2016中考数学八大题型集训：专题复习（七） 几何图形综合题 题型

专题复习(七) 几何图形综合题

几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．

题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题

类型1 操作探究题

(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.

(1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ的大小； (3)求CQ的长．

【思路点拨】 (1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．

【解答】 (1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°.

∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°. ∴△APP′是等腰直角三角形．

(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，

∴PP′＝2.

∵P′B＝PD＝10，PB＝22，

222

∴P′B＝PP′＋PB. ∴∠P′PB＝90°.

∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′＝45°.

∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B作BM⊥AQ于M.

∵∠BPQ＝45°，∴△PMB为等腰直角三角形． 由已知，BP＝22，∴BM＝PM＝2. ∴AM＝AP＋PM＝3. 在Rt△ABM中，

AB＝AM＋BM＝3＋2＝13. AMAB313

∵cos∠QAB＝＝，即＝，

ABAQ13AQ

2

2

2

2

13∴AQ＝. 3

222在Rt△ABQ中，BQ＝AQ－AB＝13.

3213

∴QC＝BC－BQ＝13－13＝.

33

1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．

2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．

3

1．(2015·自贡)在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C.

5

图1 图2

(1)如图1，当点B1在线段BA延长线上时． ①求证：BB1∥CA1；

②求△AB1C的面积；

(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．

2．(2013·自贡)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.

(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；

(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？

(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.

(1)求△ABC的面积；

(2)设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

(3)已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

类型2 动态探究题

4

(2015·乐山)如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝. 3

(1)求CD边的长；

(2)如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q(点Q运动到点B停止)，设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

【思路点拨】 (1)分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解； (2)利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解． 【解答】 (1)分别延长AD、BC相交于E.

4

在Rt△ABE中，∵tanA＝，AB＝3，∴BE＝4.

3∵BC＝2，∴EC＝2.

在Rt△ABE中，AE＝AB＋BE＝3＋4＝5.

3DC6

∴sinE＝＝.∴CD＝.

5EC5(2)∵∠B＝∠ADC＝90°，∠E＝∠E，

∴∠ECD＝∠A. 4

∴tan∠ECD＝tanA＝.

3∴

EDED48＝＝，解得ED＝. CD635

5

2

2

2

2

如图4，

由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ， EDDC＝.∴EPPQ8

＋x5

85

6563＝，即PQ＝＋x. PQ54

∴

∵S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC， 11

∴y＝PQ·EP－DC·ED

221638168 ＝(＋x)(＋x)－×× 2545255326 ＝x＋x.

85

8如图5，当Q点到达B点时，EC＝BC，DC∥PQ，可证明△DCE≌△HQC，从而得CH＝ED＝，

58

∴自变量x的取值方范围为：0＜x≤.

5

动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．

1．(2013·成都)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC的同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.

(1)求证：AC＝AD＋CE；

(2)若AD＝3，AB＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q. DP

①当点P与A，B两点不重合时，求的值；

PQ

②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)

2．(2015·攀枝花)如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6，如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；

(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

3．(2015·绵阳)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.

(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；

(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH；

(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．

类型3 类比探究题 (2015·成都)已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.

(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF；

②若BE＝1，AE＝2，求CE的长．

ABEF

(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且＝＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

BCFC(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，

试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)

【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF，进而证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求EF，进而求CE；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k

22

的式子表示出CE，BF，并建立CE，BF的等量关系，从而求出k；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m，n，p的关系．

【解答】 (1)①∵∠ACE＋∠ECB＝45°，∠BCF＋∠ECB＝45°， ∴∠ACE＝∠BCF.

ACCE

又∵＝＝2，∴△CAE∽△CBF.

BCCFAEAC

②∵＝＝2，AE＝2，∴BF＝2.

BFBC由△CAE∽△CBF可得∠CAE＝∠CBF. 又∠CAE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°. ∴EF＝BE＋BF＝3. ∴CE＝2EF＝6.

(2)连接BF，同理可得∠EBF＝90°， 由∴

ABEF22＝＝k，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶k＋1，CF∶EF∶EC＝1∶k∶k＋1. BCFC

ACAE2

＝＝k＋1. BCBF

AE

2

2

2

2

AE

∴BF＝2，BF＝2.

k＋1k＋1

k＋1k＋1222

∴CE＝2×EF＝2(BE＋BF)，

kk

2

2

2

k＋12210

即3＝2(1＋2)，解得k＝.

kk＋14

2

22

(3)p－n＝(2＋2)m.

提示：连接BF，同理可得∠EBF＝90°，过C作CH⊥AB，交AB延长线于H， 可解得AB∶BC∶AC＝1∶1∶(2＋2)， 222

EF∶FC∶EC＝1∶1∶(2＋2)， 2222∴p＝(2＋2)EF＝(2＋2)(BE＋BF)

2n222

＝(2＋2)(m＋)＝(2＋2)m＋n.

2＋2∴p－n＝(2＋2)m.

本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．

1．(2013·乐山)阅读下列材料：

2

2

2

2

2

2

222

AM

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD＝a，BC＝b.若＝

MB

mbm＋an，则有结论：MN＝. nm＋n

请根据以上结论，解答下列问题：

如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3.

(1)若点P为线段EF的中点．求证：PP1＝PP2＋PP3；

(2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．

2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

[发现证明]

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论． [类比引申]

如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.

[探究应用]

如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．

参考答案

类型1 操作探究题

1．(1)①证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵B1C＝BC， ∴∠CB1B＝∠B.

又由旋转性质得∠A1CB1＝∠ACB， ∴∠CB1B＝∠A1CB1. ∴BB1∥CA1.

②过A作AG⊥BC于G，过C作CH⊥AB于H.

∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝CG.

BG3

∵在Rt△AGB中，cos∠ABC＝＝，AB＝5，

AB5

∴BG＝3.

∴BC＝6.∴B1C＝BC＝6.∵B1C＝BC，CH⊥AB，∴BH＝B1H.∴B1B＝2BH. BH3

∵在Rt△BHC中，cos∠ABC＝＝，

BC5

1836361122

∴BH＝.∴BB1＝.∴AB1＝BB1－AB＝－5＝，CH＝BC－BH＝

5555111124132

∴S△AB1C＝AB1·CH＝××＝.

225525

(2)过点C作CF⊥AB于F，以点C为圆心，CF为半径画圆交BC于F1，此时EF1最小． 24

此时在Rt△BFC中，CF＝.

524

∴CF1＝.

5

249

∴EF1的最小值为CF－CE＝－3＝.

55

以点C为圆心，BC为半径画圆交BC的延长线于F′1，此时EF′1有最大值．此时EF′1＝EC＋CF′1＝3＋6

＝9.

182242

6－（）＝.

55

936

∴线段EF1的最大值与最小值的差9－＝.

552.(1)证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，

∠B1CQ＝∠BCP1，??

∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°.在△B1CQ和△BCP1中，?B1C＝BC，

??∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1.∴CQ＝CP1.

(2)作P1D⊥CA于D，∵∠A＝30°， 1

∴P1D＝AP1＝1.

2∵∠P1CD＝45°， ∴CP1＝2P1D＝2. ∵CP1＝CQ，

∴CQ＝2.

(3)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AC＝3BC.∵BE⊥P1B，∠ABC＝60°， ∴∠CBE＝30°. ∴∠CBE＝∠A.

由旋转的性质可得：∠ACP1＝∠BCE， ∴△AP1C∽△BEC.

∴AP1∶BE＝AC∶BC＝3∶1.

3

x，在Rt△ABC中，∠A＝30°， 3

∴AB＝2BC＝2.∴BP1＝2－x. 设AP1＝x，则BE＝13323332

∴S△P1BE＝×x(2－x)＝－x＋x＝－(x－1)＋，

236366∵－

3

<0， 6

3. 6

∴当x＝1时，△P1BE面积的最大值为3.(1)作AH⊥BC于H，

∴∠AHB＝90°.在Rt△AHB中，AH＝AB·sinB＝3×sin60°＝3×33×3293

∴S△ABC＝＝.

24

(2)如图1，当0＜x≤1.5时，y＝S△ADE.

333

＝. 22

图1

作AG⊥DE于G，

∴∠AGD＝90°，∠DAG＝30°. ∴DE＝x，AG＝3x. 2

3x×x232

∴y＝＝x.

24

如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，

图2

∵AD＝x，∴DE＝AD＝x，BD＝DM＝3－x. 1

∴DG＝(3－x)，MF＝MN＝2x－3.

2∴MG＝

3

(3－x)． 2

3

（2x－3＋x）（3－x）

233293

∴y＝＝－x＋33x－.

2443

??4x（0＜x≤1.5），∴y＝?

3393??－4x＋33x－4（1.5＜x＜3）.

2

2

(3)当0＜x≤1.5时，y＝

323

x，∵a＝＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 44

9333293

∴x＝1.5时，y最大＝，如图3，当1.5＜x＜3时，y＝－x＋33x－，

16443329333332

∴y＝－(x－4x)－＝(x－2)＋. 4444

33333393

∵a＝－＜0，开口向下，∴x＝2时，y最大＝.∵＞，

44416∴y最大时，x＝2.

图3

∴DE＝AD＝2，BD＝DM＝1.

作FO⊥DE于O，连接MO，ME. ∴DO＝OE＝1.∴DM＝DO.

∵∠MDO＝60°，

∴△MDO是等边三角形．

∴∠DMO＝∠DOM＝60°，MO＝DO＝1. ∴MO＝OE，∠MOE＝120°. ∴∠OME＝30°. ∴∠DME＝90°.

2

∴DE是直径，S⊙O＝π×1＝π.

类型2 动态探究题

1．(1)证明：∵BD⊥BE，A，B，C三点共线， ∴∠ABD＋∠CBE＝90°. ∵∠C＝90°，

∴∠CBE＋∠E＝90°. ∴∠ABD＝∠E.

又∵∠A＝∠C，AD＝BC，

∴△DAB≌△BCE(AAS)．∴AB＝CE. ∴AC＝AB＋BC＝AD＋CE.

(2)①连接DQ，设BD与PQ交于点F.∵∠DPF＝∠QBF＝90°，∠DFP＝∠QFB， DFPF

∴△DFP∽△QFB.∴＝.

QFBF又∵∠DFQ＝∠PFB，

∴△DFQ∽△PFB.∴∠DQP＝∠DBA. ∴tan∠DQP＝tan∠DBA.

DPDA

即在Rt△DPQ和Rt△DAB中，＝.

PQAB∵AD＝3，AB＝CE＝5， ∴DP3＝. PQ5

②过Q作QH⊥BC于点H.∵PQ⊥DP，∠A＝∠H＝90°，

DPDA3

∴△APD∽△HQP.∴＝＝.∵DA＝3，∴PH＝5.

PQPH5∵AP＝PC＝4，AB＝PH＝5，∴PB＝CH＝1. ECBC5320

∵EC⊥BH，QH⊥BH，∴＝.∴＝.∴QH＝. QHBHQH43在Rt△BHQ中，BQ＝BH＋QH＝

2

2

202122434

（）＋（）＝. 333

234

∵MN是△BDQ的中位线，∴MN＝.

3

2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)．

11

(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.∴S＝BP·AD＝(6－t)·8＝－4t＋24.

22当点P在边BC上时，BP＝t－6. 11

∴S＝BP·AB＝(t－6)·6＝3t－18.

22

?－4t＋24（0≤t≤6），?∴S＝?

?3t－18（6＜t≤14）.?

4348

(3)∵D(－t，t)，当点P在边AB上时，P(－t－8，t)．

5555

PECD6PECB8＝时，＝，解得t＝6.若＝时，＝，解得t＝20. OECB48OECD46

t＋8t＋855

8t5

8t5

若

∵0≤t≤6，∴t＝20时，点P不在边AB上， 不合题意．

3t＋6513PECD6

当点P在边BC上时，P(－14＋t，t＋6)．若＝时，＝，解得t＝6.

55OEBC18

14－t

53t＋65PEBC8190

若＝时，＝，解得t＝. OECD1613

14－t5

190

∵6≤t≤14，∴t＝时，点P不在边BC上，不合题意．

13

∴当t＝6时，△PEO与△BCD相似． 3.(1)当点M为AC的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点C的重合时，BA＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM＝2时，AM＝AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形．

(2)证明：在AB上取点K，使AK＝AN，连接KN. ∵AB＝AD，BK＝AB－AK，ND＝AD－AN， ∴BK＝DN.又DH平分直角∠CDG， ∴∠CDH＝45°.

∴∠NDH＝90°＋45°＝135°. ∵∠BKN＝180°－∠AKN＝135°，

∴∠BKN＝∠NDH.∵在Rt△ABN中，∠ABN＋∠ANB＝90°，

又BN⊥NH，即∠BNH＝90°，∴∠ANB＋∠DNH＝180°－∠BNH＝90°. ∴∠ABN＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA)， ∴BN＝NH.

(3)①当M在AC上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF为等腰直角三角形． ∵AM＝t，∴AF＝FM＝

2112212t.∴S＝AF·FM＝·t·t＝t. 222224

当M在CG上时，即22＜t＜42时，CM＝t－AC＝t－22，MG＝42－t.

∵AD＝DC，∠ADC＝∠CDG，CD＝CD，

∴△ACD≌△GCD(SAS)．∴∠ACD＝∠GCD＝45°.

∴∠ACM＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°. ∴△MFG为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos45°＝(42－t)·

22＝4－t. 22

1111122322

∴S＝S△ACG－S△MCJ－S△FMG＝×4×2－·CM·CM－·FG·FM＝4－·(t－22)－·(4－t)＝－t＋42

2222224

t－8.

?1232

∴S＝?t（0＜t≤22），－t＋42t－8（22＜t＜42）.

4?4

12

②在0＜t≤22范围内，当t＝22时，S的最大值为×(22)＝2；

438228828

在22＜t＜42范围内，S＝－(t－)＋.当t＝时，S的最大值为.

433338828

∵>2，∴当t＝秒时，S的最大值为. 333

类型3 类比探究题 1．(1)证明：过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S. ∵BE为角平分线，

∴ER＝ES.过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，同理FM＝FN. ∵ES⊥BA，PP2⊥AB，

∴PP2∥ES.同理得PP3∥FN，FM∥PP1∥ER. ∵点P为EF中点，PP2∥ES， ∴△FPP2∽△FES.

∴ES＝2PP2，同理FN＝2PP3. ∴FM＝2PP3，ER＝2PP2.

FP1

在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，＝，

PE1∴根据题设结论可知：PP1＝

ER×1＋FM×1ER＋FM2PP2＋2PP3

＝＝＝PP2＋PP3.

1＋122

(2)探究结论：PP1＝PP2＋PP3

.证明：过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER＝ES.

FPmPFm

过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM＝FN.点P为EF上任意一点，不妨设＝，则＝，

PEnEFm＋nPEnPP2PFn

＝.∵PP2∥ES，∴＝＝. EFm＋nESEFm＋nm＋n∴ES＝PP2.

m

PP3PEnm＋nm＋nm＋n

∵PP3∥FN，∴＝＝.∴FN＝PP3.∴ER＝PP2，FM＝PP3.

FNEFm＋nnmnPFm

在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，＝，

PEn

m＋nm＋nm·PP2＋n·PP3

mnmER＋nFM（m＋n）PP2＋（m＋n）PP3

∴根据题设结论可知：PP1＝＝＝＝PP2＋PP3.

m＋nm＋nm＋n2.[发现证明]：将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．

∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG. ∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°. 在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°.

AE＝AG，??

∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中，?∠EAF＝∠GAF＝45°，

??AF＝AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF.又GF＝DG＋DF＝BE＋DF.

∴EF＝BE＋FD.

1

[类比引申]：∠EAF＝∠BAD，

2

理由如下：将△ABE绕点A逆时针方向旋转∠DAB至△ADG，使AB与AD重合． ∴△ABE≌△ADG.

∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG. 1

∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD.

2∵在四边形ABCD中，∠B＋∠ADF＝180°.

AE＝AG，??1

∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中，?∠EAF＝∠GAF＝∠BAD，

2

??AF＝AF，∴△EAF≌△GAF.

∴EF＝GF.

又GF＝DG＋DF＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD.

[探究应用]：连接AF，延长BA、CD交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°. ∴△AOD为直角三角形．在Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝80米． ∴AO＝403米，OD＝40米．

∵OF＝OD＋DF＝40＋40(3－1)＝403(米)，

1

∴AO＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠EAF＝90°－15°＝75°.∴∠EAF＝∠BAD.

2∵∠BAE＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B＝60°， ∴△BAE为等边三角形． ∴BE＝AB＝80米．

由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(3＋1)≈109(米)．

m＋nm＋nm·PP2＋n·PP3

mnmER＋nFM（m＋n）PP2＋（m＋n）PP3

∴根据题设结论可知：PP1＝＝＝＝PP2＋PP3.

m＋nm＋nm＋n2.[发现证明]：将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．

∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG. ∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°. 在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°.

AE＝AG，??

∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中，?∠EAF＝∠GAF＝45°，

??AF＝AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF.又GF＝DG＋DF＝BE＋DF.

∴EF＝BE＋FD.

1

[类比引申]：∠EAF＝∠BAD，

2

理由如下：将△ABE绕点A逆时针方向旋转∠DAB至△ADG，使AB与AD重合． ∴△ABE≌△ADG.

∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG. 1

∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD.

2∵在四边形ABCD中，∠B＋∠ADF＝180°.

AE＝AG，??1

∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中，?∠EAF＝∠GAF＝∠BAD，

2

??AF＝AF，∴△EAF≌△GAF.

∴EF＝GF.

又GF＝DG＋DF＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD.

[探究应用]：连接AF，延长BA、CD交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°. ∴△AOD为直角三角形．在Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝80米． ∴AO＝403米，OD＝40米．

∵OF＝OD＋DF＝40＋40(3－1)＝403(米)，

1

∴AO＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠EAF＝90°－15°＝75°.∴∠EAF＝∠BAD.

2∵∠BAE＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B＝60°， ∴△BAE为等边三角形． ∴BE＝AB＝80米．

由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(3＋1)≈109(米)．

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