??oas?)s?iavn?bdwcuc??o?,v?us?i?vuv?u若ccos??asin??0,即tan??c/a,则v?usin?时Q最小，

否则v?vm时Q最小，当??30。，tan??2/15,v?2m/s,Q?0.24L最小

）（4）雨从背面吹来，满足tan??c/a(a?1.5m,c?0.2m,??7.6。，v?usin?,Q

最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。

（5）侧面淋雨，本质没有变化

第四章

1.（1）设证券A B C D E的金额分别为 x1,x2,x3,x4,x5

Max0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5s.t.x2?x3?x4?4x1?x2?x3?x4?x5?102x1?2x2?x3?x4?5x5?1.4,即6x1?6x2?4x3?4x4?36x5?0

x1?x2?x3?x4?x59x1?15x2?4x3?3x4?2x5?5,即4x1?10x2?x3?2x4?3x5?0x1?x2?x3?x4?x5x1,x2,x3,x4,x5?0

(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

(3)由（1）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券C的税前收益可减少0.112%，故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

6.设y1,z1分别是产品A是来自混合池和原料丙的吨数，y2,z2分别是产品B中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为x1,x2,x4,

优化目标是总利润最大，

7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量，设第i种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为

r1,r2,r3,r4,该模式使用xi次，即使用该模式切割xi根原料钢管（i=1,2,3,4)且切

割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。

第五章

?di??si??i,i(0)?i0??dt1、（1）SIR模型?,s(t)曲线单调递减。

?ds???si,s(0)?s0??dt若s0?1?,当

1??s?s0时，1di?0,i(t)增加； dtdi?0,i(t)达到最大值；

?dt1di 当s?时，?0,i(t)减少，且i??0

?dt1di(2)若s0?,?0,i(t)单调递减至0

?dt

当s?时，

9.（1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率?（t)?1;（2）提倡晚婚晚育：

(r?r1)e生育模式h(r)????(?)??1?r?r1?,??,r?r1取??2，n得rc?r1?n?2，r1意味着晚2婚，n增加意味着晚育，这里的r1,rc增大（3）生育第二胎的规定：?(t)?1,生育模式h(r)曲线更加扁平。

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