数学报十年精选题解题方法

小学生数学报10年精选

1 分 类

分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数（数个数的问题中，分类的方法是很常用的。

【例1】数一数，图1-1中共有多少条线段？

【分析与解】图1-1中的线段可分为这样几类： （1）以A为左端点的线段共4条，分别是： AB，AC，AD，AE；

（2）以B为左端点的线段共3条，分别是： BC，BD，BE；

（3）以C为左端点的线段共2条，分别是： CD，CE；

（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。一共有线段 4+3+2+1=10（条）。

还可以把图1-1中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。“基本线段”指AB、BC、CD、DE这样的线段，它们的两个端点之间没有标出其它的分点。按所含“基本线段”来分类，也是4类： （1）只含1条基本线段的，共4条： AB，BC，CD，DE；

（2）含有2条基本线段的，共3条： AC，BD，CE；

（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE； （4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。

分类，对于计数来说十分重要，因为当计数的对象没有规律地交错排列时，它能使我们的思考方向明确，条理清晰，而不容易发生差错。 【例2】 数一数，图 1-2中 共有多少个正方形？

【分析与解】图中的正方形可以分为两大类，第一类是“不斜的”，第二类是“斜着的”。在“不斜的”正方形中，又可分4类：

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①边长是4个单位的1个； ②边长是3个单位的4个； ③边长是2个单位的9个； ④边长是1个单位的16个。 共有 1+4+9+16=30（个） 斜着的正方形共有多少个呢？

我们还是先分类。分类之前，应当注意到这样一个图（图1-3），中间画实线的部分与图1-2中不含斜线（不斜的）部分相同。因此，在“斜着的”正方形中，也可分4类，但边长是1个单位、边长是2个单位的比“不斜的”多，边长是3个单位、4个单位的与“不斜的”同样多，它们分别是： ①边长是4个单位的1个； ②边长是3个单位的 4个；

③边长是2个单位的（9+4=）13个； ④边长是1个单位的（16+8=）24个。

斜着的正方形共有

（1+4+9+16）+（4+8）=42（个）。 因此，图1-2中的正方形一共有 30+42=72（个）。

【例3】如图1-4，平面上有9个点，任意相邻两点之间的距离都相等，如果把其中任意几个点连起来，可得到各种图形。问：（1）可连成多少正方形？（2）可连成多少长方形？（3）可以组成多少直角三角形？

【分析与解】（1）可连成的正方形共有3类：边长是1个单位的，共4个；边长是2个单位的，有1个；边长等于小正方形对角线长的（斜的）有1个。所以，共可连成正方形： 4+1+1=6（个）

（2）可连成的长方形共有两类，一类是正方形（因为正方形是特殊的长方形），另一类是长和宽不等的长方形，有4个。所以共可连成的长方形有： 6+4=10（个）

（3）可组成的直角三角形有两类：

一类是，以每个长方形（包括正方形在内的）4个顶点为直角顶点（如图5、图6中阴影部分），这样的直角三角形每个正方形中都包含4个，一共有： （6+4）×4=40（个）

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另一类是，以图1-4中第二行中间那个点为直角顶点（如图1-7中阴影部分），这样的直角三角形共有： 1×4=4（个）

因而，用图1-4中的点共可连成直角三角形： 40+4=44（个）

请读者想一想：任意一个正方形（如图1-8），作出它的两条对角线以后可组成的直角三角形应当是8个，其中以4个顶点为直角顶点各1个，以对角线的交点为直角顶点有4个。为什么在上面的“分析”中只举出4个。是不是有遗漏？为什么？

【例4】 数一数，图1-9中共有____个梯形。

【分析与解】 要数出图中梯形的个数，首先要弄清楚图中的梯形共有几类。根据梯形的概念（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形），图1-9中的梯形可分为4类：

（1）上底、下底与BC平行，并且上底短、下底长的；

（2）上底、下底与BC平行，并且上底长、下底短的；（3）上底、下底与AB平行的；（4）上底、下底与DC平行的。

在第（1）类中，又可把这些梯形分成4小类（假设AD的长为1个单位）： ①下底长是5个单位的，有： 4×1=4（个）

它们都以BC为下底，AD、EF、GH、IJ为上底； ②下底长是4个单位的，有：

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3×（2+1）=9（个） 它们分别以BL、KC和IJ为下底，对于每个下底，上底都有三种可能。比如，以BL为下底的梯形，上底可为IM、GN、EO； ③下底长是 3个单位的，有： 2×（3+2+1）=12（个）

它们分别以 BQ、KL、PC、IM、SJ、GH为下底，对每个下底，上底都有两种可能；

④下底长是2个单位的，有： 1×（4+3+2+1）=10（个） 所以，第（1）类梯形共有： 4+9+12+10=35（个）

用同样的方法，我们可以数出第（2）类梯形（底与BC平行，上底长、下底短的）有：

1+4+6=11（个）

它们的上底分别为4个单位、3个单位、2个单位；第（3）类梯形、第（4）类梯形各有36个。从而，得到图1-9中共有梯形： 35+11+36+36=118（个）

想一想：对于第（3）类和第（4）类，我们没有像第（1）、（2）两类那样，按上底长、下底短和上底短、下底长再作分类，这样会不会遗漏一部分梯形？为什么？

其实，除了数图形之外，其它的计数问题也离不开“分类”这种重要的思路。 【例5】 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？

【分析与解】在算盘上，上珠一个表示5，下珠一个表示1。根据这两点，可以把两粒珠子在算盘上的位置分为3类： （1）都为上珠时，组成505， 550；

（2）都为下珠时，组成101，110，200；

（3）一个上珠、一个下珠时，组成510，501，105，150，600。

【例6】从 1，2，3，……，99，100中，选出两个数相加，使它们的和大于100，共有多少种不同的选法？

【分析与解】 我们把“选数”看作一件事，做这件事可有99类方法。第1类，第一个数选1，那么第二个数只能选100，共1种选法；第2类，第一个数选2，第二个数可选100，也可选99，共2种选法；……依此类推，99类选数方法如下：

??????

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第98类（98，99）、（98，100）2种 第99类（99，100）1种 一共有：

1+2+3+……+49+50+49+48+……+2+1 =2500（种） 不同的方法。

在例2的分析中，关键是怎样正确地分类。我们这里分类的标准是：每次选的两个数中，总是后一个比前一个大。为什么后一个不能比前一个小或与前一个相等呢？这是为了防止重复。比如在第 50类中选了（50，51），在第 51类中不能再选（51，50），因为（50，51）与（51，50）是一种选法。也正由于这个原因，到了第 51类以后，选法越来越少了。

【例7】 有一种用六位数表示日期的方法，例如，用950208表示 1995年2月8日。用这种方法表示1994年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有____天。

【分析与解】 1994年全年的日期用六位数表示，头两位数字一定是“94”，因此 9月份和 4月份的所有日期都不符合要求。 11月份的所有日期也不符合要求。所以，只依次有1、2、3、5、6、7、8、10、12这九个月中的一些日期符合要求分九类一一列举（如下表）：

续上表

分类计数的关键是正确分类，要做到“正确”，应考虑两条：

（1）分类要全。分类不全，就会造成遗漏。在上面的例4中，如果稍不留心，就会忘记第3类和第4类。分类确定后，要把每一类 中的每一个符合要求的对象都列举出来。

（2）分类要清。如果分不清，第1类中有第2类，互相包含，那就会重复。例6中，我们强调了分类的标准是“后一个数比前一个大”，正是为了防止重复。不然的话，后面列举的数对就会与前面列举过的重复了。

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【思考题】

1.数一数，图1-10中，共有多少个三角形？

[提示：分“尖向上”、“尖向下”两大类，“尖向上”的三角形与“尖向下”的三角形同样多。“尖向上”的三角形又可分为3类，其中边长为1个单位的有“3+4+3+2”个；边长为2个单位的有“3+2+1”个；边长为3个单位的有1个。]

2.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？

[提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。] 2 化大为小找规律

我们先来看一个大数目的计算问题：计算自然数中小于10000的所有奇数的和。

本题实际上就是计算下式的结果： 1+3+5+…+9995+9997+9999

由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。

5000个数太多，逐个相加太麻烦。多的不会，想少的，观察下列特殊情况： 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ??

从上面这组算式不难发现这样一条规律：从1开始连续n个奇数的和，恰好等于n2。这样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直接写出得数了。

我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。因此 1+3+5+7+……+9995+9997+9999 =50002 =25000000

在解决上面这个问题时，我们体会到：

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对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。

这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。

【分析与解】 我们可以先来计算 11×99、 111×999、1111×9999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。 11×99=1089（有2个数字是偶数。） 111×999=110889（有3个数字是偶数。） 1111×9999=11108889（有4个数字是偶数。）

是偶数。

通过计算，可知

是偶数。

从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律：几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0；在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1；在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多；积的最末位是9。积里的偶数（包含1个0和若干个8）的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。 根据这一规律，我们可以推想：

这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。 【例2】数一数，图 2-1中共有多少个正方形？

【分析与解】 我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。

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在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是： 1+4=5（个）

在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是： 1+4+9=14（个）

在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是：

1+4+9+16=30（个）

现在，我们发现了规律：当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是： 12+22+32+……+n2

根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是： 1+4+9+16+25+36+49+64+81=285（个） 【例3】 计算

【分析与解】 上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。

写到这里，规律已经出现了：如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案

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不过，要提醒同学们注意的是：当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。

【例4】 将自然数1，2，3，4，……像图2-5那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是____；在最左边一列中，从上到下第100个数是____。

【分析与解】 先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。

第1列是a1=1=1 第2列是a2=3=1+2 第3列是a3=6=1+2+3 第4列是a4=10=1+2+3+4 ??

现在可以发现规律了。

第100列是a100=1+2+3+4+5+…+99+100 =（1+100）×100÷2 =5050

5050就是最上面一行中从左到右的第100个数。 再来看最左边一列数从上到下的排列规律。 第2行是b2=2=1+1=a1+1 第3行是b3=4=3+1=a2+1 第4行是b4=7=6+1=a3+1 第5行是b5=11=10+1=a4+1 ??

现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是： bn=an-1+1

知道an-1是多少，也就知道bn是多少。要求最左边一列的第100个数b100，应先算出a99。 a99=a100-100 =5050-100 =4950

所以，b100=a99+1 =4950+1 =4951

【例5】 有甲乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲

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样来回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水还剩（ ）千克。

【分析与解】 我们先不考虑倒1995次后甲杯中有多少水，还是先看前几次的情况（列出一个表更容易看出规律）。

续上表

规律出现了：第奇数次倒过之后，甲杯中的水与乙杯相等。1995是个奇数，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍为500克。 再举一个大家很熟悉的例子。

【例6】10条直线最多可把一个长方形分成多少块？

【分析与解】 先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块？

如图2-6，一条直线最多可把长方形分成两块。也就是a1=2；

再添一条直线，即2条直线（如图2-7）可把长方形分成几块呢？要注意“最多”二字，它要求这条添上去的直线必须同前一条直线相交，而不能平行。这样，两条直线最多可把长方形分成 2+2=4（块）

也就是a2=4=2+2。

在图2-7再添一条直线，这条直线既不能经过已有的两条直线的交点，也不能与其中一条平行（如图2-8），它使图2-7中的3块再一分为二（增加了3块）。这样，三条直线最多可把长方形分成 4+3=7（块）

也就是：a3=7=4+3

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现在，我们发现这样的规律： an=an-1+n

因此，a10=a9+10 =a8+9+10 =a7+8+9+10 =………

=a1+（2+3+4+5+6+7+8+9+10） =2+54 =56（块）

这就是说，10条直线可把长方形分为56块。

【思考题】

1.求13+23+33+43+……+103的值。 [提示：写出下列各式 13+23=1+8=9=（1+2）2

13+23+33=9+27=36=（1+2+3）2

13+23+33+43=36+64=100=（1+2+3+4）2 ????

从这组等式中发现：

13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2。]

2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？ [提示：从最简单的情况算起： （1位数）2÷6=0……2 （2位数）22÷6=3……4 （3位数）222÷6=37

（4位数）2222÷6=370……2 （5位数）22222÷6=3703……4 （6位数）222222÷6=37037 算到这里，规律已经很明显了 当位数是3的倍数时，余数为0；

当位数是3的倍数多1时，余数为2； 当位数是3的倍数多2时，余数为4。 3.求图2-9中所有数的和 1 2 3 4 ……100 2 3 4 5 ……101 3 4 5 6 ……102 4 5 6 7 ……103

????????? 100 101 102 103 ……199

[提示：先算图 2-10、图 2-11中所有数的和。

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从图2-10中，可算出所有各数的和是： 4×4×4=43=64

从图2-11中，可算出所有各数的和是： 5×5×5=53=125]

3 从一点突破

你见过建筑工人在墙上开洞装上窗户吗？一面用砖砌成的墙，本来是挺结实的，要在上面开洞并不太容易。通常的做法是先敲开一块砖，这块砖被敲开后，它的上、下、左、右4块砖就容易敲了，然后逐渐向外扩张，一个窗户的地方就留出来了。先敲开一块砖，也就是先找一个突破口。解一些数学题，常常需要从一点突破。

【例1】 如图3-1，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字。问它们分别代表什么数字？

【分析与解】 图中的字母a代表一个被除数，它和g都可写成另两个数的乘积，因而这两个字母的取值范围比其它字母要小一些。我们选择字母a（或g）作为推理的突破口比较好。

（1）由于8个字母代表的数字互不相同，所以，a只能取6或8（如果取4，要么d=e，要么a=e）。这样，a÷d=e这个除式只可能是： 8÷4=2 或 8÷2=4 或6÷2=3或 6÷3=2 （2）如果a÷d=e代表8÷2=4 或 6÷2=3，那么f无值可取。这就是说，除式a÷d=e只可能是 8÷4=2 或 6÷3=2 （3）如果取8÷4=2，f可取3，g=6，c、h只能分别取1和5。但是，如果c=5，b只能取3（与f重复），不行。只有c=1，h=5，b=7 如果取6÷3=2，f取4，g取8，用同样道理可推出：b=5，c=1，h=7 【例2】下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜。

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【分析与解】解算式谜，我们一般把最容易下手的地方作为推理的突破口。这里最容易下手的地方是“先确定A”。 第一步A=E-E=0。

第二步因为A=0，从第一次减法百位上看，B=10-B或9-B（被十位上借出了1）。所以，B=5。

第三步因为B=5，所以C=4。

=8，I=9。

第六步剩下的没有用过的数字只有l、2、3、6、7。F=1时，F×9的个位为9，9已经出现过，不合要求，所以F不是1。2×9=18，3×8=24，6×9=54，8、4都已出现过，所以F不能为2、3、6，从而F=7。7×9=63，所以G=3。H=C-G=4-3=1。又因为7×8=56，所以E=6。

在上述过程中，我们可逐步将字母换成已经求出的数字，最后得到

【例3】把100个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数。该如何装？

【分析与解】这个分装桔子的问题，实际上就是把100分拆成6个数相加，使6个加数必须都含有数字“6”。

由于100的个位数字是0，所以这6个加数的个位数字不能都是6（不然的话，它们和的个位数字是6）。看来，从个位数字上下手比较容易突破。由于每个加数都要含有数字“6”，“6”不在个位上，必定在十位上，但是这6个数的十位数字之和不能超过10，所以它们的十位数字最多有1个为6，这样，就可以推出，有5个数个位数字是6，1个数十位数字是6。因为5个个位数字是6的数相加，和的个位是0，所以十位是“6”的数就是60，而60+6+6+6+6+6=90，比100还少10。所以，这6个数只能是60，16，6，6，6，6。

【例4】油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。但不知道每只桶里各装的是哪种油。已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶。问6个桶内各装的是什么油？

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【分析与解】①因为柴油总重量是机油的2倍，所以柴油与机油的重量和一定是3的倍数。而6桶油（把汽油也包括进去）的总重量是15+16+18+19+20+31=119（千克），119=39×3+2。这就容易推出汽油的重量被3除余2。从“重量被3除余2”这一点，可以先作突破，找出哪一桶是汽油。在15，16，18，19，20，31中，除以3余2的只有20。所以，汽油的重量是20千克。 ②剩下的5桶油一共重:

15+16+18+19+31=99（千克） 其中机油的重量为： 99÷3=33（千克） 柴油的重量为： 33×2=66（千克）

在剩下的五个数15、16、18、19、31中，只有15+18=33，所以重15千克、18千克这两桶内装的是机油；最后剩下的三桶油是柴油。

【例5】A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数：21，23，24，25，27。求原来四个数的平均数。

【分析与解】四个数两两相加，应该得到六个和数，而现在只出现五个不同的和数，说明这六个和数当中有两个相等，如果能找出这个相等的和数，找到了这个相等的和数，也就找到了解决问题的突破口。

因为A、B、C、D这四个数是按从小到大排列的，所以由“B＜C”可以推知A+B＜A+C。从而，可进一步推知 A+B＜A+C＜B+C A+D＜B+D＜C+D

它们当中有两个和数相等，那只能是B+C和A+D了，由此推出六个和数应该是21，23，24，24，25，27。

在把A、B、C、D这四个数两两相加，得出六个和数的过程中，A、B、C、D各用了3次，所以A、B、C、D的平均数应为（21+23+24+24+25+27）÷3÷4=12 【例6】如图3-2，把1～7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。

【分析与解】我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”。因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来。这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等。那么，怎样确定中间圆圈内所填的数呢？我们可以这样考虑：1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写。所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7。这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出。

例如：当中间圆圈填1时，每条直线上两个数的和为9[（28-1）÷3=9]，这时，三组数分别为2和7、3和6、4和5。我们很快可以得到一种填法（见图3-3）。

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同样，当中间圆圈内填4或7时，分别可以得到1和7、2和6、3和5以及1和6、2和5、3和4两种填法。

上面我们讨论的这个例子中，从“重复用数”入手，因此分析起来还不太难。如果“重复用数”多一些的话，思考问题的过程又将怎样呢？请试一试思考题第2题。

【思考题】

1.把下面各题中的“☆”换成适当的数字。

[提示：左边的算式中，乘数的个位、十位与被乘数相乘，积都是两位数，可见，乘数的个位、十位数字都是1，可以把确定乘数作为突破口；右边的算式中，由商的十位数字与除数的积个位是5，把确定商的十位数字作为突破口。]

2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在图3-4的圆圈内，要求三边四个数相加的和相等，并且①三边四个数相加的和要最小；②三边四个数相加的和要最大。怎样确定这两种情况下的三个重复用数？

[提示：三个顶点上的数都是“重复用数”，设它们分别为a、b、c，每条边上4个数的和均为k，那么

1+2+3+……+9+a+b+c=3k

当a+b+c=6时，k最大；当a+b+c=7+8+9=24时，k最小。]

4 试 验

“鸡和兔共42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡、兔共有108条腿。问鸡、兔各有多少只？”

这道题你现在也许能用好几种方法列式解答。你知道一些数学家怎么想吗？

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他们这样做： 先在已知条件“42只鸡和兔”范围内，估计一个数，比如有10只兔、32只鸡，那么共有腿4×10+2×32=104（条）。104靠近108，但比108小，说明兔子不止10只。因此，我们进一步估计有11只兔、31只鸡，那么共有腿4×11+2×31=106（条）。这时尽管没有到达成功的彼岸，但答案已是俯首可拾了，因为每增加一只兔和减少一只鸡（用兔来换鸡），就等于增加了两条腿，所以兔子有12只，鸡有30只。

为什么数学家们一开始不先猜有1只兔、41只鸡呢？因为那样猜的话，就离已知条件“鸡兔的腿共108条”太远了，试验就太费时间了。可见，数学家们在用试验的方法解题时是这样想的：在符合部分已知条件的范围内，为了减少试验的次数，应尽量跨大试验的第一步，使第一个猜测尽量靠近题意。然后把猜得的答案进行试验，看是否符合题意。如果符合题意，问题得解；如果不符合题意，就排除这种猜测（一种可能性），接着再试，直到得出正确答案为止。

华罗庚爷爷十分欣赏这种试验的方法，他曾经赞不绝口地说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法。”“不要以为方法笨不可取，有了方法之后，方法是死的，人是活的。运用之妙，存乎其人。” 下面，我们来举例说明试验法在解题中的作用。

【例1】在下面15个8之间添上适当的运算符号（必要时，可使用括号），使得数为1995。

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1995

【分析与解】我们可以先试一试，但应尽量跨大试验的第一步，使其中的几个“8”所组成的算式计算结果比较靠近1995，然后用剩下的几个“8”来调整。 容易看出，8888÷8=1111 1111+888=1999

好，现在已经得到1999了，它与1995还相差4。这时，我们一共用去了8个“8”，还剩下7个“8”。下面的任务就是用7个“8”组成一个算式，使它的结果是4。

这是比较容易办到的： 8×8÷8=8

8与4相差4，用剩下的4个“8”，组成得数是4的式子。 8×8÷（8+8）=4

到这里，试验就算成功了，组成的算式是： 8888÷8+888-8×8÷8+8×8÷（8+8）=1995

有没有别的方法组成得数是1995的算式呢？你可以再试试。

用试验法求得正确答案，首先要确定有几种可能，这就是试验的范围。范围越小，试验的次数越少，越容易试验成功。所以，应当把缩小试验范围看作我们解题的第一步。

【例2】有一个四位数3AA1，能被9整除。问A代表几？

【分析与解】一个数能被9整除的特征是：这个数的各位数字的和能被9整除。根据这个特征，我们可以知道：3AA1的四个数位上数字的和： 3+A+A+1=2A+4

2A+4能被9整除，它可能是9，18，27，……

但是，A≤9，所以2A≤18，2A+4≤22。这样，试验的范围比较小了（两种可能）：

2A+4=9

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或 2A+4=18

由于2A+4又一定是偶数，所以只能是： 2A+4=18 2A=14 A=7

【例3】一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字等于百位数字与个位数字的积。求这个三位数。

【分析与解】我们先根据第一个条件，可以把试验的范围缩小在三种情况： （1）个位数字1，百位数字3； （2）个位数字2，百位数字6； （3）个位数字3，百位数字9

再根据第二个条件“十位数字等于百位数字和个位数字的积”决定上面三种情况中应该选择哪一种。

第（1）种情况，可以求得十位数字是1×3=3，而第（2）（3）两种情况都不可能求得十位数字（因为2×6、3×9都大于9，不能做十位数字），所以要求的三位数是331。

下面几个例子比较复杂些。

【例4】将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。问剩余部分的管子最少是多少厘米？

【分析与解】从题目的问句看，应抓住“最少”二字来思考，先考虑没有剩余，再考虑剩余1厘米、2厘米……

（1）如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余，那么374应该是4的倍数，因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数，但374不能被4整除，所以没有剩余不可能。

（2）如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米，根据36、24都是偶数，“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知，原来铝合金管长应为奇数，这与管长374（偶数）的条件矛盾，所以，剩1厘米也不可能。 （3）如果最后剩下2厘米。这种情况有可能。374÷（36+24）=6……14。这说明两种都截6根余14厘米，这时需要调整：少截一根24厘米长的，加上14，24+14=36+2，正好合一根36厘米长的，还剩2厘米。

【例5】老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，…，

【分析与解】根据题意可知：

在上式中，被除数、除数都是整数，而商是一个分母为15的分数，这说明：剩下的数的个数是15或15的倍数。 我们可以根据这个猜测来试验。

如果剩下的数的个数是15，剩下的数的总和应是15×16+4=244，那么，擦掉一个数之前，从1开始的自然数有“15+1=16”个，它们的总和是1+2+3+…+16=136，136＜244，也就是1至16这16个连续自然数之和小于1至16这16个连续自然数中的任意15个自然数之和。矛盾！所以，剩下的数不可能是15个。

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那么，擦掉一个数以前从1开始的连续自然数有30+1=31（个），总和是1+2+3+…+31=496，496＞488符合题意。 由496-488=8可知，8就是被擦掉的数。

得到了符合题意的答案，15的其它倍数就不必再试了。

【例6】某校排演团体操时，全体学生恰好能由一个正三角形队列变换为一个正方形队列。现只知道全校学生数在1000～2000人之间，那么这个学校有多少名学生？

【分析与解】先考虑“能组成正方形队列”这个条件，由这个条件可以知道学生总数是某个自然数的平方。因为正方形队列中每行、每列人数相等。在1000～2000之间共有322、332、342、352、362、372、382、392、402、412、422、432、442这13个数符合条件。这样，我们在1000～2000之间排除了许多数，大大缩小了答案的范围。在这13个数中，再根据“能排成正三角形队列”这个条件逐一试验，并不是一件困难的事。

如图4-1，等边三角形队列中，相邻两行之间的人数成等差数列。那么，这个队列中的总人数为（设总行数为n）：

由于2S=n×（n+1），而n×（n+1）表示两个连续自然数的乘积。所以，我们只要把上面筛选出来的13个数逐一试验，看哪个数的2倍能够分解为两个连续自然数的乘积。

试验的结果是，只有1225（352）可以，其它12个数都不行。 因此，题目的答案是：这个学校共有学生1225人。

下面这个例题中，由于计数对象较多，需要试验的次数也比较多，但不难。希望你既要细心，又要耐心。

【例7】有一种用六位数表示日期的方法，如890817，表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有____天。

【分析与解】这道题仍然用试验法，首先缩小试验的范围。 1月份，形如“9101□□”，全部排除； 9月份，形如“9109□□”，全部排除； 10月份，形如“9110□□”，全部排除； 11月份，形如“9111□□”，全部排除； 12月份，形如“9112□□”，全部排除。 还有2月份，

上旬形如“91020□”，全部排除； 中旬形如“91021□”，全部排除； 下旬形如“91022□”，全部排除。

这样，1月、2月、9月、10月、11月、12月全部排除，试验的范围大大缩小了，只有在剩下的3月～8月这6个月中试。但这6个月按上旬、中旬、下旬不同，试验范围还可进一步缩小。因为表示中旬的日期排除了；表示月份的0□

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中的“0”又把每个月中表示上旬的日期排除了。这样，只需考虑三到八月份中下旬的日期就行了。

三月份：9103□□，符合要求的有24、25、26、27、28。 四月份：9104□□，符合要求的有23、25、26、27、28。 五月份：9105□□，符合要求的有23、24、26、27、28。

类似地，在六、七、八三个月中，合要求的日期也各有5天。 所以全年中六个数字都不相同的日期共5×6=30（天）。 【例8】学校早晨6∶00开校门，晚上6∶40关校门。下午有一同学

【分析与解】题目中所说的“现在”是下午的某一时刻，因此我们可以采用试验的办法来解。

如果当时是下午3点，那么，从开门到“现在”的时间一共是 （12+3）-6=9（小时）

时。根据题目中的等量关系（老师说的话），容易知道“现在”是下午3时还嫌早了一些。因为

所以，我们可以判断：“现在”一定在下午3点钟以后，并且比3点大约迟1小时。

根据上面的估计，我们可以大胆地跨出试验的第一步： 如果当时是下午4点，那么12+4-6=10（小时）

试验一步成功，说明“现在”的时间是下午4点。 【思考题】 1.解下面的算式谜：

[提示：根据“4□÷1□”商3，推知除数只有14、15、16这三种可能，然后逐个

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试验。注意：“9□÷1□”必须余4。]

2.已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个相对的面上所写两个数的和都等于7。现在把五个这样的正方体一个挨着一个地连接起来（如图4-2），在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8。那么图中打“？”的这个面上所写的数是几。

[提示：根据“相对的面上所写的数字之和都等于7”和“紧挨着的两个面上所写数字之和都是8”，可推知，左上角的正方体前面所写的数字是3

（由，后面是4；左、右两面分别是2或5。然后

用2和5分别试。]

3.三个连续偶数的乘积等于14□□□□8，求这三个偶数。 [提示：三个连续偶数的积是七位数，由1003（100×100×100的积）是七位数，可估计这三个数是三位数的可能性较大。又因为这是三个连续偶数，它们的个位数必定是数列“0，2，4，6，8，0，2……”中连在一起的三个数，已知三个连续偶数的积的个位数字是8，所以这三个数的个位数字必定是2，4，6。又因为三个连续偶数的积的最高位数字是1，所以三个三位数的百位数字只可能是1。 由1103=1331000，1203=1728000，推得三个数的十位数字都是1。] 5 移多补少

同学们都知道，解答“求平均数应用题”离不开“总数量÷总份数=平均数”这个数量关系式。不过，如果你能紧扣“平均”二字的意义来思考，那么，解那些灵活性强的题目，往往能想出更简便的方法。

在“平均”二字中，“平”就是“拉平”，也就是移多补少，“均”就是相等。“平均”二字的意思，通俗地说，就是用“移多补少”的办法，使每份数量都相等。因此，移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。

【例1】新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台？ 【分析与解】按惯例，应该用四天装配的总台数除以4，综合算式为： [50+（50+5）+（50×2+3）]÷4=52（台）

如果采用移多补少的方法，将会十分简便。假设每天都装配50台，那么四天一共多装配5+3=8（台），把这8台平均分成四份，8÷4=2（台），因此，平均每天装配50+2=52（台），综合算式为：50+（5+3）÷4=52（台），你看，这种解法多么巧妙！

【例2】小红跳绳3次，平均每次跳156下，要想跳4次后达到“平均每次跳160下”，她第4次要跳多少下？

【分析与解】前3次的平均数为156，要想4次的平均数达到160，就是说第4次跳绳要超过160下，并且使超过的部分平均分成3份后恰好把前3次拉平（都是160下）。第4次应跳：

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160+（160-156）×3=172（下）。

【例3】从11到20十个连续自然数相加的和，再加上2000，等于从（ ）到（ ）这十个连续自然数相加的和。

【分析与解】我们容易算出：11+12+13+……+20=155，155+2000=2155。 要想知道2155是从（ ）到（ ）的十个连续自然数的和，只要知道其中最小的数或最大的数是多少就行了。我们可以用“削平”或“补齐”（也就是“移多补少”）的技巧来解。设这十个连续自然数中最小的为a1，它后面的9个连续自然数依次为a2，a3，a4，??a8，a9，a10。这9个数比a1分别大1，2，3，……8，9。如果把这些9个数的和减去，那么原来的十个数都和a1相等了，这就是“削平”，如图5-1：

由于a1+a2+a3+……+a10=2155，可知“削平”以后，有 10×a1=2155-（1+2+3+4+……+9） 即10a1=2110 a1=211 从而可求出： a10=a1+9 =211+9 =220

“移多补少”一般用于解“平均数应用题”，它的优点是简单灵活，便于心算。

【例4】某工厂一周内生产机器的台数统计表如图5-2，请你把星期三、星期四的产量算出来。

【分析与解】由“平均每天生产79台”可知，把六天中日产量超于79台的“移出”一部分（多出的一部分），“补到”日产量不足79台的几天后，每天都是79台。可以这样移：

星期一的89台中移出10台，使星期一为79台（多10台）；

星期六的85台中移出6台，其中5台给星期二，使星期二、星期六都是79台（还多1台）；

星期五的81台中移出2台，使星期五也是79台。 现在，星期一、二、五、六都是79台，多出的是： 10+1+2=13（台）

补给星期三和星期四。

可以肯定星期四原有78台，如果是68或比68少，那么，一共多的13台不够；如果是88台或更多，那么，平均日产量就超过79台。这样，星期四需要补1台。星期三需要补 13-1=12（台）

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星期三原有 79-12=67（台）

【例5】有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得200元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元。漆工得了多少元钱？

【分析与解】根据“移多补少”的原则，漆工比平均工资高出的30元，分别补给6个木工以后，6个木工的平均工资恰好应该是7个人的平均工资： 30÷6=5（元）

从而，7个人的平均工资应是： 200+5=205（元） 漆工的工资是： 205+30=235（元） 【思考题】

1.在迎新年的寿星联欢会上，有16位老寿星围坐在一起，他们的年龄恰好是16个连续自然数，而且30年后他们的年龄之和又恰好是1992。其中最老的寿星是多少岁？

[提示：模仿例3的思路。]

2.在三场击球游戏中，阿丽丝的分数分别是139、143、144，为了使四场得分的平均分数为145，第四场阿丽丝应得多少分？[提示：由前三场的得分都比平均分低，需补足145，想“应补的分数+平均分=第四场得分”这个关系。]

3.甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出4角钱，问甲应收回多少钱？（以分为单位）

[提示：由“丙应该拿4角钱”可知，8个面包共值40×3=120（分），每个面包值120÷8=15（分），每人应拿出15×3=45（分）；又由一共买了8个面包（不够9个）“三个人平均分吃”可知，每人所吃的面包不到3个。这样丙拿出的4角钱中既有甲的，又有丙的。] 6 等量代换

小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。

为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。

“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。

解数学题，经常会用到这种思考方法。

【例1】百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

【分析与解】我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成

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纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。也就能求出一个木箱装多少双球鞋。 300÷（2×2+6） =300÷10 =30（双） 30×2=60（双）

答：每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。

想一想：如果把纸箱换成木箱，假如300双球鞋全部用木箱装，应该怎样解答？

【例2】如图6-1：阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。

【分析与解】因为中间是正方形，正方形的四边相等，所以DF=FE=BE=BD①长方形ABDC的周长为7×2=14（厘米），长方形EHGF的周长为5×2=10（厘米），又因为最大的长方形AHGC的周长等于： AB+AC+CD+DF+FG+GH+EH+BE ②

根据①式对②式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABDC的周长加上长方形EHGF的周长。 所以，图6-1中最大长方形的周长是： 7×2+5×2=24（厘米）

【分析与解】根据题意列成各种等量关系式：

鱼头重量=鱼尾重量+鱼身重量×1/2…………………① 鱼身重量=鱼头重量+鱼尾重量………………………②

鱼重量=鱼头重量+鱼身重量+鱼尾重量 将①式代入②式得：

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【例4】甲乙两数之差是16.65，如果将乙数的小数点向右移动一位就与甲数相等，求甲、乙两数。

【分析与解】把一个小数的小数点向右移动一位，这一个数就扩大10倍。乙数扩大10倍后才与甲数相等，可见甲数是乙数的10倍。 把题目中的条件简写成这样的两个关系式：

甲数-乙数=16.65……………………………………① 乙数×10=甲数………………………………………② 由②式可知用“乙数×10”可代换甲数，所以①式可变成： 乙数×10-乙数=16.65， 乙数×（10-1）=16.65。

由此，我们可得出这道题的解答方法： 乙数：16.65÷（10-1）=1.85， 甲数：1.85×10=18.5。

如果把题目要求的未知量用字母来表示，那么用代换法消去未知量的过程就一目了然了。

【例5】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

【分析与解】设小水泵每小时的抽水量为X立方米，大水泵每小时的抽水量为Y立方米。根据题意，有

把①式改写成

6X+4×2Y=312……………………………………… ③ 把②式中的“2Y”用“5X”代换，③式可写成 26 X=312

解方程，得 X=12

由X=12 可知 5X=60，用它代换“2Y”可得 2Y=60 Y=30

这就是说，小水泵每小时抽水12立方米，大水泵每小时抽水30立方米。 【例6】图 6-2中，正方形面积是50平方厘米。求阴影部分的面积。

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【分析与解】要求阴影部分的面积，必须知道正方形的面积和扇形的面积，然后用正方形的面积减去扇形的面积求得阴影部分的面积。正方形的面积已知道，扇形的面积还不知道。要求出扇形面积必须知道扇形的半径，而扇形的半径就是正方形的边长，从正方形的面积求正方形边长，小学阶段没有学过，怎么办呢？如果把计算扇形面积的公式“S=πr2÷4”认真观察、思考一下，就不难发现这里的r2恰好是正方形边长的平方，就等于正方形的面积50平方厘米。所以，计算扇形面积只要用“50”代换算式中的r2就可以了，没有必要再求出半径r的长度。因此，这道题可列式解答如下： 50-3.14×50÷4 =50-39.25

=10.75（平方厘米） 【思考题】

1.在图6-3中，梯形的下底是6厘米，高3厘米，DF=2厘米，求阴影部分面积。

[提示：连接F、B，那么△BCE的面积与△BFE面积相等。]

2.在图6-4中，两个圆的半径都是1厘米，S2=S4。求长方形AO1O2B的面积。

[提示：长方形AO1O2B是由S1、S2、S3、S4四个部分组成的，S长方形

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7 画示意图

在数学中，“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。几乎所有的数量关系或数学规律都可以用生动形象的示意图来反映。

比如，我们在《找规律》中，曾经总结出这样的规律： 1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2

这个公式表示：从1开始的n个连续奇数相加，所得的和一定是n2。这条规律也可用图7-1来表示：

再比如，（a+b）2=a2+2ab+b2这个公式也可以用图7-2表示：

“数”与“形”之间存在的这种密不可分的关系，对我们解数学题很有启发。当数学题中的数量关系式所包含的规律比较隐蔽、不容易理解时，应当恰当地画出示意图。

【例1】A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘？

【分析与解】根据“A已经赛了4盘”这个条件，可画出图7-3；再根据“B赛了3盘、C赛了2盘、D赛了1盘”，可画出图7-4。

从图7-4上很容易看出：小青赛了2盘。

【例2】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年有多少岁。

【分析与解】用A-、A、A+分别表示学生过去、现在、将来的年龄，用B-、B、B+分别表示老师过去、现在、将来的年龄。这样，老师所说的两句话（数量关系）就可用图7-5来表示：

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从图中可以看出

（B+-A+）+（B-A）+（B--A-）=39-3 由于两个人的年龄差保持不变，所以 B+-A+=B-A=B--A- 这样，就得到 （B-A）×3=39-3 B-A=12

A=B-=3+12=15（岁） B=A+12=15+12=27（岁） 也就是说，老师今年27岁。

在分析一些复杂的行程问题时，画示意图的作用就更大了。

【例3】甲、乙两辆汽车同时从 A、B两地相向而行。第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到B、A后返回，第二次相遇时离B地25千米。求A、B两地的距离。

【分析与解】解这道题如果从路程、速度、时间的关系去分析，就会感到条件不足。现在我们从整体来分析：两车同时出发，第一次相遇时，它们一共行了A、B两地的1个全程；两车从出发到第二次相遇，合行了3个A、B两地的全程。这个重要的隐蔽条件从图7-6中才能更容易发现。

由于两车合行的“1个全程”中，甲车所行的路程是50千米，那么当两车从开始出发到第二次相遇这个过程（合行了“3个全程”）中，甲车共行的路程就是： 50 × 3=150（千米）

这时，甲车到达B地后已返回25千米。所以，A、B两地的距离是： 50×3-25=125（千米）

【例4】建国路小学五、六年级同学去参观科技展览，346人排成两路纵队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米。现在要过一座长889米的桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要多少分钟？ 【分析与解】要求从排头两人上桥到排尾两人离桥共用多少分钟，必须用“队伍过桥所走的路程÷队伍过桥的速度”。队伍过桥走的路程是多少米呢？为了解决这个问题，我们可先画出示意图（图中“●”表示排头，“○”表示排尾）：由于队伍本身有一定的长度，所以“队伍过桥所走的路程”可看作“排头从B点到D点或者排尾从C点到A点所走的路程”。从图上看，这个“路程”应该等于“桥长+队伍的长”。

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根据“346人排成两路纵队”，可知每个纵队的人数是“346÷2=173”人。由于排头站了1人，所以173人把队伍分为“173-1”等份，由“相邻两排前后各相距0.5米”，可知每等份长0.5米，所以队伍的长度应为“0.5×（173-1）=86”米。 队伍通过大桥共用去的时间是： [889+0.5×（346÷2-1）]÷65=15（分）

几？

格，乙数代表9个空格，所以

【例6】某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学？

【分析与解】如图7-10，我们用A、B、C三个圆圈来分别表示语文、算术、外语得100分的同学。那么语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学就是A、B的公共部分和B、C的公共部分，A、C的公共部分就是语文、外语两门都得100分的同学，A、B、C三圆圈的公共部分表示三门都得100分的同学。题目所要求的“至少有一门得100分”的同学的人数，相当于求A、B、C三个圆实际所盖住的面积。为了求这个面积，我们可把它分成彼此不重叠的7个部分——S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7（如图 7-11）：

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从图中可知：

A+B+C=（S1+S2+S3+S4）+（S2+S3+S5+S6）+（S3+S4+S6+S7） =（S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7）+（S2+S3）+（S3+S6）+（S3+S4）-S3

把已知条件中的14，12，10，4，5，5，3代到上面式中，可得到“至少有一门得100分”的人数是：

14+12+10-4-5-5+3=25（名） 【思考题】

[提示：用正方形（图 7-12）表示“ 1”。]

[提示：仿照例5，先推出乙数是甲数的几分之几。]

3.一个袋中装有若干红色与蓝色的弹子。如果取出1粒红弹子，那么剩余弹子的七分之一是红色的；如果不是取出1粒红弹子，而是取出2粒蓝弹子，那么剩余弹子的五分之一是红色的。袋中原来装有多少粒弹子？ [提示：先根据题意画出图7-13。]

4.一个班有42名学生，其中有32人订《小学生数学报》，27人订《中国少年报》，每个同学至少订这两种报纸中的一种。问这两种报纸都订的同学有多少人？

[提示：模仿例6。]

5.在两条垂直相交的公路上，甲由南向北走，乙由西向东走。甲出发地点在两条公路交叉点南1120米。乙出发地点在交叉点。甲、乙同时出发4分钟后，两人所在位置与交叉点距离相等，再经过52分钟，两人所在位置又与交叉点距离相等。甲、乙两人每分钟各走多少米？

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[提示：根据题意，画出图7-14：图中O点为两条公路的交叉点。在4分钟内，甲走完AB这段路，乙走完OC这段路。因为OC=OB，所以，甲、乙两人在4分钟内一共走完了AO（= AB+OB）这段路。这样，我们可求出甲、乙两人的速度和为每分钟 1120÷4=280（米）

再经过52分钟，甲走完了BE这段路，乙走完了CD这段路。如果连同前4分钟算在内，在56分钟内，甲比乙多行的路为： AE-OD =AE-OE =AO

这样又可求出甲、乙两人的速度差为每分钟 1120÷（4+52）=20（米）

现在，我们把问题转化成一个“和差问题”了。] 8 反过来想

许多同学都知道司马光破缸救小伙伴的故事吧。司马光在十分危急的情况下，不但没有惊慌失措，反而想出了一个非常聪明的办法把落在水缸里的小伙伴救出来了。真叫人佩服！ 司马光聪明在哪里呢？

在于他不受习惯思维的束缚，敢于反过来想问题。

一般人的习惯想法是：人落水了，要救落水的人，就要使人离开水，把人从水缸里拉出来。可是司马光等孩子人小力气小，水缸又深，让落水的小伙伴离开水一时是办不到的。于是，司马光就反过来想：为什么不可以让水离开人呢？让水离开人与让人离开水，对于救落水的小孩来说，效果是一样的。因此，司马光用石头把水缸砸破了，落水的小孩也就得救了。

可见，当你按习惯思路解决问题困难时，不妨也反过来想想。反过来想，是我们解数学题的一种很好的方法。

【例 1】用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛？

【分析与解】首先要弄明白“淘汰制比赛”的意思，在淘汰制比赛中，每赛一场就有一人被淘汰（这个人不能再参加下面的比赛了）。我们可以这样想：先把200人分为100组，进行100场比赛，可淘汰100人；再把剩下的100人分为50组，进行50场比赛，可淘汰50人；把剩下的50人分为25组，进行25场比赛，又可淘汰25人；把25人中的24人先分为12组（另1人留到后面出现单数时加入分组），进行12场比赛，淘汰12人；…… 这样做比较麻烦。

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其实，只要反过来想一想，就会有更加简单的方法了：

考虑“产生冠军一名”的反面是“淘汰199名选手”。因为每淘汰1名选手需比赛1场，所以，要淘汰199名选手，共应进行比赛199场。

【例 2】1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少？

【分析与解】由于所有不能被9整除的数排列起来，没有什么规律，所以要求它们的和也就没什么简便方法了。但是，当我们考虑问题的反面（1～100中能被9整除的数的和）时，就可以从1～100这100个数的和中，减去能被9整除的数的和。

1+2+3+……+99+100=5050 9+18+27+……+90+99 =9×（1+2+3+……+10+11） = 9×66 =594

所以，要求的那些不能被9整除的数的和是： 5050-594=4456

【例3】有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。有三个人分别从不同角度观察的结果分别如图8-1（a）、图8-1（b）、图8-1（c）。问这个正方体中，与“1”、“2”、“3”相对的面上分别是什么数字？

【分析与解】我们可以考虑“1的对面是什么数字”这个问题的反面—— “ 1的对面不是什么数字？” 从图8-1（a）可以看出：

1的对面不是6，也不是4； ① 从图8-1（b）可以看出：

1的对面不是2，也不是3。 ②

比较①、②这两个结果，可以肯定：1的对面是5。（这个结果又是一个条件，2、3、4、6的对面都不可能是1和5。） 再看“3的对面不是什么数字？” 从图8-1（b）可以看出：

3的对面不是1，也不是2； ③ 从图8-1（c）可以看出：

3的对面不是4，也不是5。 ④

比较③、④这两个结果，可知：3的对面是6。 现在只剩下2和4，它们一定是相对的两个面。

从以上几个例子中，我们可以体会到：“反过来想”对于解一些看上去很麻烦的题目，有意想不到的效果。不过，用这种方法解题，首先要弄清“问题的反面是什么”，“问题的反面”解决了，“问题”是不是就解决了。

【分析与解】对于第（1）题，问题的反面可看作“它们与1相比，差哪个大？”，

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“差”大的分数较小，“差”小的分数较大。

这就像两个人带同样多的钱上街买东西，如果想知道谁花掉的钱多，只要比较一下谁剩下的钱少就可以了。

对于第（2）题，问题的反面是“比较它们的倒数，倒数大的分数较小，倒数小的分数较大”。

【例5】设1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取一个或者几个不同的数求和（每一个数每次只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是：1，3，4，9，10，12，……

那么，第60个数是多少？

【分析与解】“从左向右，第63个数”的反面是“从右向左，第4个数”。这样，我们只要找出这63个数中第4个的那个数就行了。

根据条件，从给定的六个数中每次取1个或者几个不同的数求和，可以得到（1+2+3+4+5+6）×6÷2=63个新数，从小到大排列的第60个新数，也就是从大到小排列的第4个新数。在63个和数中，最大的是364（1+3+9+27+81+243），接下来，依次是363（3+9+27+81+243）、361（1+9+27+81+243）、360（9+27+81+243）。所以，第60个新数是360。

【例6】某小学40名同学参加数学竞赛，用15分制记分（分数为0、1、2、……15）。经统计，全班总分为209分，而且相同分数的学生不超过5人，那么，得分超过12分的学生至多只有9人。试说明这是为什么。

【分析与解】假设“得分超过12分的学生至少有10人”（“得分超过12分的学生至多只有9人”的反面）是对的，那么全班总分至少有：5个13分，5个14分，5个0分，5个1分，5个2分，5个3分，5个4分，5个5分，合计得（0+1+2+3+4+5+13+14）×5=210（分），它大于209分，与条件矛盾。所以，一开始的“假设”错误，假设的反面（“得分超过12分的学生至多只有9人”）是正确的。

例6的“分析与解”中这种从反面考虑问题的方法，也叫做“反证法”。 【思考题】

1.比较下面两个分数的大小：

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2.一个迷宫（如图8-2）入口在A，中心在B。怎样从A到中心处B？

[提示：想“怎样从中心处B走到A？”] 3.有一个4行6列，共（4×6=）24个方格的木箱（如图8-3），每个方格可放置一瓶牛奶。现在要把有18瓶牛奶分放进去，但要求每行、每列摆放的牛奶瓶的个数都是偶数，这件事能办到吗？

[提示：由“24-18=6”可知，有6个空格不放牛奶瓶，其余18个空格分放18瓶牛奶瓶。因为图8-3是4行、6列，4和6都是偶数，由“偶数-偶数=偶数” 可知，如果每行每列不放牛奶瓶的空格数都是偶数，那么每行每列放了牛奶瓶的个数一定也是偶数了。注意：0也是偶数。

这样就将问题转化为它的反面——从图8-3的24个空格中选出6个空格。分别打上符号“×”（表示不放牛奶瓶），使每行每列“×”的个数都是偶数。这件事是容易办到的，并且放置的方法很多。]

有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。问：能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数，等于他这一排其余孩子号码数的和？说明理由。[提示：用“反证法”解。假如可以按要求排成，那么每排中各号码的和一定是号码数最大的那个孩子的号码数的2倍。这样所有孩子的号码数一定是若干个偶数相加，仍是偶数。但是1～1993这1993个数的和是

（1+1993）×1993÷2=997×1993 它是一个奇数。矛盾。]

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9 分析因果关系

任何一件事都有前因后果，分析事物的因果关系，才能作出正确的判断和推理。公安机关的刑警从一点蛛丝马迹中，往往能找到搜捕罪犯的线索。这里的蛛丝马迹只是结果，刑警们更感兴趣的问题是：罪犯为什么留下这样的蛛丝马迹？这就是分析，也就是抓住结果找原因。我们解数学题，也应当学会这种顺藤摸瓜，分析因果关系的本领。

【例1】用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想一想：一杯水和一个空瓶各重多少？ 【分析与解】我们先把两次倒水的情况作一次比较。从连瓶重量来看，第二次比第一次重了“600-440=160（克）”，怎么会多160克的呢？因为第二次比第一次多倒了“5-3=2（杯）”水。这样，我们就容易求出每杯水的重量为：160÷2=80（克）。求得一杯水的重量后，空瓶重量就不难求了。

这个例子虽然简单，但从上面的分析过程中我们可以归纳出这类应用题的一般思路：（1）先比较两种情形，从数量上看出差别；（2）分析造成这种数量差别的原因；（3）利用这种因果关系来沟通题目中已知量与未知量的关系，并求出正确答案。

【例2】兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养；如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈。问这个养猪场有多少间猪圈？共养了多少头猪？

【分析与解】我们把题中“如果??就??”与“如果??将??”这两个已知条件进行对比，可以发现，照第二种安排一共可比第一种安排多养猪10×2+4=24（头）。为什么可以多养猪24头的呢？原因是第二种安排比第一种安排每间猪圈多养猪10-8=2（头）。弄清了这个因果关系，就容易求出猪圈间数和一共养多少头猪了。 （10×2+4）÷（10-8）=12（间） 8×12+4=100（头） 或 10×12-10×2=100（头）

【例3】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？

【分析与解】这道整数应用题，我们无论是从条件想起，还是从问题想起，都不容易找到解决问题的办法。如果抓住题目中的“25天完成全月计划”这一条件深入思考：这个厂为什么用25天就完成了全月的生产任务？这最后5天的生产任务为什么能提前完成？问题就能很快地得到解决了。

因为实际每天比原计划多生产80台，这样生产了25天，就比计划25天多生产了： 80×25=2000（台）

就把原来计划在后5天的生产任务给提前完成了。换句话说，这2000台机器就是原计划后5天的生产任务。那么，原计划每天生产的台数应为： 2000÷5=400（台）

原计划十一月份的生产任务应为： 400×30=12000（台）

【例4】一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行

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整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？

【分析与解】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。由于整顿后每天比整顿前多生产化肥25吨，所以，一共多生产化肥22×25=550（吨）。可题目中却说整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，这岂不是“自相矛盾”吗？ 究竟“矛盾”出在哪里呢？ 原来，我们刚才算出的“550吨”是整顿后22天比整顿前22天多生产的化肥；而题目中告诉我们的“400吨”是整顿后22天比整顿前24天多生产的化肥。这完全是两码事，所以“550吨”与“400吨”并不矛盾。

从上面的比较中，我们看出：“550吨”与“400吨”的差150吨正好是整顿前2天的产量，因此，整顿前每天生产化肥150÷2=75（吨）。从而，75×24=1800（吨）就是整顿前产的化肥；1800+400=2200（吨）就是整顿后产的化肥。

【例5】有一批砖，每块砖的长边比宽边长7厘米。如果把这些砖都横着接连铺下去（如图9-1），可铺540厘米长；如果横竖相间接铺（如图9-2），可铺386厘米长；如果“两横一竖”接铺（如图9-3），可铺多长？

【分析与解】通过比较，我们发现图9-2的铺法比图9-1的铺法的总长要短540-386=154（厘米）。这个总长度的差是怎么来的呢？这是因为从图9-1到图9-2，每两块砖（一组）中有一块由横铺变为竖铺了，因而，每两块砖就要使长度短一个“长边与宽边的差”，这个差就是题中已知的“7厘米”。现在，我们会想到这样解：

（540-386）÷7=22（组），22×2=44（块）

按照我们刚才的思路，这批砖头应有44块，我们接着就可以算每块砖的长度（或长与宽的和）了，列式为： 540÷44=12……12 ① 或 386÷22=17……12 ②

糟了！怎么出现有余数了？根据题意，都是用整砖铺的，不应该出现余数，这到底是怎么回事呢？

仔细比较一下①式与②式。我们又会发现它们余数相同。这是偶然的巧合呢，还是说明我们在算这批砖总块数时考虑得不周密呢？把①式改写成：540=12×44+12也就是： 540=12×（44+1）③

由③式中的“44+1”，我们怀疑：总块数是不是少算了一块？可能，我们只考虑到这批砖是偶数块。如果是奇数，两个两个地分组一定要多1块。这就是①式②式余数相同的原因，实际上，②式可改写成：

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386=（12×2-7）×22+12 这说明，总块数等于45是正确的。请读者自己算出图9-3可铺的长度。

从上面的例子中，我们还能体会到：

有时，题目中不直接告诉我们结果，需要通过比较才能得出结果，这样的结果往往表现为两个量的差。所以，我们在审题时，要特别注意把两种相类似的情形进行比较。 【思考题】

1.买2支圆珠笔和5支钢笔共花15.08元；买同样的5支圆珠笔和5支钢笔共花19.70元。每支钢笔多少元？

[提示：两次花钱不一样多的原因是：由于第二次比第一次多买了3（=5-2）支圆珠笔。先算出圆珠笔每支多少元。]

2.牧场上有一片青草，长得一样密、一样快，这牧场上的草可供24头牛吃6周，或者20头牛吃10周。问这牧场上的青草可供18头牛吃几周？ [提示：把原有的青草和新长的青草分开，把两种情况进行比较 第1种情况

原有的+6周新长的=24×6（份） 第2种情况

原有的+10周新长的=20×10（份）。] 10 假 设

在第4讲一开始，我们举了一个“鸡兔同笼”的例子。这里，我们再用它来说明数学上解题方法的灵活多样。

问题是：“鸡和兔共有42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡兔共108条腿。问鸡、兔各有多少只？”

对于这个问题中所说的“42只鸡兔”，有人作了这样奇特的想象：

假想笼子中的鸡和兔都受过专门训练，它们正在按主人的指令进行非凡的杂技表演。主人一击掌，每只鸡都只用一只脚站着，每只兔子只用后两只脚站立。这时，在笼子底下只能数出的鸡脚和兔脚是原来的一半，即： 108÷2=54（只） 接着主人再一挥手，鸡全部飞去，每只兔子都再抬起一只脚（只剩一脚着地）。与刚才的情况比，每只鸡、兔又都少了一只脚，42只鸡、兔就少了42只脚。这时，从下面数只有脚 54-42=12（只）

这12只脚全是兔子的，而且每只兔脚与一个兔头相对应。因此，笼中的兔子就是12只，鸡有 42-12=30（只）

当然，也可以这样想：假设42只全是鸡，一共有84（=42×2）条腿。与实际情况相比，少了24（=108-84）条腿。为什么会少的？因为假设以后，有若干只兔“变”成了鸡，每有1只兔“变”成鸡，少掉2（=4-2）条腿，一共少了24条腿，说明共有兔子 （108-42×2）÷（4-2）=12（只）

好家伙！几乎不需要列出算式，心算就得出了答案。这完全是想象的功劳！

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借助于鸡兔作杂技表演这一想象，原来比较复杂的问题转化为一个非常容易算的题目了。

或许有的读者小朋友会说，这种神奇的数学想象简直高不可攀，如果换了我，可实在想象不出。

不是想象不出，而是不习惯或者还不够大胆。不要紧，看了下面的例题和分析，你一定会大有长进。 千万别小看了你自己。

【例1】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？ 【分析与解】假设这个工厂（实际）生产了25天后继续生产到月底，那么全月一共比原计划多生产机器 80×（25+5）=2400（台）

但实际情况是前25天就把原计划要生产机器的任务完成了，这2400台全部是后5天生产的，所以，实际每天生产的台数为： 24O0÷（3O-25）=48O（台）

这样就容易算出原计划要生产机器的台数是： 480×25=12000（台） 或

（480-80）×30=12000（台）

【例2】有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？

【分析与解】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。白棋子的个数为：3×8=24（个）。黑棋子的个数为24×2=48（个）。

【例3】小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得 56分。小华答对了几题？ 【分析与解】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差80-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：

20-3=17（题） 4×17=68（分）（答对的应得分） 4×3=12（分）（答错的应扣分） 68-12=56（分）（实际得分）

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从上面几个例子中我们总结出用假设的方法解题的主要步骤：

（1）假设有一种与事实（题中已知的一种实际情况）不符合的情况，但两种情况有共同之处，也有不同之处。比如42只鸡兔的实际情况是： a只鸡 b只兔 共108条腿① 而假设的情况是：

a只鸡 b只鸡 共84条腿② （上面a+b=42） （2）把①与②进行比较，可以分析出：“a只鸡”还是“a只鸡”，但“b只兔”变成了“b只鸡”；还有“108条腿”变成了“84条腿”。这时你会发现事实情形与假设情形之间存在着差异。比如，“少了24条腿”。

（3）找出造成这个差异的原因。原因在于假设情形与事实情形之间差异上。比如，鸡兔问题中，“a只鸡”还是“a只鸡”，不会造成脚数的差异（少24），只可能是“b只兔”变成“b只鸡”造成的差异。

（4）根据两种差异之间的因果关系，列式先求出一个未知量（比如上面的兔的只数b。）

概括地说，用假设法解题的思路就是图10－1：

有了这种巧妙的方法，许多复杂的问题就变得容易了。

【例4】晨光机械厂团支部买来两筐苹果共110千克。现取出甲筐苹果

克？

（千克）。把这种假设的情形与题中已知情形一比较，发现多取出了“27.5-

从而，可算出乙筐原有苹果： 110-50=60（千克）

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【例5】甲乙两人原来每天共加工零件500个，经过技术革新，甲每天加工的零件数比原来增加30％，乙每天加工的零件数比原来增加20％，因而现在两人每天共加工零件63O个。问甲乙两人原来每天各加工零件多少个？

【分析与解】假设现在甲、乙两人加工的零件数都比原来增加20％，现在两人每天应加工零件： 500×（1+20％）=600（个） 实际上比“假设”的多加工： 630-600=30（个）

这是因为假设中把甲的增产数少算了，少算的百分比是（30％-20％=）10％。 由此，可求出甲原来每天加工零件： [630-500×（1+20％）]÷（30％-20％） =300（个） 【思考题】

1.王师傅原计划在15天内完成1050个零件的生产任务，实际提前1天完成了任务。王师傅实际平均每天比原计划多生产多少个零件？

[提示：模仿例1的“分析与解”，假设王师傅用14（=15-1）天完成了生产任务后继续生产1天，那么比原计划多做零件 1050÷（15-1）=75（个）

再由“75÷15”求出实际每天比原计划多做几个零件。]

2.箱子里有红白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球。那么箱子里原有红球比白球多多少只？

[提示：假设每次从箱子里取出7只白球，（7×3）21只红球，经过若干次以后，如果箱子里剩下3只白球，那么就应剩下（3×3+2）11只红球。与实际剩下53只红球相差“53-11”只，这是由于每次多取（21-15=）6只红球产生的。两种取法，取的次数一样，都是（53-11）÷（21-15）=7次。]

3.某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名？[提示：假设100名同学都是男生，那么应得分 60×100=6000（分） 比实际少得 63×100-6000=300（分） 原因是男生平均分比女生少 70-60=10（分）

从而求出女生人数为 （63×100-60×100）÷（70-60）=30（名）]

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11 转 化

前苏联（由今天的俄罗斯、乌克兰等国家组成）著名数学家雅诺科斯妞娅，有一次向参加奥林匹克数学竞赛的同学说：

“什么叫解题？解题就是把题目转化为已经解过的题。”

这句话道出了解数学题常用的也是十分重要的一种方法——转化。这种转化通常是指转化条件或问题，特别是转化题中的数量关系。

【例1】一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少？ 【分析与解】题中“两位小数去掉小数点”是什么意思呢？把它换句话说就是“把这个两位小数扩大100倍，得到一个新数（整数）”。新数比原来的数大多少呢？原数是1倍数，新数是100倍数，新数比原数大 100倍-1倍=99倍

这样，题中“去掉小数点后比原来的数大53.46”这个条件换句话说就是“原数的99倍等于53.46”。

现在，题中的数量关系就明朗了，原来的问题也就转化成一个我们早已会解的、比较简单的新问题了：

“一个数的99倍是53.46，求这个数。” 原来这个数是：

53.46÷（100-1）=0.54

【例2】4本日记本和8本练习本的价钱相等。小明买3本日记本和5本练习本，共用去2.2元。问日记本和练习本的单价各是多少元？

【分析与解】把“4本日记本和8本练习本价钱相等”换句话说，就是“1本日记本和2本练习本价钱相等”；再把它换句话说，就是“3本日记本和6本练习本价钱相等”；把它也换句话说，就是“3本日记本可以换成6本练习本”，与题目中的第2个条件“3本日记本和5本练习本，共用去2.2元”一比较，可知，“买6本练习本和5本练习本，共用去2.2元”。这样，容易先算出每本练习本的价钱是：

2.2÷（6+5）=0.2（元） 从而，日记本的单价是： 0.2×2=0.4（元）

【例3】两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？

【分析与解】我们知道，在有余数的除法里，商和除数相乘，再加上余数，结果等于被除数。题目中前一句话换个说法就是：被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是：被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。题目中第二句话换个说法是：被除数与除数的和是225-（21+3）=201。整个题目的意思换个说法就是：201比除数的22倍多3。从而可以先求出除数是： （201-3）÷22=9

从而，可求出被除数是：

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