1999考研数四真题及解析

Born to win

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)

1ln[f(1)f(2)f(n)]? x??n2(2) 设f(x,y,z)?exyz2，其中z?z(x,y)是由x?y?z?xyz?0确定的隐函数，则

fx?(0,1,?1)?

(1) 设函数f(x)?ax(a?0,a?1)，则lim?101???nn?1(3) 设A??020?，而n?2为整数，则A?2A?

?101????1?20???(4) 已知AB?B?A,其中???210?，则A?

?002???(5) 设随机变量X服从参数为?的泊松(Poisson)分布，且已知E[(X?1)(X?2)]?1，则??

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)

(1) 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)原函数，则 ( )

(A)当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。 (B)当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。 (C)当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。 (D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。

(2) 设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，其中D是由y?0,y?x,x?1所围成

D2的区域，则f(x,y)等于 ( ) (A)xy (B)2xy (C)xy?

(3)设向量?可由向量组?1,?2,记向量组(Ⅱ)?1,?2,(A)

1 (D)xy?1 8,?m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)?1,?2,,?m?1线性表示，,?m?1??，则 ( )

?m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。 (B) ?m不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。 (C) ?m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。 (D) ?m可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。

(4)设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X?Y)?DX?DY是X和Y ( )

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件。 (B)独立的充分条件，但不是必要条件。

1

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(C)不相关的充分必要条件。 (D)独立的充分必要条件。

(5)设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min?X,2?的分布函数 ( )

(A) 是连续函数。 (B) 至少有两个间断点。 (C) 是阶梯函数。 (D) 恰好有一个间断点。

三、(本题满分6分)

1的切线与x轴，y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a。试求切线方程和x这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？

曲线y?

四、(本题满分7分)

计算二重积分

??ydxdy，其中D是由直线

Dx??2,y?0,y?2以及曲线x??2y?y2

所围成的平面区域。

五、(本题满分6分)

设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产

??函数Q?2x1x2，其中?,?为正常数，且????1。假设两种要素得价格分别为p1和p2，

试问：当生产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。

六、(本题满分6分)

xex设F(x)为f(x)的原函数，且当x?0时，f(x)F(x)?。已知F(0)?1，

2(1?x)2F(x)?0，求f(x)。

七、(本题满分6分)

已知f(x)连续，

八、(本题满分6分)

证明：当0?x??时，有sin

九、(本题满分7分)

??x0tf(x?t)dt?1?cosx，求?2f(x)dx的值。

0xx?。 2??3?设矩阵A??k???4?2??1?1k?。问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵？

?2?3??2 2

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并求出P和相应的对角阵。

十、(本题满分9分)

已知线性方程组

?x1?x2?x3?0??ax1?bx2?cx3?0 ?a2x?b2x?c2x?023?1(1)a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？

(2)a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解。

十一、(本题满分9分)

设二维随机变量(X,Y)在矩形G??(x,y)|0?x?2,0?y?1?上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)。

十二、(本题满分8分)

已知随机变量X1和X2的概率分布

??10X1?11??42而且P?X1X2?0??1。

(1)求X1和X2的联合分布；

1?,X1??24??0?1??21? 1??2?(2)问X1和X2是否独立？为什么？

3

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1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题 (1)【答案】

1

lna 2

n【详解】把f(x)?ax代入原式得

n(n?1)?i111i?1 lim2ln[f(1)f(2)f(n)]?lim2ln(a)?lim2ln[a2]

n??nn??nn??nn(n?1)1?lna ?lnalim2n??2n2

(2)【答案】1

【详解】函数f(x,y,z)?exyz2两边对x求偏导得

?f?z?exyz2?2exyz， ?x?x?z?z?z1?yz?yz?xy?0，隐函数x?y?z?xyz?0两边对x求偏导得1?解得 ，???x?x?x1?xy?z?0 ?x以点(0,1,?1)代入，得

所以

(3) 【答案】O

?f?1

?x(0,1,?1)?101???【详解】A??020?，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以

?101???该数，有

?101??101??202??101?????????A2??020??020???040??2?020??2A

?101??101??202??101?????????故有 A?2A2nn?1?An?2(A2?2A)?O

n?2或由A?2A，式子左右两端同右乘A，得A?A2n?2?2A?An?2，即An?2An?1，得

，式

An?2An?1?O

232或由A?2A，式子左右两端同右乘A，得A?A?A?(2A)A?2A2?2(2A)?2A2342323子左右两端再同乘A，得A?A?A?A(2A)?2A?2?2A?2A，…，依次类推，得

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An?1?2n?2A,An?2n?1A,

所以 A?2A

nn?1?2n?1A?2?2n?2A?2n?1A?2n?1A?O

1/20??1??10? (4)【答案】??1/2?002???【详解】由题设条件AB?B?A，得AB?A?B，即A(B?E)?B，因为

1?20B?20101?20500?10?0 202行?1行?2020?1?20???故 B??210?是可逆矩阵，

?002???A(B?E)?B左乘B?1，得A(B?E)B?1?BB?1?E，根据可逆的定义，知A可逆，且

A?[(B?E)B?1]?1?B(B?E)?1.

A(B?E)?B右乘B?1，得B?1A(B?E)?B?1B?E，根据可逆的定义，知B?E可逆.

故A,B?E均可逆，且A?B(B?E)?1

先利用初等行变换求(B?E)?1：利用初等行变换把B?E化为单位矩阵的同时，单位矩阵经过相同的初等行变换化成了(B?E)

?1?0?201??2001?B?EE?????? ?0011???1/20??200010?1行?1?1000????2交换1，2行的顺序?0?20100?010?1/200 ???001001?2行?(?1)?001001?????21/20??0?20??0?????100? 所以 (B?E?)??200????1/2?001??001?????1/20??11/20??1?20??0??????00????1/210? (矩阵的乘法) 故 A??210???1/2?002??0?01?02??????0?

?1 5

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