高等代数期中考试题

高等代数期中考试题答案

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、全体正实数的集合R?，对加法和数量乘法a?b?ab， k?a?ak构成实数域

R上的向量空间，则该空间的零元为______，a?R?的负元为______

2、设?1,?2,?3是线性空间V的一个线性无关的向量组，则L(?1,?2,?3)的维数为______．

?10?00?3、若矩阵A?(?1,?2,?3,?4)经过行初等变换化为

?0?1??000?3??24?, 那么向量组

05??00??1,?2,?3,?4的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______

4、若把同构的子空间看成一类,则n维向量空间的子空间共分成___类

?x1????x?5、设A是数域F上的s?n矩阵且秩(A)?r，X??2?. 若方程组AX?0有非

???x???n?零解，则它的基础解系所含解的个数为_______个. 二、单选题（每小题3分，共15分）

1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R上的向量空间. A．整数集； B．有理数集； C．正实数集； D．实数集 2、下列子集（ ）作成向量空间Rn的子空间。

A．{(a1,a2,?,an)|a1a2?0} B．{(a1,a2,?,an)|ai?z,i?1,2,?,n} C．{(a1,a2,?,an)|?ai?0} D．{(a1,a2,?,an)|?ai?1}

i?1i?1nn3、下列向量组（ ）是线性无关的。

A．{0} B．{0,?,?} C．{?1,?2,?,?r},其中?2?k?1 D．{?1,?2,?,?r}，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。 4、关于向量组极大无关组的结论, 下面有( )个正确．

(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组； (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； (Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一； (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价．

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4．

5、F3的两个子空间V1??(x1,x2,x3)2x1?x2?x3?0?，

V2??(x1,x2,x3)x1?x3?0?，则子空间V1?V2的维数为（ ）。

A．一维 B．二维 C．三维 D．零维

三、计算题（本题共3个小题，每小题10分，共计30分）

1、已知3维向量空间V的一组基?1,?2,?3，设?1???1??3，?2??1??2，

?3???1??2??3，?1,?2,?3也是V的一组基； （1）求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵； （2）求向量???1?2?2?3?3在基?1,?2,?3下的坐标．

2、设向量组为

?1?(1,?1,2,4)，?2?(0,3,1,2)，?3?(3,0,7,14)

?4?(1,?1,2,0)，?5?(2,1,5,6)

试把?1,?2扩充成该向量组的一个极大线性无关组.

?3x1?2x2?5x3?4x4?0?3、F4中，求由齐次方程组?3x1?x2?3x3?3x4?0确定的解空间的基与维数。

?3x?5x?13x?11x?0234?1

四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、复数域C作为实数域R上的向量空间，与R2同构。

2、设向量?可以由?1,?2,?,?r线性表示，但不能由?1,?2,?,?r?1线性表示，证明向量组(?1,?2,?,?r?1,?r)与向量组(?1,?2,?,?r?1,?)等价。

3、每一个n维向量空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

4、设V1，V2是线性空间V的两个非平凡的子空间，证明：在V中存在?，使 ??V1,??V2同时成立。

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