线性赋范空间泛函有界性

目 录

1引言 ............................................................................................................................................ 1 2线性赋范空间....................................................................................................................... 1

2.1预备知识............................................................................................................................. 2 2.2线性赋范空间的一些性质 ................................................................................................. 3

3线性有界泛函 ...................................................................................................................... 4

3.1线性有界泛函有关概念 ..................................................................................................... 4 3.2线性有界泛函与线性连续泛函 ......................................................................................... 6 3.3共轭空间............................................................................................................................. 8

4线性有界算子 .................................................................................................................... 11

4.1线性有界算子有关概念 ................................................................................................... 11 4.2线性有界算子与线性连续算子 ....................................................................................... 13 4.3线性有界算子空间 ........................................................................................................... 14

参考文献 ................................................................................................................................... 15 致 谢 ........................................................................................................................................... 16

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线性赋范空间泛函有界性研究

数学系本1104班 薛菊峰 指导教师： 何瑞强

摘 要：本文主要研究线性赋范空间泛函有界性。从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的概念；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出相关泛函理论的推导及应用；最后，将线性有界泛函理论推广到线性有界算子空间。

关键词：线性赋范空间，线性有界泛函，线性连续泛函，线性有界算子。

The Study of the Functional Boundedness in Linear Normed Space

Xue JuFeng

Class 1104, Mathematics Department

Tutor: He RuiQiang

Abstract: This paper mainly studies the functional boundedness in linear normed space. Carries on the discussion from three aspects: First of all, this paper expounds the linear normed space functional boundedness, functional continuity and related concepts; Then, researching the relationship of the linear normed space functional boundedness and continuity, giving derivation and application of the relevant functional theory according to the equivalence of them; Finally, the bounded linear functional theory are generalized to space of bounded linear operator .

Keywords: linear normed space, bounded linear functional, linear continuous functionals , bounded linear operator.

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1引言

有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在《线性赋范空间中几个概念的探讨》证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在《关于泛函分析中定理的推广》对于赋范空间X和Y，从X到Y的全体线性有界算子B?X,Y?关于算子范数亦成为赋范空间，且知当Y是完备空间时，B?X,Y?也是完备的。在更广泛的空间类-赋准P范数空间中，推广了上述的结果；李晓爱在《线性赋范空间上泛函列的一致连续性定理》定义了在线性赋范空间X上泛函序列?fn?强一致连续，弱一致连续和一致收敛的概念，得出了泛函序列?fn?强一致连续必弱一致连续；并证明了定义在线性赋范空间X上的泛函序列?fn?弱一致连续且又是一致收敛序列时，在X上必强一致连续；定义在线性赋范空间X的有界子集D上的强一致连续泛函序列?fn?，若满足fn?f?0?n???，则序列是一致收敛的。但总的说来讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对线性赋范空间泛函有界性进行阐述。

本文主要探讨了线性赋范空间泛函有界性的一些性质以及泛函有界性在相关泛函理论方面的推导，全文共分为四个部分。第1章介绍了线性赋范空间泛函有界性问题提出的背景，以及本论文所要研究的主要内容；第2章阐述了线性赋范空间泛函有界性概念以及其它与有界性相关的性质；第3章研究了线性赋范空间泛函有界性与泛函连续性之间的等价关系，并给出相关的例题进行两者之间的等价变换；第4章讨论线性赋范空间泛函有界性推广到线性有界算子空间的结论。

2线性赋范空间

在距离空间中我们引入了点列的极限，点列的极限是微积分学中数列极限在抽象空间中的推广，但是只有距离结构没有代数结构的空间在应用时受到许多的限制。事实上，应用最多的空间如lp、Rn、C?a,b?等等。这些空间中的元素不

1

仅可以定义距离还可以定义某些代数运算，本部分主要介绍线性赋范空间，它较距离空间有明显的优越性。 2.1预备知识

命题2.1.1 线性赋范空间：如果X是实数域（或复数域）K上的线性空间，在X上定义映射：X?R1：x??,如果?x,y?X,??K，满足以下三条： ?1?正定性：x?0,x?0?x?0

?2?正齐性：?x??x

?3?三角不等式：x?y?x?y

那么我们称x为x的范数，称?x,??为线性赋范空间，简记为X。一般我们称定义中的条件?1?、?2?、?3?为范数公理。

???p 例1：l??xx??x1,x2,?,xn??xi????是线性赋范空间。

i?1??p分析 ：?x,y?lp,x??x1,x2,?,xn,??,y??y1,y2,?yn,??,??K 加法：x?y??x1?y1,x2?y2,?? 数乘：?x???x1,?x2?,?xn?? 从而lp 是线性空间。

?p?定义x???xi??i?1??1p满足范数公理。

故：lp是线性赋范空间。

例2：C??a,b?在通常加法，数乘意义下构成线性空间，在C??a,b?上定义范数x?maxx?t?，可以验证x?maxx?t?满足范数公理，所以C??a,b?是线性赋范

t???a,b?t???a,b?空间。

例3：设Lp??a,b?上p方L可积函数的全体，其中几乎处处相?a,b??p?1?为?等的函数视为同一函数，几乎处处为零的函数看作零元。对通常的加法、数乘

2

在L?L??a,b??p?1?构成线性空间，?a,b??p?1?中定义范数：x?pp??bax?t?dtp?1p容易验证x是范数，故Lp??a,b??p?1?是线性赋范空间。

引理2.1.1 线性赋范空间中的极限：依范数收敛等价于依距离收敛。若X是线性赋范空间，?xn?是X中的点列，x?X,若 limxn?x?0就称?xn?依范数收

n??敛于x。（简称?xn?收敛于x），记为 limxn?x或xn?x?n???.

n??2.2线性赋范空间的一些性质

引理2.2.1 如果X是线性赋范空间，?xn?、?yn??X

?1?有界性：如果xn?x?n???.则?xn?有界。

?2?线性运算的连续性：如果xn?x,yn?y?n???

则xn?yn?x?y,?xn??x?n???.其中?为常数。

x是x的连续函数。

?3?范数的连续性：范数

证明：(1)因为：xn=xn?x?x?xn?x?x,xn?x?0?n???,取??1由

xn?x?0?n???,故?N,当n?N时有xn?x?1，所以：当n?N时有

xn?x?1取M?max?x1,x2,?,xN,x?1?,对每个n,有d?xn,???xn?M,即?xn?有界。

?2?由于：xn?x,yn?y?n???，则我们就有：limxn?x?0

n??limyn?y?0.从而有： limxn?yn?x?y,等价于xn?yn?x?y?n???.

n??n??lim?xn??x??limxn?x?0,‖等价于?xn??x?n???.

n??n??定理2.2.1 如果X是线性赋范空间，d是由范数导致的距离，那么

?x,y,z??k,有 0?X,

?1?平移不变性：d?x?z0,y?z0??d?x,y?. ?2?绝对齐次性：d??x,?y???d?x,y?.

3

证明：?1?d?x?z0,y?z0???x?z0???y?z0??x?y?d?x,y?. (2)d??x,?y???x??y??x?y??d?x,y?.

3线性有界泛函

线性赋范空间泛函有界性在不少问题的研究中常常起着重要的作用，又因其与连续泛函有着密切的联系，所以对其进行系统的归纳、总结是十分必要的。 3.1线性有界泛函有关概念

命题3.1.1 线性泛函：如果X是实（或复）数域K上的赋范空间，D是X上的线性子空间，f:D?K,若f满足：

??,??Kx,y?D,有f??x??y???f?x???f?y?.

那么就称f是D上的一个线性泛函，称D为f的定义域，f?D???f?x?x?D?为

f的值域。

若K?R1，那么称f是实线性泛函； 若K?C， 那么称f是复线性泛函； 若D?X， 那么称f是X上的线性泛函。

命题3.1.2 线性有界：如果f:D??X??R1是线性泛函，若存在M?0，对任何x?D，有f?x??Mx，那么称f是D上的线性有界泛函。 例1：区别线性有界与微积分中的有界概念的不同。

解：f?x??x在R1上是无界函数，但是作为R1到R1的线性泛函都是线性有界泛函。事实上：??,??R1,x,y?R1, f??x??y???x??y??f?x???f?y?. 那么?M?1,?x?R1,f?x??x?Mx?Mx.所以f?x?是R1上的线性有界泛函。

例2：求实n维欧氏空间Rn上的线性有界泛函。

解： 设a??a1,a2,?,an?是Rn中的固定向量，?x??x1,x2,?,xn??Rn，令

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f?x???aixi则f是Rn上的线性有界泛函。

i?1n证明：?1?f：Rn?R1

?2???,??K,x,y?R,?f?x???y????x??ii?yii?1

nna

???aixi???aiyi??f?x???f?y?.i?1i?1nnn12nnn

12??2?2? ?3?f?x???aixi??aixi???ai???xi?

i?1i?1?i?1??i?1? ?ax

取：M?a,?x?Rn,?M?a,使f?x??Mx.线性有界泛函 由?1?、?2?、?3?可知：f?x?是Rn上的线性有界泛函。

例3：在C?a,b?上定义泛函，?x?t??C?a,b?,y0?t?在?a,b?上连续，证明：

f?x???x?t?y0?t?dt和g?x???x?a???x?b?是线性有界的。??，?不全为零?

ab证明：?m,n?k,?x,y?C?a,b?

?1? f?mx?ny????mx?ny??t?y0?t?dt?m?x?t?y0?t?dt?n?y?t?y0?t?dt

aaabbb ?mf?x??nf?y?.所以：f?x?是线性的。 ?x?C?a,b?,则x?maxx?t?，那么：f?x??a?t?b?bax?t?y0?t?dt??x?t?y0?t?dt?

ab

??maxx?t??y?t?dt?x?y?t?dt.令M??bbaa?t?b0a0bay0?t?dt,则f?x??Mx.从而：f?x?是

有界的。

?2? g?mx?ny????mx?a??ny?a?????mx?b??ny?b???m??x?a???x?b???

n??y?a???y?b???mg?x??ng?y?.所以：g?x?是线性的。 g?x???x?a???x?b???x?a???x?b???maxx?t???maxx?t?

a?t?ba?t?b ??????maxx?t???????x.令M????,则g?x??Mx.从而：

a?t?b 5

g?x?是有界的。

例4：证明通过f?x??xn?n固定?,x?xj?l?，定义l?上为线性泛函，问：f?x?是有界的吗？

证明：?1?f:l??R1是泛函；

?2???,??k,?x,y?l?,则f??x??y???xn??yn??f?x???f?y?.

所以f?x?是线性的；

xi?x,即?M?1?0，使f?x??Mx. ?3??x?l?,f?x??xn?supi?1?? 所以f?x?是有界的。

命题3.1.3 线性连续：如果f:D??X??R1（或复数域C）是线性泛函且

f?x?在D上连续，那么就称f?x?是D上的线性连续泛函。

定理3.1.1 若D是X的线性子空间，f:D??X??R1，那么：f?x?在D上连续等价于f?x?在某一点x0?D处连续。

证明：必要性：f?x?在D上连续，：明显的我们有：f?x?在x0?D连续。 充分性：设?xn??D,x?D,xn?x?n???,则xn?x?x0?x0

?n???.f?x?在x0?D连续.于是有f?xn?x?x0??f?xn??f?x??f?x0? ?n???.那么有f?xn??f?x??n???即f?x?在x点连续，因此f?x?在D上连

续。

特别提醒：线性泛函f?x?在x=0连续，那么就有：f?x?在D上连续。 3.2线性有界泛函与线性连续泛函

定理3.2.1 如果f?x?是D上的线性泛函，则f?x?在D上连续等价于f?x?在D上有界。

证明：必要性：用反证法，假设f?x?在D上无界，?n?0,?xn?D,使

f?xn??nxn.令 xn?

f?xn?1xn那么xn??0?n???.而fxn?nnxnnxn??

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?11f?xn??nxn?1这与f?x?在D上连续相矛盾，所以有f?x?在Dnxnnxn上有界。

充分性：设f?x?在D上有界，则 ?M?0,?xn?D,xn?0?n???有

f?xn??Mxn?0?n???从而有在x0?0点连续，由定理3.1.1可知：f?x?在

D上连续。

例1： ?x?X,定义??x??0，则?是X上的线性连续泛函，称为零泛函。 例2：对x?C?令f?x???x?t?dt，则 ?x,y?C?b?，?a，?a,b?,有f??x??y?abbbb

????x?t???y?t???dt???ax?t?dt???ay?t?dt??f?x???f?y?所以：f?x?是a?C??a,b?上的线性泛函。

又由于f?x???x?t?dt??x?t?dt?maxx?t??aaa?t?bbbbadt??b?a?x.所以f?x?是C??a,b?上的线性有界泛函。

例3：设T??x?y?,证明：如果T有界，则N?T???xTx?0,x?X?是闭集。请问反之如何?

? 证明：如果T有界，那么T连续，则?x0??N?T??,?xn?N?T?,使xn?x0,所以有：Tx0?limTxn?0.即x0?N?T?.所以：N?T???xTx?0,x?X?是闭集。

n??反之不真。例如：取X?C??a,b?,Y?C?a,b?,Tx?x??t?,则T:X?Y连续，若Tx?0, 则x?t??c,N?T??xx?t??c?R1是闭集，但T是无界算子。

例4：设X1,X2是线性赋范空间，Tn:x1?x2?n?1,2,3,????是线性有界算子。证明：如果Tn?T，则对任何给定闭球中的一切x，存在N，当n?N时，有

??Tnx?Tx??.

证明：设M是给定的闭球并置于球B?xx?R之中，由于Tn?T,那么对于??0，存在N,当n?N时有Tn?T????R,所以?x?B有：

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Tnx?Tx?Tn?Tx??RR??.即命题得证。

3.3共轭空间

命题3.3.1 泛函范数：如果f?X?，定义f?x?的范数为f?supx?0f?x?x可

以验证：f满足范数的三条公理，事实上有：

?1?正定性： ?f?x???,有f?x??2?正齐性：对??K，有?f?x??sup?0,f?x??0?f?x???.

?supx???f?x?x.

?f?x?x

x????f?x?

??3?三角不等式性：?f1,f2?X?sup,?f1?f2??x??supx???supx???f1?f2??x?x

f1?x??f2?x?xf1?x?x?supx??f2?x?x

x???f1?f2.

所以X?是赋范空间，我们称X?为X的共轭空间。 结论：?1?当f?X?,x?X时，有：f?x??fx。 证明：因为：f?supx??f?x?x所以：f?x?是

f?x?x所以 有：?x???的上界，

f?f?x?x?x???从而：f?x??fx。

?2?如果f?x?是线性有界泛函，那么f?x?的范数有如下的等价形式： ‖f‖?supf?x?或f?supf?x?

x?1x?1 证明：f?supx??f?x?x?x??supf??x??x????

?supf?y??supf?y??supfx?supfy?1y?1y?1y?1y?f。

定理3.3.1 X?的完备性：如果X是线性赋范空间，那么其共轭空间X?是

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Banach空间。

证明：设?fn?是X?的基本列，要证?fn?收敛于f?X?，由基本列的定义可知，???0,?N,当m,n?N时，有fm?fn??，于是 ?x?X,有

fm?x??fn?x??fm?fnx??x （1）

由此可知?fn?是R1中的基本列，由R1的完备性知：?fn?在R1中收敛，设

fn?x?=f?x?, x?X,可以验证f?x?是线性有界泛函。

f??x??y??limfn??x??y???limfn?x???limfn?y???f?x???f?y?.

n??n??n??取N1，当m?n?N1时，fm?fn?1则fm?fn?1,?x?X有fm?x??fmx

??fn?1?x，让n?N固定，令m??, 有f?x???fn?1?x，这就证明了f是

X上的线性有界泛函即f?X?。

下面证明：?fn?依范数收敛于f?x?，在（1）式中令m??, ，n?N固定得：f?x??fn?x???x ，由范数定义可知：当n?N时，f?fn??即

fn?f?n???。

命题3.3.2 几个具体空间上的的共轭空间： ?1?实n维欧氏空间Rn的共轭空间是Rn自身。 ?2?lp的共轭空间为lq（1?p???,11。 ??1，p、q互为共轭指数）

pq

?11????1 ?3?LP?a,b?（1?P??? ）的共轭空间是Lq?a,b???pq?。

?? ?4?C?a，b?。 b? 的共轭空间是V0?a， 定理3.3.2 Hahn-Banach（延拓定理）：如果X是线性赋范空间，G是X的线性子空间，f是G上的任一线性有界泛函，那么可以作出 X上线性有界泛函

F，满足：?1?当x?G时，F?x??f?x?

?2?FX?fG

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其中FX表示F作为X上的线性泛函的范数，fG表示G上线性泛函的范数。

特别指出：泛恩-巴拿赫定理既保证了最小范数延拓的存在性又指出了这个 最佳延拓的范数就是f的范数

推论3.3.1 有界线性泛函足够多定理：如果X是一线性赋范空间，对任何，

x0?X，x0?0，那么必存在X上的线性连续泛函f满足：

?1?f?x0??x0 ?2?f?1

tx0t?k?，则G是由x0张成的子空间，其中x0?X，x0?0，证明：若G??那么在G上定义泛函如下：??x??tx0 ， x?tx0?G，显然有??x0??x0，

??x??tx0?tx0?x， ?x?tx0?G，从而有：?G?1，根据定理3.3.2，可

X以把G上的线性有界泛函??x?延拓到X上得到f，且有f??G?1。

推论3.3.2 如果X是线性赋范空间，G是X上的子空间，x0?X,d?x0,G??

infx0?y?d?0, 那么必存在X上的有界线性泛函f，满足：

y?G ?1? ?x?G,f?x??0. ?2? f?x0??d. ?3? f?1.

证明：设G1?span?G,x0?，由于x0?G，故G1中的元素y可唯一地表示为

y?x?tx0, x?G。在G1上作泛函?，??y????x?tx0??td,??，??R1

?x1,y1?G,???x1??y1?????x??tx0??x??tx0?????????x??????tx0?

??????td??td??td????x1?????y1?，因此??x?是线性泛函且

??x0????0?1?x0??1?d?d。?x?G,??x????x?0?x0??0，?y?x?tx0?G1

??1??x?G,t?R1。因为y?x?tx0?t?x??0??t?x???td，

????

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??y????x?tx0??td?td?y.于是??x?是有界的，且?G1?1

另一方面：由d的定义，则可取一列?xn??G,使d?limxn?x0于是有：

n????xn?x????xn????x0?????x0??d??d??G1G1xn?x0，当n?? 时，有

d，从而有?G1?1，所以?G1?1，由Hahn-Banach定理，把泛函?延

拓到全空间X得f，则f满足： ?1? ?x?G,f?x????x??0,； ?2?f?x0????x0??d. ?3?fX??G1?1.

命题3.3.3 延拓定理的两点应用：

?1?Ries定理：若f??C?0,1??,那么存在唯一的g?V0?0,1?,使 ?x?C?a,b?,有z?f?x???x?t?dg?t?，且有f?V01?g?。

01 ?2?推广的刘维尔定理：如果X是复的巴拿赫空间，x:C?X是有界整函数，那么 ：?z?C,x?z?为常数。

证明：由于x:C?X是有界的，那么?z?C有f?x?z???fx?z??fM，所以f?x?是有界的整函数，由刘维尔定理可知： ?z0?C,?z?C,有

f?x?z???f?x?z0??，即f?x?z??x?z0???0.由定理3.3.2可知：x?z??x?z0??0即x?z??x?z0?。

4线性有界算子

4.1线性有界算子有关概念

命题4.1.1 算子：若X1，X2是同一数域K上的两个线性赋范空间，D?X1为某一子集，若存在一种对应的法则T，使对任何x?D有唯一的y?Tx?X2与之对应，那么就称T是X1中D到X2的算子。（或者称为映射）

命题4.1.2 线性算子：如果X1，X2是同一数域K上的两个线性赋范空间，D

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是X1的线性子空间，设T:D?X2，若对于任何X1，X2?D，?,??K，有

T??x1??x2???T?x1???T?x2?，那么称T为D上的线性算子。D为T上的线性算子，记为D?T?；R?T???yy?Tx,x?D?T??是T的值域。

N?T???ke?r。 T????x?DTx????T?1???那么称T为零空间（或核） 注：?1?R?T?是Y的线性子空间，N?T?是X的线性子空间。 ?2?如果dimD?T???? ，那么dimR?T? ≤dimD?T?

命题4.1.3 算子有界：如果T:D??X1??X2是线性算子，那么称T在D上有界是指?M?0，使得对任何x?D有，Tx?Mx。

例1：T:C?a,b??C?a,b?，定义为： ?x?C?a,b? ，Tx??x???d?，?t??a,b?at证明：T是线性有界算子。

证明：?1?x1,x2?C?a,b?，?，? 为实数，那么有T??x1??x2??

. ????x1?????x2????d????x1???d????x2???d?=?Tx1??Tx2。

atttata ?2?Tx?max?x???d??max?x???d??xaat??a,b?t??a,b?t?bad???b?a?x

由?1?、?2?可知：T是线性有界算子。

例2：证明m?n矩阵A??aij?是线性有界算子。

证明：设x??x1,x2.,???,xn??Rn，y??y1,y2,???,ym??Rm，定义：Rn?Rm的算子A，那么A是线性有界算子。由矩阵定义易知：A是线性算子。

??下面我们证明A是有界的。取Rn中的范数为x???xi2?，y?Ax用分量表示

?i?1?n12为yi??aijxj?i?1,2,???,m?，应用柯西不等式：

j?1n?n??Ax?y???ax??ijj?i?1?j?1?22m211??m?nn2?2???mn2?222????????????aij???xj??????aij?x。 ?i?1?j?1??j?1???i?1j?1????2 12

2让M???aij，可知：A是线性有界算子。

i?1j?1mnxxx? 例3：证明：通过x??x1,x2,???,xn,?????y???11,22,???,nn,????定义的算子

??T:l??l?是线性有界的。

证明：T显然关于一般定义上的加法和数乘是线性的。下面我们证明T是有界的。

?x?由于：Tx?y?sup?n??sup?xn??x,取M?1，则我们有Tx?1?x，

n?1?n?n?1从而T是线性有界算子。

命题4.1.4 算子连续：如果D?D?X1??X2，x0?D，若对任意??0，存在??0，使得当x?x0??时，有Tx?Tx0??，那么称T在x0点连续；如果T在D上的每一点处都是连续的，那么我们就称T在D上是连续的。 4.2线性有界算子与线性连续算子

定理4.2.1 线性有界与线性连续：如果X1，X2是同一数域K上的线性赋范空间，D?X1是线性子空间，T:D?X2的线性算子，那么T在D上连续等价于

T在D上有界。（这就是说在研究线性赋范空间有界性时可以研究其上的连续性）

例1：如果X是线性赋范空间，? 是某一常数， ?x?X，令Tx?ax，证明：T是X?X的线性连续算子。

证明: ?x,y?X,?,??K，有T??x??y??a??x??y?=??ax????ay??

?Tx??Ty。即T为线性算子，又因为：Tx?ax?ax，所以：T是线性有界算子。由定理4.2.1可知：T是线性连续算子。

例2：用C1?0，1?表示?0，1?上的连续可微函数的全体，那么C1?0，1?是C?0，1?的线性子空间定义T:C1?a,b??C?0，1?如下：?x?C1?0，1?，Tx?x??t?，证明：T是 线性无界算子。

证明：取xn?t??tn，那么xn?maxtn?1，但是Txnntn?1?n，所以T是线

t??0,1? 13

性无界算子。 4.3线性有界算子空间

命题4.3.1 线性算子空间：如果X1，X2是同一数域K上的线性赋范空间，那么把X1?X2的一切线性算子构成的集合称为X1?X2的线性算子空间，记为

?X1?X2?即：?X1?X2????。 TT是X1?X2的线性算子 命题4.3.2 线性有界算子空间：如果X,Y是数域K上的赋范线性空间，那么X到Y中的有界线性算子的全体记作：B?X,Y?。

例1：设T?B?X,Y?，证明：对?r?1，存在x?B??,r?使得Tx?T。 证明：对?r?1，由

yTTyTr?T，可取y?S?x?，使得Ty?Tr，

令x?

，从而有: Tx?T。

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参考文献

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[2] 夏道行等.实变函数论与泛函分析[M].北京:人民教育出版社,1979. [3] 张恭庆等.泛函分析讲义（上册）[M].北京:北京大学出版社,1987. [4] 李广民等.应用泛函分析原理[M].陕西:西安电子科技大学出版社,2003. [5] 李晓爱.线性赋范空间上泛函列的一致连续性定理[J].延安大学学报(自然科 学版):2008:01:9-10.

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[10] 叶怀安.实变与泛函[M].安徽:中国科学技术大学出版社,1991. [11] 赵焕光.泛函分析入门[M].四川:四川大学出版社,2005.

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致 谢

非常感谢何瑞强老师在我大学阶段尤其毕业设计阶段给我的指导，从最初的论文选题，到资料收集，到问题的设计，到提纲的拟定，到论文定稿，他给了我耐心的指导和很多的鼓励。在大学期间，何老师给我们上的各种课程，给予我们很多的知识，体现何老师渊博的专业知识和严谨的治学态度；在修改论文时总是牺牲他的休息时间，他的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩，在生活中何老师的为人对我的论文写作乃至我人生都有一定的积极影响，在此我向他表示最诚挚的谢意。

其次，我要感谢所有任课老师在这四年来给自己悉心教导，是他们教给我专业知识，教导我如何学习，教会我如何做人。正是由于他们的指导，我才能在各个方面取得显著的进步，在此我向他们表示衷心的感谢，并祝老师们培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！

再次，我要感谢和我一同度过大学学习生涯的同窗好友闫芹娟、邓美兰、曹海琴、程文、王瑷玲、景娟对我的关心与帮助。

最后，我要感谢我的家人，他们的鼓励与关怀给我的生活提供了无穷的动力与源泉，促使我不断进步。

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