广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：统计与概率

广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

统计与概率

一、选择题

1、（惠州市2014届高三第三次调研考）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）

A. 6万元 B．8万元

C．10万元 D．12万元

答案：C

2、（珠海市2014届高三上学期期末）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[10，30）（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如右图所示，则支出在[40，50）（单位：元）的同学人数是（ ） A、100 B、120 C、30 D、300 答案：C 二、填空题

1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））一个总体分为甲、

乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为

1

,则总体中的个体数为9

答案：180

2、（广州市2014届高三1月调研测试）如图3，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y x图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点落在E中的概率为 答案：

2

1 3

3、（广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 答案：15

4、（揭阳市2014届高三学业水平考试）图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的

平均成绩的概率为 答案：

4 5

5、（中山市2014届高三上学期期末考试）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向

区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答） 答案：

8 3

三、解答题

1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））

佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排

球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,

159、162、173、181、165、176、168、178、179. 篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、

(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；

(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. 4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）

(Ⅱ)排球队中超过170cm的有4人,超过178cm的有3人, 篮球队中超过170cm的有5人,超过178cm的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）

所以X的所有可能取值为0,1,2则 5分 （注：正确写出X的值1分）

11

C1C3

, P(X 0) 13 1

C4C5201111C1C2 C3C311

, P X 1 11

20C4C5

排球队 篮球队

图4

排球队 篮球队

3 2 18 1

9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8

8 15 9

11C3C6

, 10分 P X 2 12

1

C4C520

（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）

所以X的分布列为

11分 所以X的数学期望EX 0

311623 1 2 . 12分 20202020

3

2、（广州市2014届高三1月调研测试）

空气质量指数PM2.5 (单位:μg/m)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．

3 2 0 4

（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良 5 5

6 4 的天数，求X的分布列及数学期望．

7 6 9 7

8 8 0 7

9 1 8 0 9

图 5

解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天． 1分

所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天． 2分 （2）X的取值为0，1，2， 3分

02C5C103

因为P X 0 ， 5分 2

C1571

C1105C10

P X 1 2 ， 7分

C1521

（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

20C5C2

P X 2 210 ． 9分

C1521

所以X的分布列为：

3所以数学期望EX 0 1 2 ．

721213

10分

3、（增城市2014届高三上学期调研）

在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.

（1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；

（2）从盒子里任取3枝，设 为取出的3枝里一等品的枝数，求 的分布列及数学期望.

C52

解.（1）P 3 2分

C65 4

1

4分 23 2 1

（2） =0,1,2,3, 5分

311C3C3 C329C32 C319

P( =0) 3 ，P( =1) ，P(=0) ， 33

C620C620C620

3C31

P( =0) 3 （各1分） 9分

C620

所以 的分布列是

P

0 1 2 3

1 209 209 201 20

10分 E( )=0×

19913+1×+2×+3×= 12分 202020202

4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）

盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数 i,i, 2,2,其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不

影响）．

（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件B “在四次试验中，至少有两次

得到虚数” 的概率；

（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a,b，求随机变量 a b的分布列与数学期望E . 解：（1）P(A)

21

， ……………………………………………………………2分 42

01

P(B) 1 P() 1 C4()0()4 C4()1()3 1 . ………… 5分

2222 1616

1111 511

（2）a,b, 的可能取值如下左表所示：

b

i 1

1 2 2

i 1 1 2 2

2 2 2 2 4 4

i i 2 2 2 2 4 4

……………………………………………………………6分

由表可知：P( =1)

418141 ,P( =2) ,P( =4) . ………………9分 164162164

所以随机变量X的分布列为（如上右表） …………………………………… 10分 所以E( )=1

1119

2 4 . ………………………………………………12分 4244

5、（惠州市2014届高三第三次调研考）

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

2221

，乙队中3人答对的概率分别为,,，且各人回答正3332

确与否相互之间没有影响．用 表示甲队的总得分． （1）求随机变量 的分布列和数学期望；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

解：（1）解法一：由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，且 1分

2 12 2 20 1

，P( 1) C3P( 0) C3 1 1 ， 3分

3 3 9 3 27

2

3

32

8 2 2 43 2 ． 5分 P( 2) C32 1 ，P( 3) C3

3 3 9 3 27

所以 的分布列为

的数学期望为E 0

1248 1 2 3 2． 7分 279927

解法二：根据题设可知， ~B 3 ， 3分

2 3

2 2

因此 的分布列为P( k) C 1

3 3

k3

k3 k

2k

1，2，3． 5分 C 3k 0，

3

k3

因为 ~B 3 ，所以E 3

2 3

2

2． 7分 3

（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”

这一事件，所以AB C D，且C，D互斥，又 8分

2 2 211121111 10

P(C) C32 1 4， 10分

3 3 332332332 3

2 111 4

P(D) C 5， 11分

3 332 3

33

3

2

由互斥事件的概率公式得P(AB) P(C) P(D)

6、（揭阳市2014届高三学业水平考试）

1043434 5 5 ． 12分 4

333243

根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数

进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 天数度污染的概率；

10

（2）在上述30个监测数据中任取2个,设 为空气 8

642空气质量级别

一级二级

三级四级五级六级

图（4）

质量类别颜色为紫色的天数,求 的分布列.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分

所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 P

61

.---------------------4分 305

（2）随机变量 的可能取值为0,1,2,-----------------------------------------------5分

2C2665

则P 0 2 ,-----------------------------------------------------------7分

C308711C4C26104

,----------------------------------------------------------9分 P 1 2

C304352C42

-------------------------------------------------------11分 P 2 2

C30145

所以 的分布列为:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 7、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）

2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市

的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):

(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3

人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为：

(20 0.015 30 0.015 40 0.025 50 0.02 60 0.01) 10 43.5（百元）（5分）

（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：

（7分）

（12分）

(每算对一个一分，正确给出x的取值1分，共5分

)

（14分）

（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分） 8、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估） 一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

（1） 根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；

（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以 表示选中

的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量 的分布列及数学期望E .

a 中，b （附:线性回归方程 y bx

(x )(y )

i

i

i 1

n

(x )

i

i 1

n

,其中,为样本平均值， ,a ,ab

2

的值的结果保留二位小数.） 【解析】(1)

87 90 91 92 95

91, （1分）

5

86 89 89 9 294

90 ,（2分）

5

(x )

i

i 1

5

2

( 4)2 ( 1)2 02 1 42 34,

(x )(y ) ( 4) ( 4) ( 1) ( 1) 0 ( 1) 1 2 4 4 35,

i

i

i 1

5

35 1.03, a x b 7390 1.03 91 3.34

故回归直线方程为 y 1.03x 3.73 (6分) (2)随机变量 的可能取值为0,1,2.

211

C2C2C12

P( 0) 2 ; （7分） P( 1) 22 ;（8分）

C46C432C21

P( 2) 2 . （9分）

C46

故X的分布列为

E 0 1 2 1. （12分）

636

9、（中山市2014届高三上学期期末考试）

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为 ，求 的分布列及数学期望E ．

解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分

……………（5分）

所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

2（II）从95， 96，97，98，99，

100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C6 15，

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

2这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C4 6，

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P

62

. ……………（8分） 155

随机变量 的可能取值为0、1、2、3，则有．

k

∴P( k) C3()k()3 k,k 0,1,2,3

2

535

∴变量 的分布列为：

…………（10分）

E 0

83654546 1 2 3 1251251251255

…………（12分）

解法二. 随机变量 满足独立重复试验,所以为二项分布, 即 ~B(3,)………（10分）

2

5

26

E np 3 …………（12分）11、（珠海市2014届高三上学期期末）

55

答案：

10、（珠海市2014届高三上学期期末）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数； （2）从这15天的数据中任取2天数据，记 表示抽到PM2.5监测数

据超标的天数，求 的分布列及数学期望；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年

（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 解：(1)由茎叶图可得中位数是45 (2) 依据条件， 服从超几何分布：

其中N 15,M 5,n 3， 的可能值为0,1,2

2 k

C5k C10

由p( k) ， 2

C152

C50 C103

得p( 0) ， 2

C157

110C5 C10C52 C10102

， ， p( 1) p( 2) 22

C1521C1521

所以 的分布列为：

102 153

3

E 0 17(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为p 一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则 ～B(360,)

2

3

E 360

2

240 3

一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级

11、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）

平安汽车租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

3600 3000

=12，

50

所以这时租出了88辆车. 4分 （2）设每辆车的月租金定为x元， 5分 则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－x 3000）（x－150）－x 3000×50， 8分

50

50

1x2

整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.

5050

所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050. 11分

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 12分 12、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）

某校有甲、乙两个研究性学习小组，两组的人数如下：

现采用分层抽样的方法，从甲、乙两组中共抽取3名同学进行展示交流。 （1）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；

（2）记X为抽取的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。 解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (5 7):(3 3) 2:1， 1分

所以，按照分层抽样的方法，从甲组抽取的学生人数为

2

3 2；从乙组抽取的学生人数3

为 3 1． 2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A， 3分

11C7 C535

则P(A) ， 2

C1266

1

3

故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为

35

． 5分 66

（2）随机变量X的所有取值为0,1,2,3． 6分

11111

C52 C3C7 C5 C3C52C3515

P(X 0) 21 ,P(X 1) ,2121

C C66C CCC44126126126

1112121C7 C5 C3C7C314C7 C37

P(X 2) ,P(X 3) , 9分212121

C CCC33C C44126126126

所以，随机变量X的分布列为:

10分 数学期望E(X) 0

5151475 1 2 3 ． 12分 664433443

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