广西大学自动控制原理习题答案（本科）第4章

习题参考答案

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?试求：

⑴使系统增益裕度为10的K值； ⑵使系统相角裕度为30?的K值。

解: 系统开环频率特性为G(i?)?(1) 求gm?10的K值：

令?180为相角交越频率，有arctan0.2?180?45?，?180?5由

K

s(0.2s?1)2Ki?(0.2i??1)2

gm?1|G(i?180)|??180(1?0.04?1802)K?10

可解得K=1。

(2) 求?m?30?的K值：

由定义?m?180???G(i?c)?180??(?90??2arctan0.2?c)?30?arctan0.2?c?30?求得系统幅值交越频率

?c?5/3由

|G(i?c)|?K?1

?c(1?0.04?c2)2K??c(1?0.04?c)?3.85

1

注意：涉及相角的计算时，可以

（1）逐个计算基本环节的相角，然后叠加起来。

（2）将频率特性展开为实部和虚部，然后计算相角。 计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。

4-2试由幅相频率计算式

?G(i?)??90??argtan??argtanG(i5)?2确定最小相位系统的传递函数。

?3?argtan10?

解:由相频计算式可得出传递函数的形式为

G(s)?由幅频计算式

K(s/3?1)s(s?1)(10s?1)

G(i5)?2有

K(5/3)2?155?110?5?1222?2

求得K??c(0.2?)2?1?10/3，所求最小相位系统的传递函数为

G(s)?1312(s/3?1)s(s?1)(10s?1)

4-3已知单位反馈系统开环传递函数

G(s)?K(s?1)(s?1.5)(s?2)

若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值。

解：令u?s?1， 则“u平面所有极点均处于负平面”等价于“s平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且

2

G(u)?Ku(u?0.5)(u?1)

可见G(u)并无右半平面的开环极点，所以G(u)的Nyquist轨线不能包围(?1,i0)点。只要满足：G(u)轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令G(u)的相频为?180?，得到

?G(i?uc)??90??arctan2?uc?arctan?uc??180?arctan2?uc?arctan?uc?90?

arctan2?uc??uc21?2??c

?tan90?

21?2?u?0c求得G(u)的相角交越频率

?u?c12 Kmax2G(?uc)??uc??2uc?0.5???2uc?1??1

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即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为

Kmax?3/4。

注意：作变量替换时，尝试选一些点验证一下。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0。

（1）试求系统稳态误差ess；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值ess?0.4A，试选择K值。

3

r?Asin?te?Ks?2y

解：(1)求系统稳态误差ess，系统开环传递函数为G(s)?闭环系统的误差传递函数为

K， s?2Φe(s)?其幅值与相位为

1s?2?

1?G(s)s?2?K4??2Φe(i?)?

(2?K)2??2?Φe(i?)?arctan0.5??arctan因输入r(t)?Asin?t，系统的稳态误差为

?2?K

ess?AΦe(i?)sin(?t??Φe(i?))4??2?

?Asin(?t?arctan0.5??arctan)22(2?K)??2?K(2)因??1，令

4??2(2?K)2??2??1?0.4

有

K2?4K?26.25?0

解得

K1?3.5，K2??7.5(舍去).

故满足题意要求的K值范围为

4

K?3.5

4-5已知系统

G(s)?K?(?ks?1)sv?(Ts?1)jjk

型次ν?0（含有ν个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（??0），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。

答：当开环增益K?0时，起始点位于正实轴；当开环增益K?0时，起始点位于负实轴。

4-6 设系统的开环传递函数为

K(T1s?1) 2s(T2s?1)(T3s?1)(T4s?1)其中K，T1，T2，T3，T4>0。

G(s)?（1）已知T2?T3?T4?T1，试概略绘制该系统的Nyquist图。 （2）若T2?T3?T4?T1，请概略绘制该系统的Nyquist图。 解：（1）G(i0)??e??i180?，而且对于小正数?，有

?G(i?)??180??(T2?T3?T4?T1)???180? G(i?)?0e?i360?， 概略绘制的Nyquist图如下

ImG??0????OReG

（2）G(i0)??e

??i180?，而且对于小正数?，有

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