2.5从力做功到向量的数量积(第一课时)

§5 从力做的功到向量的数量积(第一课时)

【教材版本】北师大版 【设计理念】

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。 为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段??以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的教学设计： 首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。 再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，导致出错，因此教学中应重点强调；性质中a?b?ab学生容易忽略；书写中符号“?”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

【教材分析】

1．知识结构分析

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向量的数量积是本章中重要的数学概念，是向量运算中最重要的内容之一.它既是代数运算，又有着重要的几何意义，是高中数学中非常重要的一个工具.

2．知识发生发展过程分析

向量的数量积是向量的知识的一个重要组成部分，与高中数学中的各个章节都有着一定的联系，尤其是和三角、解析几何、立体几何、复数、不等式等知识都有很大的关联，另外，在学生以后的学习以及其他学科的学习中，向量也扮演着一个重要的角色.

本节内容中，教材首先给出向量数量积的物理背景：一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W是W?F?S?cos?，其中?是力F与位移S之间的夹角。功W是一个数量，其中既涉及“长度”，又涉及“角度”，而且只与两个向量有关。W可以看作是这两个向量进行某种运算的结果。由此引进向量数量积的定义：a?b?a?b?cos?，这种设计能使学生感到十分自然，比较容易接受向量的这种非常独特的运算。

3．知识学习意义分析

在向量的数量积这个概念中，要深刻理解其意义，并清楚知道向量数量积的几何意义的数学本质.在向量数量积的应用中，几何中角的问题和长度的问题这两个重要的因素在向量的数量积中都有着重要的体现.而在向量的数量积的运算中，又要把向量的数量积和实数的一些运算区别清楚，这一点在本质上也是从向量的数量积的数学本质中得到的.

4．教学建议与学法指导说明

通过力对物体做功的实例，引导学生发现问题、总结规律得出数量积的概念，并由数量积的概念中的长度、角度关系引出一些常用的性质，激发学生的探索兴趣，并由教师和学生一起总结整理.

课时安排上，本节课分两个课时，第一课时重点学习向量的数量积的概念，熟练掌握向量的数量积的概念及其几何意义，明确数量积是一个把长度问题和角的问题综合到一起的一个重要概念.第二课时，在掌握向量数量积的基础上，理解向量的运算律及向量数量积的重要性质，并可以处理一些角的问题和长度的问题.

在教学中，引导学生对概念的掌握，让学生发现概念与概念之间的联系，知识本质上的关联.

本节内容，在学生预习上要参照物理中力对物体做功的这一现象进行认真揣摩，从而抽象出所学习的知识内容.在向量数量积的运算律上，要分清楚向量数量积的这一运算的特殊性.课内须注意知识的过渡和数学本质和现实反映之间的连带关系，让学生在具体事例和数

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学概念上面建立起相互对应的关系，从而明确数量积的本质.作业应该紧扣数量积这一概念，分别从其概念的熟练上，数量积的应用方面，围绕着如何求长度，如何求角的诸多问题进行训练.反思中应该从具体的练习和实例中再次理解数量积这个概念，思考其数学作用.

知识的迁移、对比、化归、整理是学习本节知识的基本思想方法.

（1）注意在从力对物体做功的实例中，让让学生发现规律，为学习向量数量积的概念打下基础.

（2）对向量数量积的概念深刻理解，从数量积的概念中得出向量数量积的几何意义. （3）理解向量数量积中夹角和向量长度两个方面的重要体现，明确向量从方向和长度上的双重意义在数量积的概念中的意义.熟练应用数量积的概念处理一些简单的有关向量的长度和夹角的问题.

（4）在实际问题中注意两个向量的夹角.尤其在几何图形中，注意向量的起点和终点，从而搞清楚向量的夹角及其数量积.

【学情分析】

学生在前几节学习了平面向量的基本概念和线性运算，对平面向量的认识已经形成，在此基础上，继续学习平面向量的数量积。

通过力对物体做功的实例，引入向量数量积的概念，再由数量积的概念得出两个向量夹角为零、锐角、直角、钝角、夹角时的数量积.再由数量积的代数表达式推出其几何意义，从而使得数量积的实际意义更加明确.

通过对向量数量积概念的深刻理解，明确向量中两个重要方面——长度和角度在数量积中的重要体现，并通过对数量积代数表达式及几何意义的深入研究，得出向量的重要性质及其数量积中相应的运算律.在学习的过程中重视知识的对比、转化、整理，使学生在学习中有所收获.

【教学目标】

1．知识与技能．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；

2．过程与方法．掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；

3．情感、态度与价值观．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.

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【重点难点】

1．本节重点：两个向量的数量积的概念、数量积的运算律的理解，数量积处理长度、角度和垂直的问题.

向量的数量积的概念是处理向量问题的一个核心和关键.在几何中所涉及到的长度问题和角的问题，许多情况下运用数量积这一概念可以得到解决.在向量数量积的运算律的理解中，也是数量积概念的一个延伸.在教学中，对数量积的概念一定要做到准确理解，这在后面的一些学习中都有着一定的作用.

2．本节难点：向量数量积运算律的理解及灵活运用，向量数量积的几何意义及数量积的重要性质的灵活应用.

以前学习过的实数的运算和向量数量积的运算是完全不同的两个概念.但学生如果没有准确的认识到数量积的实质，很容易把实数运算中的一些运算律用在向量数量积的运算中，从而导致一些错误.为了避免这一点，应该从课本中的概念入手，让学生体会并发现向量数量积运算的本质.另外数量积的几何意义中，学生对“方向上的射影”的理解是一个难点，这一点和原来所学习的“射影”的问题不一样，应重要强调是在“某向量方向上”的射影.数量积的重要性质是本节内容的一个重要的环节，可以借此处理一些长度和方向的问题.处理这一点的时候，应该让学生对数量积的概念及其运算律熟练掌握.

【教学环境】

◆ 学生可能获得的学习环境（多媒体教室、网络教室、或实地考察环境等）； ◆ 文本、图片或音视频资料； ◆ 可用的多媒体课件；（附后） ◆ 特定的参考资料；

◆ 参考网址（建议在每个网址后写上一句话，简要介绍通过该网址可以获得的信息）；

【教学方法】

启发引导式。本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.

【教学思路】

通过力对物体做功的实例，引入向量数量积的概念，再由数量积的概念得出两个向量夹角为零、锐角、直角、钝角、夹角时的数量积.再由数量积的代数表达式推出其几何意义，从而使得数量积的实际意义更加明确.

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通过对向量数量积概念的深刻理解，明确向量中两个重要方面——长度和角度在数量积中的重要体现，并通过对数量积代数表达式及几何意义的深入研究，得出向量的重要性质及其数量积中相应的运算律.在学习的过程中重视知识的对比、转化、整理，使学生在学习中有所收获.

【教学过程】

一、情景引入，提出问题

设计原因 从实际的物理问题出发，经过观察、分析、归纳、概括出力对物体做功时力的大小和方向与所做的功的关系，从而引出两个向量数量积的概念.教学中教师为主导，学生为主体，让学生从实例到数学实质的过度中掌握向量数量积的概念.

实例 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功.

如果力的方向跟物体运动的方向相同，功就等于力的大小和位移大小的乘积.如果当力

F的方向与物体运动的方向成?角时，将力F进行分解：

与位移方向平行的分力F1满足|F1|?|F|cos?，物体在F1的方向上产生了位移s，因而对物体做的功为|F|cos??|s|；

与位移方向垂直的分力F2，由于没有使物体在该分力的方向上发生位移，因而对物体不做功.

可见，力F对物体做的功为W?|F||s|cos?.

00当0???90时，W?0，即力F做正功；

0当??90时，W?0，即力F不做功；

00当90???180时，W?0，即力F做负功.

力对物体所做的功，可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算的结果.

F2FF1 两个向量夹角的定义

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????????已知两个非零向量a和b，如图，作OA?a，OB?b，?AOB??(00???1800)叫做向量a与b的夹角.

a?AaObB

0b当??0时，a与b同向； 当??180时，a与b反向； 当??90时，a与b垂直.

规定：由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见，我们规定零向量与任一向量垂直.

注意：零向量与任一向量垂直是我们对夹角定义的一种补充，目的只是使定义完备. 两个向量数量积的定义

00已知两个向量a和b，它们的夹角为?，我们把|a||b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）.记作a?b（如图） 即

aOa?b?|a||b|cos?

?b由此可以看出，两个向量的数量积是这两个向量的长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积.

二、学生活动，猜想讨论

问题1 讨论向量数量积与实数与向量乘积的区别.

问题2 如图，讨论向量数量积的几何意义.

BBBbbbO

?B1aA ?B1O6

? aO(B1)AaA （A） (B) (C) 问题3 结合向量数量积的定义及其几何意义，讨论当力F与位移s的夹角

00???900、??900、900???1800时力F对物体所做的功W的情况.

向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积，或b的长度|b|与a在b的方向上的射影|a|cos?的乘积. 三、典型例题分析讲解

例1 已知|a|?3，|b|?4，且a与b的夹角??150?，求a?b. 解：a?b?|a||b|cos?

?3?4?cos150?

??63. 例2 已知a?b??16，|a|?2|b|，|b|?4，求a与b的夹角?. 解:∵ |a|?2|b|?8，

∴ a?b??16

即 |a||b|cos???16 ∴ cos???∵ 0????， ∴ ??1， 22?. 3例3 设向量a,b,c满足a?b?c?0，(a?b)?c，a?b.若|a|?1，求

|a|2?|b|2?|c|2的值.

????????????解: ∵ a?b?c?0，如图，设a?AB，b?BC，C?CA. ????????????则a?b?DB，∴ DB?CA，

∴ ?ABC为等腰直角三角形，且|a|?|b|?1，|c|?2. ∴ |a|?|b|?|c|?1?1?2?4. 四、学生活动、课堂练习

P109练习。

1.已知向量a与b共线，且|a|?1，|b|?2，求a?b.

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222DCAB解: ∵ a与b共线， ∴ a与b的夹角??0，或?. 当??0时， a?b?|a||b|?2， 当???时， a?b??|a||b|??2. 注意:向量的共线中注意同向和反向的情况.

2.如图，已知六边形PP12P3P4P5P6，下列向量的数量积最大的是( )

P5P4????????????????????A.PP12?PP13 B.PP12?PP14 ????????????????????C.PP12?PP15 D.PP12?PP16

??????????解:易知PP由向量数13在PP12方向上的射影最大，??????????量积的几何意义知， PP12?PP13的值最大.故选A.

布置作业

P93习题 2-2。 课堂作业 A 组 3.4. 课外作业 A 组 5； B 组1.

P6P3P1(Q1)P2(Q2)Q3Q6 8

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