数值分析分章复习(第七章 非线性方程求根)

第七章 非线性方程求根

要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断

（2）迭代公式收敛阶概念

（3）Newton 迭代公式及收敛性定理

复习题：

1、建立一个迭代公式计算数

a =要求分析所建迭代公式的收敛性 解：

迭代式为：105

n x x +?=??=??

数a

应是函数()x ?=()a a ?=） 注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ?∈

（2）当[0,5]x ∈

时，恒有()112x ?<'=< 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a

2、对于方程2x

e x -=，

（1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根

（2） 讨论迭代格式 10(12.9,1)k x k x e x +?=∈--??-??的收敛性如何？ （3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式

解：（1）记()2x f x e x =--

显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-<

当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x f x e '=-<

可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点

即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根

（2）取()2x x e ?=-

容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ?∈--，

(II) 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有1)1(x e x e ?-'<=<

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 （3）记()2x f x e x =--

牛顿迭代法形式： 1()()

n n n n f x x x f x +=-' 即：10

211.9n n x n n n x e x x x e x +?--=-?-??=-?

3、为求0123=--x x 在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的

迭代公式：（1）211x

x +=；（2）()3121x x +=。试分析每一种迭代的收敛性 解：记 32()1f x x x =--

(1) 迭代式为1211n n x x +=+，这里记2

1()1x x ?=+

注意到(1.3)(1.5)1f f <, 并且2()32(32)0f x x x x x '=-=->, [1.3,1.5]x ∈

所以区间[1.3,1.5]为有根区间

([1.3,1.5])[1.3,1.5]??, 并且当[1.3,1.5]x ∈时，恒有3|()|211.3x ?≤<'

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

(2) 迭代式为1231(1)n n x x +=+，这里123()(1)x x ?=+ 同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛

4、对于方程01=-x xe 在0.5附近的根。

（1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。

（2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式

解：(1) 01=-x xe 1x x e

= 构造迭代式： 10

n x n x e x -+?=????， 即取迭代函数 ()x x e ?-=

首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间

([0.1,1])[0.1,1]??, 并且当[0.1,1]x ∈时，恒有0.1|()|1x e ?-≤<'

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

设*[0.1,1]x ∈是其根的精确值， 因为**()0x x e ?-'=-≠，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p =

(2) 记()1x f x xe =-

牛顿迭代法形式： 1()()

n n n n f x x x f x +=-' 即：10

1(1)1n n x n n n x n x e x x x e x +?-=-?+??=?

5、应用牛顿法于方程2()10a f x x

=-=，导出求a 的迭代公式 解：牛顿迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=-

' 即：21312n n n n a x x x a x +-

=-， 即312n n n n x ax x x a

+-=-，

即 3132n n n ax x x a +-= 如果1a <，可取01x =， 如果1a >，可取0x a =

6、对于非线性证明方程02ln =--x x

（1） 证明在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.

（2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式

解：（1）记()ln 2f x x x =--，显然()f x 处处可微

(1)10f =-<， lim ()x f x →+∞=+∞

所以，在区间(1,∞)内至少存在一个实根

另外，由于1()10 , (1,)f x x x ∈'=-+∞>

所以，在区间(1,∞)内有且仅有一个实根

(3)1ln30f =-<，(4)2ln 40f =-> 可见根 (3,4)x ∈

（2）牛顿迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=-'

即：1ln 211n n n n n

x x x x x +--=--， 即21ln 21n n n n n n n x x x x x x x +--=-- 即1ln 1

n n n n n x x x x x ++=- 考虑取 04x =

7、据理证明*1x =是方程432231x x x x --+=的一个二重根，

并构造计算*

x 的具有平方收敛阶的Newton 迭代

解：记4322)31(x x f x x x --+-=

因为 (1)0, (1)0, (1)0f f f '''=≠= 所以*1x =是方程()0f x =的一个二重根 注意到，当α是0)(=x f 的m 重根)2(≥m 时，

牛顿迭代法求解0)(=x f 仅是线性收敛的

事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是()()'()

f x x x f x ?=- ， 由 α是0)(=x f 的m 重根，令()()(),m f x x

g x α=- ()0,g α≠

则 ()()()()()()

x g x x x mg x x g x α?α-=-'+- 容易验证：1()1m ?α'=- ，因1,()0,()1m x ?α?''>≠<且，

故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。 求方程m 重根的牛顿迭代法形式： 1()()n n n n f x x x m

f x +=-'

即423132232(1)4343n n n n n n n n n x x x x x x x x x +--+----+= 该迭代至少为平方收敛

8、求方程3250x x --=在区间[2,3]内根的近似值有如下变形

x =（1）试判定对任意初始近似值0[2,3]x ∈简单迭代法1()k k x x ?+=的收敛性；

（2）写出求解该实根的Newton 迭代格式，并考虑迭代初值的选取 解：（1

）记()x ?=([2,3])[2,3]??

并且

|()|1x ?≤<'

所以()x ?作为区间[2,3]上的压缩映射，存在一个不动点*[2,3]x ∈

并且对于0[2,3]x ?∈，迭代式1()k k x x ?+=均收敛到*x （2）牛顿迭代法形式： 1()()

n n n n f x x x f x +=-' 即：21252(1)n n n n n x x x x x +--=--， 即2152(1)n n n n x x x x +++=- 取03x =（注：满足00()()0f x f x ''>）

9、为数值求得方程042=--x x 的正根*x ，可建立如下迭代格式

,2,1,41=+=-n x x n n ,

试利用迭代法的收敛理论证明对于00>?x ，该迭代序列收敛，且满足.*lim x x n n =∞→

解：记

() 0x x ?=

>

显然1()14

x ?'=<< 所以，对于00x ?>，迭代式1()k k x x ?+=均收敛到*x

10、对于非线性方程 1232cos 0x x -+=

（1） 证明方程存在唯一实根

（2） 证明对于任意的0x R ∈，迭代式124cos 3k k x x +=+

产生的序列{}k x 收敛到方程的根

（3） 构造求解该方程根的Newton 迭代式

解：（1）记 ()1232cos f x x x =-+

显然()f x 连续可微，又, lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞=+∞=-∞

所以根据连续函数零点存在定理可知 *(,)x ?∈-∞+∞，成立*()0f x =

另外， ()32sin 0f x x '=--<，可见函数()f x 严格单调递减

故满足()0f x =的点*x 唯一，即方程存在唯一实根 （2）记2()4cos 3x x ?=+

因为22()sin 133x x ?'=<<

所以，对于0x ?，迭代式1()k k x x ?+=产生的序列{}k x 均收敛到方程的根*x （3）牛顿迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=-'

即：11232cos 32sin n n n n n x x x x x +-+=++， 即1122(cos sin )32sin n n n n n x x x x x +++=+

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