高等数学竞赛讲义第二章一元微分学
更新时间:2023-03-12 02:34:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第二部分 一元函数微分学
一、导数与微分
? 内容要点
一、导数与微分概念 二、导数与微分计算
? 典型例题
一、用导数定义求导数
例1 设f(x)?(x?a)g(x),其中g(x)在x?a处连续,求f?(a) 解:f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)
?1,求f(0),f?(0),f??(0)的值
? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导,且lim(2005)
f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性
例1 设函数
?x2,x?1f(x)??
ax?b,x?1?试确定a、b的值,使f(x)在点x?1处可导。
xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1),问a和b为何值时,f(x)可导,且求f?(x)
解:∵x?1时,limen??n(x?1)???, ?0
x?1时,limen??n(x?1)?x2,x?1,??a?b?1,x?1, ∴ f(x)??2?ax?b,x?1,??1
由x?1处连续性,limf(x)?limx?1,f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1,可知a?b?1
再由x?1处可导性, f??(1)?lim?x?1x?f(1)x?12存在
f??(1)?lim?x?1(ax?b)?f(1)x?1存在
且f??(1)?f??(1)
根据洛必达法则f??(1)?limx?12x1??2
f??(1)?lim?x?1a1 a?2 ?a,∴
于是b?1?a??1
?x2,x?1,?f(x)??1,x?1,
?2x?1,x?1,??2x,x?1,f?(x)??
?2,x?1,三、运用各种运算法则求导数或微分
例1 设y?xx(x?0),求例2 设y?y(x)由方程x例3 设
??x???y??yxdydx
x?y所确定,求
dydx
??tt2eu2sinudu2t0 求
eln(1?u)duudxdy
? 例4 设
?x?cos(t2)2dy?2 求2 (2007) t?2?udxsinudu?y??0e?? 例5. 设f(x)连续,且当x??1时,
f(x)[?f(t)dt?1]?0xxex2,求
2(1?x)f(x)。(2002)
2
? 例6. 设f(x)连续,?(x)??x0dv?f(u?v?x)du,求??(x)。(2009)
0x? 例7. 设f(x)连续,且f(x)?
x??x0ext22f(t)dt,求f?(1)?3f(1)。(2010)
四、求切线方程和法线方程
例1 已知两曲线y?f(x)与y?程,并求limnf()。
n???arctanx0e?t2dt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方
2n解:由已知条件可知f(0)?0,f?(0)?故所求切线方程为y?x
e?(arctanx)21?x2x?0?1
2f()?f(0)2nlimnf()?lim2??2f?(0)?2
n??n??2nn? 例2 设f(x)为周期是5的连续函数,在x?0邻域内,恒有
f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)。其中lim?(x)xx?0?0,f(x)在x?1处可导,
求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程。 解:由题设可知f(6)?f(1),f?(6)?f?(1),故切线方程为
y?f(1)?f?(1)(x?6)
所以关键是求出f(1)和f?(1)
由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1)
x?0 由所给条件可知?2f(1)?0,∴ f(1)?0
再由条件可知lim令sinx?t,limf(1?sinx)?3f(1?sinx)sinxf(1?t)?3f(1?t)t?lim(x?08xsinxx?0??(x)sinx)?8
t?0?8,又∵f(1)?0
∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]tt?0?3limf(1?t)?f(1)(?t)t?0
=f?(1)?3f?(1)?4f?(1)
3
则4f?(1)?8 f?(1)? 2所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0·
?x?lnt?? 例3 求曲线?y?2t????t1e?(ts)2在t=1处的切线方程 (2008)
ds五、高阶导数 ? 例1 设f? 例2 设f?x??arctan?x??31?x1?x,求fn?0? (2004) ?0? (2008)
xarcsinx,求f22008? 例3 设f(x)?x3sinx,求ff(y)(2009)(0)(2009)
? 例4 设y?y(x)由xedydx22y?eln29确定,其中f具有二阶导数,且f??1,则
?_______________(2009)
二、微分中值定理
这部分有关考题主要是证明题,技巧性比较高。
? 内容要点
一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒定理
? 典型例题
一、用罗尔定理的有关方法
例1 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1. 试证:必存在??(0,3),使f?(?)?0
证:∵ f(x)在[0,3]上连续,∴ f(x)在[0,2]上连续,且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M;m?f(1)?M;m?f(2)?M,故
4
m?13[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知,至少存在一点c?[0,2]使得13f(c)?(c,3)[f(0)?f(1)?f(2)]?1,因此f(c)?f(3),且f(x)在[c,3]上连续,
内可导,由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。
1例2 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?2f(x)dx?f(0)
3求证:存在??(0,1)使f'(?)?0
证:由积分中值定理可知,存在c?[,1],使得
31232?f(x)dx?f(c)(1?23)
得到 f(c)?3?2f(x)dx?f(0)
31对f(x)在[0,c]上用罗尔定理,(三个条件都满足) 故存在??(0,c)?(0,1),使f?(?)?0
1例3 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,对任意k?1,有f(1)?k?kxe1?xf(x)dx,
0求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??1k?1)f(?)
1证:由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)(1k?0)
令F(x)?xe1?xf(x),可知F(1)?f(1)
1这样F(1)?f(1)?k?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c),对F(x)在[c,1]上用罗尔定理
(三个条件都满足)存在??(c,1)?(0,1),使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)
∴ F?(?)??e1??[f?(?)?(1?1?)f(?)]?0
5
又?e1???0,则f?(?)?(1?1?)f(?)
罗尔定理的有关证明命题中,如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键,下面的模型Ⅰ,就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ:设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。 (1)存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0(l为实常数)令F(x)?elxf(x) (2)存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2k?1f(?2)?0(k为非零常数)令F(x)?exf(x) (3)存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0(g(x)为连续函数)令F(x)?eG(x)f(x)
例4 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)?f(1)?0,f()?1,试证:
21k (1)存在??(,1),使f(?)??。
21(2)对任意实数?,存在??(0,?),使得f?(?)??[f(?)??]?1
证明:(1)令?(x)?f(x)?x,显然它在[0, 1]上连续,又
111?(1)??1?0,?()??0,根据介值定理,存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??
222(2)令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x],它在[0,?]上满足罗尔定理的条件,故存
在??(0,?),使F?(?)?0,即
e????f???????f???????1??0
从而 f?(?)??[f?(?)??] 1(注:在例4(2)的证明中,相当于模型Ⅰ中(1)的情形,其中l取为??,f(x)取为
?(x)?f(x)?x)
模型Ⅱ:设f(x),g(x)在[a,b]上皆连续,(a,b)内皆可导,且f(a)?0,g(b)?0,则存在??(a,b),使
f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0
6
证:令F(x)?f(x)g(x),则F(a)?F(b)?0,显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的
条件,则存在??(a,b),使F?(?)?0,即证.
例5 设f(x)在[0, 1]上连续,(0, 1)内可导,f(0)?0,k为正整数。 求证:存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)
证:令g(x)?(x?1)k,a?0,b?1,则f(0)?0,g(1)?0,用模型Ⅱ,存在
??(0,1)使得
kk?1f?(?)(??1)?k(??1)f(?)?0
故f?(?)(??1)?kf(?)?0 则?f?(?)?kf(?)?f?(?)
例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x),求证f(x)在(a,b)内任
意两个零点之间至少有一个g(x)的零点
证:反证法:设a?x1?x2?b,f(x1)?0,f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0,
则令F(x)?f(x)g(x)在[x1,x2]上用罗尔定理
[?f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?f(x1)g(x1)?0,F(x2)?f(x2)g(x2)?0]
(不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否则结论已经成立)
则存在??(x1,x2)使F?(?)?0,得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点
例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导,且g??(x)?0,又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证:(1)在(a,b)内g(x)?0;
f??(?)g??(?)f(?)g(?)7
(2)存在??(a,b),使?
证:(1)用反证法,如果存在c?(a,b)使g(c)?0,则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]
上用罗尔定理,存在x1?(a,c)使g?(x1)?0,存在x2?(c,b)使g?(x2)?0,再对g?(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0与假设条件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)内g(x)?0 (2)由结论可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0,因此
令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x),可以验证F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,F(a)?F(b)?0满足罗尔定理的三个条件 故存在??(a,b),使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立
? 例8 已知函数f(x)在[0,1]上三阶可导,且f(0)??1,f(1)?0,f?(0)?0,试证至
x(x?1)3!2少存在一点??(0,1),使f(x)??1?x?2f???(?),x?(0,1)(2004)
二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理
例1 设f(x)在(??,??)内可导,且limf?(x)?e,lim(x??x??x?cx?c)x?lim[f(x)?f(x?1)]
x?? 求c的值 解:由条件易见,c?0
x?cx?c(1?)?limxx??cxcx))xlim(x???xeec?c?e2c
(1?由拉格朗日中值定理,有
f(x)?f(x?1)?f?(?)[x?(x?1)]?f?(?)
其中?介于(x?1)与x之间,那么 lim[f(x)?f(x?1)]?lim f?(?)?e
x??x??(???)于是e2c?e,2c?1,则c?12
8
例2 设f(x)是周期为1的连续函数,在(0,1)内可导,且f(1)?0,又设M?0是f(x)在[1,2]上的最大值,证明:存在??(1,2),使得f?(?)?2M。
证:由周期性可知f(0)?f(1)?f(2)?0,不妨假定x0?(1,2)而f(x0)?M?0,
对f(x)分别在[1, x0]和[x0, 2]上用拉格朗日中值定理,
存在?1?(1,x0),使得f?(?1)?f(x0)?f(1)x0?1 ①
存在?2?(x0,2),使得f?(?2)?f(2)?f(x0)2?x0 ②
如果x0?(1,3232),则用①式,得f?(?1)?f(x0)x0?1?2M;
如果x0?[,2),则用②式,得f?(?2)??f(x0)2?x0?2M;
因此,必有??(1,2),使得f?(?)?2M
例3 设f(x)在[0, 1]上连续,(0, 1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1,证明:
(Ⅰ)存在??(0,1),使得f(?)?1??
(Ⅱ)存在?,??(0,1),???,使f?(?)f?(?)?1
证:(Ⅰ)令g(x)?f(x)?x?1,则g(x)在[0, 1]上连续,且g(0)??1?0,
g(1)?1?0,用介值定理推论存在??(0,1),使g(?)?0,即f(?)?1??
(Ⅱ)在[0, ?]和[?,1]上对f(x)用拉格朗日中值定理,存在??(0,?),使
f(?)?f(0)1??得f?(?)???0??
存在??(?,1),???,使f?(?)?f(1)?f(?)1???1?(1??)1????1??
∴ f?(?)?f?(?)?1
9
? 例4 设?(x)在[0,1]上可导,且?(0)?0,?(1)?1。证明:存在(0,1)内的两个
数?与?,使
1??(?)?2??(?)(2003) ?3。
例5 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f?(x)?0,若极
限limx?af(2x?a)?x?a存在,证明:
(1)在(a,b)内f(x)?0; (2)在(a,b)内存在?,使
b?a22?ba?2?f(?);
f(x)dx (3)在(a,b)内存在与(2)中?相异的点?,使
22f?(?)(b?a)???a?2?baf(x)dx
证:(1)因为limx?af(2x?a)?x?a存在,故limf(2x?a)?0,由f(x)在[a,b]上
x?a?连续,从而f(a)?0. 又f?(x)?0知f(x)在(a,b)内单调增加,故
f(x)?f(a)?0,x?(a,b)
(2)设F(x)?x2,g(x)??xaf(t)dt(a?x?b),
则g?(x)?f(x)?0,故F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,于是在(a,b)内
存在点?,使
F(b)?F(a)g(b)?g(a)?b?a22aa?ba?f(t)dt?2?f(?)(?(x)?xa2f(t)dt??2f(t)dt)?x??,
即
b?a2?ba
f(x)dx (3)因f(?)?f(?)?0?f(?)?f(a),在[a,?]上应用拉格朗日中值定理,知在
(a,?)内存在一点?,使f(?)?f?(?)(??a),从而由(2)的结论得
10
b?a22?ba?2?f?(?)(??a),
f(x)dx 即有 f?(?)(b?a)?222???a?baf(x)dx.
三、 泰勒公式
例1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且f?(a)?f?(b)?0,试证:在(a,b)内至少存在一点?,使
f(b)?f(a)(b?a)2|f??(?)|?4
成立。
分析:因所欲证的是不等式,故需估计f??(?),由于一阶泰勒公式
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?122f??(?)(x?x0),(其中?在x0,x之间)
含有f??(?),因此应该从此入手. 再由f?(a)?[a,a?b2],[a?b2?f(?b)知0,应在
,b]两个区间上分别应用泰勒公式,以便消去公式中的f?(x)项,同时又
能出现(b?a)2项.
证:在[a,a?b2a?b2a?b2]与[a?b2,b]上分别用泰勒公式,便有
f()?f(a)?f?(a)(a?b2a?b2?a)?12!12!f??(?1)(b?a2b?a2),a??1?2a?b2.
f()?f(b)?f?(b)(?b)?f??(?2)(),2a?b2??2?b.
两式相减,得
|f(b)?f(a)|?181414(b?a)|f''(?1)?f''(?2)| (b?a)22
??12(|f''(?1)|?|f''(?2)|)
(b?a)max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}.
2所以至少存在一点??(a,b),使得
11
|f??(?)|?4|f(b)?f(a)(b?a)2|
三、导数的应用
? 内容要点
一、判断函数的单调性 二、函数的极值
三、函数的最大值和最小值 四、凹凸性与拐点 五、渐近线及其求法 六、函数作图
七、判断方程根的情况
? 典型例题
一、证明不等式
例1.求证:当x?0时,(x2?1)lnx?(x?1)2 证:令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)
只需证明x?0时,f(x)?0
易知f(1)?0,f?(x)?2xlnx?x?2?1x22,
f'(1)?0,由于f?(x)的符号不易判断,故进一步考虑 f??(x)?2lnx?1?1x22,f??(1)?2?0
再考虑f???(x)?2(x?1)x3
于是,当0?x?1时,f???(x)?0;
当1?x???时,f???(x)?0
12
由此可见,f??(1)?2是f??(x)的最小值。
由于f??(x)?2?0,这样x?0时,f?(x)单调增加 又因为f?(1)?0,所以0?x?1时,f?(x)?0;
1?x???时,f?(x)?0。
再由f(1)?0,可知0?x?1时,f(x)?0;
1?x???时,f(x)?0,这样证明了x?0时,f(x)?0。
证二:令f(x)?lnx?x?1x?1(自己思考)
证三:令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)(自己思考)
22? 例2 证明:当x?0, (1?x)ln(1?x)?x(2009)
例3 设b?a?0,求证:lnba?2(b?a)b?a
证:令f(x)?(lnx?lna)(x?a)?2(x?a),(x?a) 则f?(x)?(x?a)?(lnx?lna)?2 x?a1x?af??x??2???0 (x?a) 2xxx1于是可知f?(x)在x?a时单调增加,又f?(a)?0,∴x?a时f?(x)?0,这样f(x)单调增加。因此,b?a?0时f(b)?f(a)?0,得证。
2例4 设e?a?b?e,证明lnb?lna?224e2(b?a)
证一:对函数f(x)?ln2x在[a,b]上用拉格朗日中值定理
13
lnb?ln22a?2ln??(b?a) (a???b)
再来证明?(t)?∵ ?'(t)?lntt2在t?e时单调减少
?0(t?e)
1?lntt从而?(?)??(e),即故ln2b?ln2a?4e22ln???lnee22?2e2
(b?a) x?4e2证二:设g(x)?lng''(x)?2?1?lnxx22x,则g'(x)?2lnxx?4e2
当x?e时,g??(x)?0,故g?(x)单调减少
g?(x)?g?(e)?24e2?4e2?0
因此e?x?e2时,由g?(x)?0可知g(x)单调增加 题设e?a?b?e2,于是g(b)?g(a) 故lnb?24e2b?ln2a?4e2a,即ln2b?ln2a?4e2(b?a)
? 例5 证明:当
x3?2?x?0时,
(1)tanx?x?3x3
(2)tanx?x?3?2x515?x763(2005)
? 例6 证明: cos2x??x?21?x,42?4?x?0(2007)
2? 例7 已知y?f(x)有二阶可导,且f(x)?0,f??(x)f(x)?[f?(x)]?0,x?R
(1)证明:f(x1)f(x2)?f(2x1?x22),?x1,x2?R
(2)若f(0)?1,证明:f(x)?ef?(0)x,?x?R (2007)
14
? 例8 证明:
1?sinx1?sinx?ln(1?sinx)??xx3,x?(?2,?)(2007)
? 例9 证明: 1?x?x22!???3!?t2?x44!1x?0,?x?R(2008)
? 例10 证明:?x?0,?? 例11 证明:tan2xe2dt?e2?x22(2010)
?2)(2010)
x?2sin2x?3x,x?(0,二、有关函数的极值、最值
例1、设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有 [ ] (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
例2 设f(x)的导数在x?a处连续,又lim(A)x?a是f(x)的极小值点 (B)x?a是f(x)的极大值点
(C)(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点
(D)x?a不是极值点,(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点
例3 设y?f(x)有二阶导数,满足xf??(x)?3x[f?(x)]?1?e求证:f?(x0)?0时,f(x0)为极小值 证:(1)x0?0情形。 f??(x0)?1?ex0?x02?xf?(x)x?ax?a??1,则[ ]
?x0?0,1?e?x0?0??0?? 故f(x0)为极小值 ?x0x?0,1?e?0?0?(2)x0?0情形
15
这时方程条件用x?0代入不行,无法得出上面的公式 ∵ f??(x)存在 ∴ f?(x)连续,linf?(x)?f?(0)?0
x?0f??(0)?limf?(x)?f?(0)x?0x?0?limf?(x)xx?0?limf??(x)1(用洛必达法则)
x?0 ?lim{x?01?ex?x?x?3[f?(x)]}?lim21?ex?x (再用洛必达法则)
x?0 ?limex?01?1?0 ∴f(0)是极小值
? 例4 函数y?f(x)是由方程满足x3?3xy2?2y3?32?0确定,且f(x)可导,求
f(x)的极值(2004)
? 例5 函数y?f(x)满足方程exf(x)?2e??xf(??x)?3sinx,x?R,求f(x)的极
值(2007)
三、判断方程根的情况
? 例1 设f(x)?e?xx36x,问f(x)?0有几个实根?为什么?(2006)
23n? 例2 证明方程1?x?2!?x3!?...?xn!当n为奇数时有且仅有一个实根(2008) ?0,
n? 例3 (1)证明fn(x)?x?nx?2(n为整数)在(0,??)上有唯一正根an
(2) 计算lim(1?an)(2008)
x??n? 例4 设f(x)在(??,??)上具有二阶导数,且f?(x)?0,limf?(x)???0,
x???x???limf?(x)???0,且存在一点x0使得f(x0)?0证明方程f(x)?0在(??,??)上
恰有两个实根。(2010)
四、 关于函数的单调性
? 例1 设?x?(??,??),f??(x)?0,0?f(x)?1?e?x2,求f(x)的表达式?(2007)
? 例2 设f(x)在(0,??)上可导,且f?(x)?f(x),f(0)?0,证明f(x)?0(x?0)16
(2009)
17
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