小学奥数图形的面积

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直线型面积计算（1）

图形abaahchadhADabaCBb周长公式周长=2(a+b)周长=4a周长=a+b+cbc周长=2(a+b)面积公式面积=ab面积=a21面积=ah2面积=ah名称长方形正方形三角形平行四边形梯形菱形1周长=a+b+c+d面积=(a+b)h2周长=4a1面积=AC?BD2

对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

③夹在一组平行线之间的等积变形，如S?ACD?S?BCD；反之，如果S?ACD?S?BCD，则可知直线AB平行于CD．

ABCD

【例 1】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，

求阴影部分的面积．

AEBHDGAEBHDG

【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．

连接BH、CH． ∵AE?EB， ∴S?AEH?S?BEH．

同理，S?BFH?S?CFH，S?CGH=S?DGH， ∴S阴影?12S长方形ABCD?12?56?28FCFC（平方厘米）．

［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：

⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．

［分析］ ⑴如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；

AEAAFCB

分别是对应线段的中点；答案不唯一；

BDCB是BCC⑵如右图，D、E 的三等分点，F、G

AAFAGBDECBDCBDC

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．

【例 2】如图，三角形ABC的面积为1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE的面积是多少？

(1)(2)(3)(4)(5)ABCDEABCDE

【分析】连接CE．

∵AE?3AB，∴BE?2AB，S?BCE?2S?ACB．

又∵BD?2BC，∴S?BDE?2S?BCE?4S?ABC?4．

【例 3】如图，三角形ABC中，DC?2BD，CE?3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

AEB 【分析】 ∵CE?3AE，∴AC?4AE,S?ADC?4S?ADE;

又∵DC?2BD,∴BC?32DCDC,S?ABC?32S?ADC?6S?ADE?120（平方厘米）．

［铺垫］如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

AAEB甲乙DCEBDC

［分析］连接AD．

∵BE?3,AE?6，

∴BE?13又∵BD?DC?4,

AB,S?BDE?13S?ABD．

∴S?ABD?∴S?BDE?∴S甲?151213S?ABC,

16S?ABCS?ABD?,

S乙．

［拓展］如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，AD?6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平

方厘米？

AFEB［分析］ ∵F是AC的中点,

∴S?ABF?12S?ABC12AFECDBC

，，

14?12?8?6?6同理S?BEF?∴S?BEF?14S?ABFS?ABC?（平方厘米）．

【例 4】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使CE?2BC；延长CA至F，使AF?3AC，

求三角形DEF的面积．

FFABDCEBDACE

【分析】本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．

连接AE、CD．

∵

S?ABCS?DBC1?，S?ABC?1， 1∴S?DBC?1．

同理可得其它，最后三角形DEF的面积?18．

［拓展］如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四边形ABCD的面积．

HDAECBGHDCBGFAEF

［分析］连接BD.设S?DCB?S1，S?DAB?S2

∵CB?BF，

CB 又∵DC?CG,

∴S?CDF?CB?BFS?CDB?2S?CDB,

∴S?CFG?S?CDF?2S1，

同理S?AEH?2S2，

∴S?CFG?S?AEH?2SABCD

连接AC，同理S?HDG?S?BEF?2SABCD

∴SEFGH?S?CFG?S?AEH?S?HDG?S?BEF?SABCD?5SABCD， SABCD?15SEFGH?1315（平方米）．

［拓展］如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？

AFCAFCD BEDBE

［分析］连接对角线AE． ∵ADEF是长方形 ∴S?ADE?S?AEF?∴∴

DBDE?S?ADBS?ADE?3812S?ADEFFCEF

?S?ACFS?AEF?12，

?12BEDE?DE?DB∴S?BECDE8EF1515????16? 2822，

CE?FE?CFEF

∴S?ABC?S?ADEF?S?ADB?S?ACF?S?CBE?132．

［拓展］如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

AGDFCAGDFC

311110S长方形ABCDBEBE［分析］连接AE，FE．

因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S?DEF?(??)S长方形ABCD?532．

16S长方形ABCD因为S?AED?以长方形

12ABCDS长方形ABCD，AG:GF?1210:1?5:1，所以S?AGD?5S?GDF?10，所以S?AFD?12．因为S?AFD?，所

的面积是72平方厘米．

【例 5】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF?FC，并且甲、

乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

A乙DF甲BE丙C12

【分析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF?FC．所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE与CD平行，四边形

ADCE是平行四边形，阴影部分的面积?平行四边形ADCE的面积的

25?12.8，所以阴影部分的面积?乙的面积?2．从而阴影

部分的面积?32?（平方厘米）．

［拓展］如图，在平行四边形ABCD中，BE?EC，CF?2FD．求阴影面积与空白面积的比．

AHFGBECD

14S四边形ABCD［分析］因为BE?EC，CF?2FD，所以S?ABE?因为AD?2BE，所以AG?2GE，所以S?BGE?13S?ABE?18112，S?ADF?1616S四边形ABCD．

S四边形ABCD，S?ABG?23S?ABE?S四边形ABCD．

同理可得，S?ADH?因为S?BCD?13S四边形ABCDS四边形ABCD，S?DHF?124S四边形ABCD．

12?112?124?16?18)S四边形ABCD?23S四边形ABCD12S四边形ABCD，所以空白部分的面积?(，所以阴影部分的面积是

．

12:?1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:233．

【例 6】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

FABGDECDEAFBGC 【分析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半．

证明：连接BE．（我们通过?ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）

∵在平行四边形ABCD中，S?ABE?∴S?ABG?12S?ABCD1212?AB?AB边上的高，

（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．

，∴平行四边形ABCD与AEGF面积相等．

同理，S?ABE?S?AEGF

［拓展］如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

EAFDGCBFDAEB

［分析］本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面

积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG.（我们通过?ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）．

∵在正方形ABCD中，S?ABG?∴S?ABG?12S?ABCD1212?AB?ABGC边上的高，

（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）

同理，S?ABG?SEFGB．

∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽?8?8?10?6.4（厘米）．

【例 7】如图，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，求图中三角形BFD的面积为多少平方厘米？

ADGHFADGHFBCEBCE【分析】连接CF．

∵BD，CF都是正方形的对角线

∴?DBC??FCE?45?，BD∥CF．

∴?BFD与?BCD同底等高，S?BFD?S?BCD?12

?10?10?50(平方厘米) ．

【例 8】（03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．

ABGEDF4CABGEDF4C

【分析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD（见右上图），可以看

出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4?4?2?8．

［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，

求三角形CDH的面积．

AFHGB

［分析］通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来

求．

直接找三角形HDC与三角形AFH的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD和四边形DEFG是正方形”这一条件．我

们不妨将它们都补上梯形DEFH这一块．寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．

【例 9】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S?ADE?1，求?BEF 的面积．

EDCCEDABCEFDAB ［分析］本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思

想.连接AC．

∵AB∥CD，∴S?ADE?S?ACE．同理AD∥BC，∴S?ACF?S?ABF． BA又S?ACF?S?ACE?S?AEF，S?ABF?S?BEF?S?AEF，∴ S?ACE?S?BEF，即

S?BEF?S?ADE?1．

【例10】（小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD是7?4的长方形，

10?2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差．

【分析】直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到．如

性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个差容易求出，那么问题就解决了．法1：连结BE（见右图）．三角形BCO与三角形EFO都加上三角形化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差．所求为4?(10?7)?2?2?(10?7)?2?3．

法2：连结CF（见右图）．三角形BCO与三角形EFO都加上三角形化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差．所求为4?(10?7)?2?2?(10?7)?2?3．

法3：延长BC交GF于H（见右图）．三角形BCO与三角形EFO都来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差．所求为(4?2)?(10?7)?2?2?(10?7)?3．

法4：延长AB，FE交于H（见右图）．三角形BCO与三角形EFO原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之4?(?10?7?)(?．4 ???

【例11】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分

49．那么图中阴影部分的面积是多少？

DGADGADGADGCOBEFDEFG是

COBEFBEO果利用差不变图形的面积之，则原来的问题转

CBCOEFCFO，则原来的问题转

加上梯形COFH，则原

OEFADGBHCOHEF都加上梯形BHEO，则差．所求为

别是13，35，

A4935DEB13

【分析】三角形ABC的面积?三角形CDE的面积?(13?35?49)?长方形面积?阴影部分面积；又因为三角形ABC的面积?三角形

CDEC的面积?12长方形面积，所以可得：

阴影部分面积?13?35?49?97．

1．如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘米，求三角形ZCY的面积．

DZAYCB

1212?12?DB【分析】 ∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴ZY?又∵ABCD是长方形，∴S?ZCY?

14S?DCB?14?，S?ZCY?14S?DCB，

S?ABCD?24 (平方厘米)．

2．如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是

多少？

ADB【分析】连接BE.∵AE?又∵AD?

15ABAEC13ECDB ∴S?ABE?15S?ABE?1EC31S?ABC. S?ABC

∴S?ADE?15，∴S?ABC?15S?ADE?15.

3．两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，DG?4厘米，求阴影部分的面积．

ADGFE

【分析】组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了．用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方

形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(52?4)?3?16（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长?(16?4)?2?10（厘米），小正方形边长?(16?4)?2?6（厘米）．阴影部分面积

?S?BDG?S?BFG?4?10?2?6?6?2?38（平方厘米）．

4．在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角

形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积．

EAFGD

［分析］因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差

不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD的面积等于10?8?2?10?50平方厘米．

5．右图中，CA?AB?4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米，求CD的长．

DCEAB

【分析】连结CB．三角形DCB的面积为4?4?2?2?6平方厘米，CD?6?2?4?3厘米．

直线型面积计算（2）

在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：

模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 ②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

aADS1S2S4OS4S3BbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．

模型三：相似三角形性质：

2AEAFDDB①

ADAB?AEACFG?DEBC?ECAFAG

BGC

；

②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关

的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形

【例 9】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2B1G3DC 【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，S?BGC?1?2?3，那么S?BGC?6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB∥CD，对角线AC，BD交于O，已知?AOB与?BOC的

面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

A25OD35B 【分析】根据梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?BOC?a2:ab?25:35，可得a:b?5:，再根据梯形蝴蝶定理，

S?AOB:S?DOC?a:b?5:7?25:49，所以S?DOC?49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为25?35?35?49?144(平方

2222C厘米)．

［铺垫］梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的

形AOD与三角形BOC的面积之比．

23，求三角

ADO

［分析］根据梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?BOC?ab:b2?2:3，可以求出a:b?2:3，

再根据梯形蝴蝶定理，S?AOD:S?BOC?a2:b2?22:32?4:9．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，

所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 11】

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

13，且

AO?2AOBDAHOCBDG

ABCD【分析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型 C

靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S?ABD:S?BCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3， ∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G． ∵S?ABD?∴AH?1313S?BCD，

CG13，，

∴S?AOD?1S?DOC∴AO?CO，

3∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

【例 12】

在边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，DF?2FC．求四边形ABGD的面积．

ABABGDFECDGFEC 【分析】题目要求四边形ABGD的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅

助线，会想到画对角线，又注意到E、F都是三等分点，如果连接EF，因为EF∥BD，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．

因为BE?2EC，DF?2FC，所以BD:EF?3:1．

根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE的面积为：?1?1?2112?13?13?49，