2008高考广东数学理科试卷含详细解答（全word版）

2008年普通高等学校招生全国统一考

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析

广东佛山南海区南海中学 钱耀周

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（ C ）

A．(1，5) 【解析】z?B．(1，3)

C．(1，5)

D．(1，3)

a2?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?5

1，S4?20，则S6?（ D ） 2D．48

2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?A．16

B．24

C．36

【解析】S4?2?6d?20，?d?3，故S6?3?15d?48 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）

A．24

B．18

C．16

D．12

表1

【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64?一年级 二年级 三年级 y x 女生 373 z 男生 377 370 2?16 8?2x?y≤40，??x?2y≤50，4．若变量x，y满足?则z?3x?2y的最大值是（ C ）

?x≥0，?y≥0，?A．90 B．80 C．70 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.

D．40

5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）

H B A I C G

侧视 B D

F 图1

A C B

E A．

B． B

B B E E

F 图2

D

E

E C．

E D．

【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.

6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）

A．(?p)?q

B．p?q

C．(?p)?(?q)

D．(?p)?(?q)

【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q) 为真命题

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7．设a?R，若函数y?eax?3x，x?R有大于零的极值点，则（ B ）

A．a??3

B．a??3

C．a??

13D．a??

13【解析】f'(x)?3?aeax，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?aeax?0有正根。当有

f'(x)?3?aeax?0成立时,显然有a?0,此时x?为a??3.

13ln(?)，由x?0我们马上就能得到参数a的范围aaAC与BD交于点O，E是线段OD的中点，8．在平行四边形ABCD中，若AE的延长线与CD交于点F．

????????????AC?a，BD?b，则AF?（ B ）

12b

33【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC?1:2,然后利用向量的加减法则易

A．

B．

C．

D．a?得答案B.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）

9．阅读图3的程序框图，若输入m?4，n?6，则输出a? ，i?

（注：框图中的赋值符号“?”也可以写成“?”或“:?”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算， 而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍 数12，即此时有i?3。

10．已知(1?kx2)6（k是正整数）的展开式中，x的系数小于120， 则k? ．

【解析】(1?kx)按二项式定理展开的通项为Tr?1?C(kx)?Ckx， 844我们知道x的系数为C6k?15k4，即15k?120，也即k4?8，

411a?b 4221a?b 3311a?b 24开始 输入m，n 8i?1 a?m?i 26r62rr6r2ri?i?1 n整除a? 是 输出a，i 结束 图3

否 而k是正整数，故k只能取1。

11．经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线 方程是 ．

【解析】易知点C为(?1,0)，而直线与x?y?0垂直，我们设待求的 直线的方程为y?x?b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的 值为b?1，故待求的直线的方程为x?y?1?0。

12．已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是 ． 【解析】f(x)?sinx?sinxcosx?21?cos2x12??sin2x,此时可得函数的最小正周期T???。 222第 2 页 共 7 页

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二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为?co?s?，3??4cos???≥0，0≤???，则曲线C1与C2交点的极坐标为 ．

2???π????23??cos??3???【解析】我们通过联立解方程组?,即两曲线的交点为 (23,)。(??0,0???)解得??6??4cos?2????6?14．（不等式选讲选做题）已知a?R，若关于x的方程x2?x?a?是 ． 【解析】方程即a?1?a?0有实根，则a的取值范围411?a??x2?x?[0,],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a44的取值范围为0,?4?

15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC是圆O的直径，PC与圆

O交于点B，PB?1，则圆O的半径R? ． 【解析】依题意，我们知道?PBA??PAC,由相似三角形的性质我们有

?1???PAPB?,即2RABPA?AB2?22?12R???3。

2PB2?1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点M?，?．

?π1??32?（1）求f(x)的解析式；（2）已知?，???0，?，且f(?)?【解析】（1）依题意有A?1，则f(将点M(x)?sin(x)??，

??π?2?312，f(?)?，求f(???)的值． 513?1?1,)代入得sin(??)?，而0????，3232??5??????，???，故f(x)?sin(x?)?cosx； 3622（2）依题意有cos??34125312?,cos??，而?,??(0,)，?sin??1?()2?,sin??1?()2?， 51325513133124556f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin??????。

5135136517．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品

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4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为?．

（1）求?的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即?的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】?的所有可能取值有6，2，1，-2；P(??6)?12650?0.63，P(??2)??0.25 200200P(??1)?204?0.1，P(???2)??0.02 200200故?的分布列为：

? P

6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02 （2）E??6?0.63?2?0.25?1?0.1?(?2)?0.02?4.34 （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为

E(x)?6?0.7?2?(1?0.7?0.01?x)?(?2)?0.01?4.76?x(0?x?0.29)

依题意，E(x)?4.73，即4.76?x?4.73，解得x?0.03 所以三等品率最多为3% 18．（本小题满分14分）

x2y2设b?0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x2?8(y?b)．如图4所示，过点F(0，b?2)作

2bbx轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角

三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． y 12F 【解析】（1）由x2?8(y?b)得y?x?b，

8G 当y?b?2得x??4，?G点的坐标为(4,b?2)，y'?1x，y'|x?4?1， 4A F1 B O 图4

x 过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4即y?x?b?2，

令y?0得x?2?b，?F1点的坐标为(2?b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，

x2?2?b?b即b?1，即椭圆和抛物线的方程分别为?y2?1和x2?8(y?1)；

2（2）?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一个， 同理? 以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个。

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若以?APB为直角，设P点坐标为(x,12x?1)，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和(2,0)， 8????????11452PA?PB?x2?2?(x2?1)2?x?x?1?0。

8644关于x2的二次方程有一大于零的解，?x有两解，即以?APB为直角的Rt?ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得?ABP为直角三角形。

19．（本小题满分14分）

?1，x?1?设k?R，函数f(x)??1?x，F(x)?f(x)?kx，x?R，试讨论函数F(x)的单调性．

??x?1，x≥1??1?kx,?【解析】F(x)?f(x)?kx??1?x??x?1?kx,?对于F(x)??1?k,2?x?1,?(1?x)F'(x)??1???k,x?1,

??2x?1x?1,

x?1,1?kx(x?1)， 1?x当k?0时，函数F(x)在(??,1)上是增函数； 当k?0时，函数F(x)在(??,1?11)上是减函数，在(1?,1)上是增函数； kk对于F(x)??1?k(x?1)，

2x?1当k?0时，函数F(x)在1,???上是减函数； 当k?0时，函数F(x)在?1,1?20．（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，

???1?1??上是减函数，在1?,???上是增函数。 2?2?4k??4k??ABD?60?，?BDC?45?，PD垂直底面ABCD，PD?22R，E，F分别是PB，CD上的点，

PEDF?，过点E作BC的平行线交PC于G． EBFC（1）求BD与平面ABP所成角?的正弦值；（2）证明：△EFG是直角三角形；

PE1?时，求△EFG的面积． （3）当

EB2且

【解析】（1）在Rt?BAD中，??ABD?60，?AB?R,AD?3R 而PD垂直底面ABCD，PA??P

E G A B C

图5

D F

PD2?AD2?(22R)2?(3R)2?11R

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