平面向量的数量积教案

平面向量的数量积

教学目标：

(i)知识目标:

（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、追溯

????1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?

?????????aaaa叫与b的数量积，记作?b，即?b = |||b|cos?，(0????)并规定0与任何向量的

数量积为0 ??????aaa2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3．两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?； 2?a?b ? a?b = 0

???????????????3?当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|,特别地a?a = |a|2

??a?b????aa?4?cos? =? ； 5?|?b| ≤ |||b|

|a||b|4.平面向量数量积的运算律

??????????① 交换律：a ? b = b ? a ② 数乘结合律：(?a)?b =?(a?b) = a?(?b) ???????③ 分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

5.平面向量数量积的坐标表示

????①已知两个向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2),则a?b?x1x2?y1y2.

②设a?(x,y)，则|a|???x2?y2.

?③平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

?(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2.

????④向量垂直的判定 两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2?0 .

??x1x2?y1y2a?b?⑤两向量夹角的余弦 cos? =?（0????）.

2222|a|?|b|x1?y1x2?y2

二、典型例题

1. 平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题:

???????????????????????①a?(?a)?0; ②(a?b)?c?a?(b?c); ③(a?b)?c?a?(b?c); ④(a?b)?c?a?c?b?c

其中正确命题序号是 ②、④ .

点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.

??????????0 例题2 已知a?2,b?5,若(1)a||b; (2) a?b;(3) a与b的夹角为30,分别求a?b.

??????????0解(1)当 a||b时, a?b=abcos0?2?5?1?10或a?b=abcos1800?2?5?(?1)??10. ?????? (2)当a?b时, a?b=abcos900?2?5?0?0.

??????30 (3)当a与b的夹角为30时, a?b=abcos300?2?5??53.

2????0000 变式训练:已知a?(cos23,cos67),b?(cos68,cos22),求a?b

??2b?cos230cos680?cos670cos220= cos230sin220?sin230cos220?sin450?解:a?

2点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题

?????????例题3 (2005年北京)若a?1,b?2,c?a?b,且c?a,则向量a与向量b的夹角为 ( )

A. 30 B. 60 C. 120 D. 150

0000????2??1??? ???1200 故选C 解:依题意a?(a?b)?0?a?abcos??0 ?cos2??????学生训练: ① 已知a?2,b?3,a?b?7,求向量a与向量b的夹角.

????? ② 已知a?(1,?2),b?(4,2),a与(a?b)夹角为?,则cos?? .

???????2???2a?b31?,故夹角为600. 解: ① a?b?7? a?2a?b?b?7 ?cos?a,b?????ab2?32?????a?(a?b)?3?85 ②依题意得(a?b)?(?3,?4)?cos??????. ?5aa?b5?5?????????变式训练:已知a,b是两个非零向量,同时满足a?b?a?b,求a与a?b的夹角.

??1?21?2???????2???2?b?a?b, ?a?b?a?2a?法一 解:将a?b?a?b两边平方得 a?b?b?3a

22??????2??a2?1a2???a?(a?b)a?a?b302 则cos???????????2, 故a与a?b的夹角.为30. ?2?2aa?baa?ba?3a法二: 数形结合

点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 3.向量模的问题

??????????0例题4 已知向量a,b满足a?6,b?4,且a与b的夹角为60,求a?b和a?3b. ??????0解: ?a?6,b?4,且a与b的夹角为60 ?a?b?12

???2???2???2???2?a?b?a?2a?b?b?76?219 ; a?3b?a?6a?b?9b?108?63. 变式训练 :

????①(2005年湖北)已知向量a?(?2,2),b?(5,k),若a?b不超过5,则k的取值范围 ( )

A. [?4,6] B. [?6,4] C. [?6,2] D. [?2,6]

??????0 ②(2006年福建) 已知a与b的夹角为120,a?3,a?b?13 ,则b 等于( )

A 5 B. 4 C. 3 D. 1

??2解: ① ?a?b?(3,k?2)?(k?2)?9?5,??6?k?2 故选C

???2?2???2?2???20②?a?b?a?2a?b?b, ?a?2abcos120?b?13,解得b?4,故选B

?2???2点评:涉及向量模的问题一般利用a?a?a?a,注意两边平方是常用的方法.

4.平面向量数量积的综合应用

????例题5 (2006年全国卷)已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?),????.

22????(1) 若a?b,求? ; (2)求a?b的最大值 .

?????解:(1)若a?b,则sin??cos??0,?tan???1,(????)????.

224???22 (2) a?b=(sin??1)?(1?cos?)?3?2(sin??cos?)=3?22sin(??)

4 ???2????2,???4????4?3??2, ?sin(??)?(?,1] 442 ?当???4??时,a?b的最大值为3?22?(2?1)2?2?1.

?????????例题6已知向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),且a,b满足ka?b?3a?kb,k?R ??????(1) 求证(a?b)?(a?b) ; (2)将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k); ??(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时向量a与向量b的夹角?.

??解:(1) ? a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)

?????????2?2?2?2?(a?b)?(a?b)?a?b?|a|?|b|?1?1?0, 故 (a?b)?(a?b)

???? (2) ?ka?b?3a?kb,

??2??2?2?2????2?ka?b?3a?kb,又?a?b?1?k?2ka?b?1?3?6ka?b?3k2,

??k2?1k2?1?a?b?,(k?0) 故f(k)?,(k?0).

4k4k1k2?1k1k11 (3) f(k)????2??,此时当k?1,f(k)最小值为.

24k44k44k2?????a?b1 ?cos?????,量a与向量b的夹角? ?

3ab2

小结

1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率. 2.

???????aa灵活应用公式?b = |||b|cos? , a?b?x1x2?y1y2 , |a|?x2?y2.

3. 平面向量数量积的综合应用

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