《大学物理学》质点运动学练习题（马）

质点运动学学习材料

一、选择题

1．质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C处的加速度? ( )

?

a

BCCB?aACBB?aACAA?a(A) (B)(C)(D)

【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】

2．一质点沿x轴运动的规律是x?t?4t?5（SI制）。则前三秒内它的( )

(A)位移和路程都是3m；

(B)位移和路程都是-3m； (C)位移是-3m，路程是3m； (D)位移是-3m，路程是5m。

【提示：将t=3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t=3时的位置减去t=0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点：

2dxdx?2t?4，当t=2时，速度???0，所以前两秒退dtdt了4M，后一秒进了1M，路程为5M】

?为正常数。3．一质点的运动方程是r?Rcos?ti?Rsin?tj，R、从t＝?/?到t=2?/?时间内

(1)该质点的位移是( )

???(A) -2Ri；(B) 2Ri；(C) -2j；(D) 0。

(2)该质点经过的路程是( )

(A) 2R；(B) ?R；(C) 0；(D)?R?。

【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t＝π/ω到t＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】

4．一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度?滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度( )

(A)大小为

?，方向与B端运动方向相同； 2?(B)大小为，方向与A端运动方向相同；

2?(C)大小为，方向沿杆身方向；

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A?C?Bv(D)大小为

?2cos?，方向与水平方向成?角。

ld??l???cos??x?sin??cx2C?ld?dt?2【提示：C点的坐标为?，则?，有中点C的速度大小：。???C?2dtld??y?lcos????sin??Ccy???22dt?考虑到B的横坐标为xB?lsin?，知已知条件??lcos???d?，∴?C?】 dt2cos?1-5．如图所示，湖中有一小船，船在离岸边s距离处， 有人在离水面高度为h的岸边用绳子拉船靠岸，设该 人以匀速率v0收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速度 为v，则小船作 ( ) （A）匀加速运动，??（C）变加速运动，??【提示：先由三角关系知x2?0hlx??0cos?； （B）匀减速运动，???0cos?； ； （D）变减速运动，???0cos?。

?0cos??l2?h2，两边对时间求导有x?dldxdldx，?0?，?l?，考虑到??dtdtdtdt且cos??xl有???0cos?】

6．一质点沿x轴作直线运动，其??t曲线如图所示， 如t?0时，质点位于坐标原点，则t?4.5s时，质点在 x轴上的位置为： ( ) （A）0； （B）5m； （C）2m； （D）－2m。

2v(m/s) 2 1– O 4.5 t(s) 2.5 3 4 2 -1 21 【提示：由于是??t曲线图，∴质点的位移为图中所围的面积。梯形面积为中位线乘高】

7．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r?ati?btj(其中a、b为常量)，则该质点作： ( ) （A）匀速直线运动；（B）变速直线运动；（C）抛物线运动；（D）一般曲线运动.

??x?2at?ax?2a?x?at2【提示：将矢量的表达式改写为?，则?，?。可见加速度为恒量，考虑到质点

2??2bta?2b?y?bt?y?yb的轨迹方程为：y?x，∴质点作直线运动】

a8．一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为??2m/s，瞬时加速度为a??2m/s，则一秒钟后质点的速度： ( ) （A）等于零；（B）等于－2m/s；（C）等于2m/s；（D）不能确定。

【提示：由于质点运动的加速度是瞬时，∴不能判断一秒钟后质点的速度】

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1-2．一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处，对其速度的大小有四点意见，即：

?dx??dy?drdrds（1）；（2）；（3）；（4）?????。下述判断正确的是( )

dtdtdtdtdt????（A）只有（1）（2）正确； （B）只有（2）正确； （C）只有（2）（3）正确； （D）只有（3）（4）正确。

【提示：dr22/dt是位矢长度的变化率，dr/dt是速度的矢量形式，ds/dt是速率，由分量公式考虑：

?x?dxdy，?y?知速度的大小为dtdt?dx??dy???????dt??dt?22】

1--3．质点作半径为R的变速圆周运动时，加速度大小为(v表示任一时刻质点的速率)( )

?d???4?2d?d??2?（A）； （B）； （C）；（D）???2。

dtdtRRdt??Rd?【提示：半径为R的变速圆周运动可由自然坐标系的加速公式考虑。即at?dt22，an??2R】

11．一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s?5?4t?t（SI），则小球运动到最高点的时刻是：( )

（A）t?4s； （B）t?2s；（C）t?5s；（D）t?8s。

【提示：小球运动到最高时速度为0，而将运动方程对时间求导可得速度表达式】

12．质点沿直线运动，加速度a?4?t，如果当t?3s时，x?9m，??2m/s，质点的运动方程为( )

2t43?； （A）x??t?4t?3t?0.75；（B）x??t?2t?124t421t322?；（C）x??7t?2t?（D）x??7t?2t?。 12412t32?v0，将t?3s，??2m/s代入可【提示：求两次积分可得结果。（1）???(4?t)dt?4t?3t3t42?x0，将t?3s，x?9m代入可得?0??1m/s；（2）x??(?1?4t?)dt??t?2t?3123得x0?m】

43213．一物体从某高度以v0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为?t，那么它运动的时间是：( ) （A）

?t??0g；（B）

?t??02g；（C）2?t2??0g；（D）2?t2??02g】

。

【提示：平抛运动落地时水平分速度仍为?0，竖直分速度为?t2??0214．质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t时间转一周，在2t时间间隔中，其平均速

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度大小与平均速率大小分别为：( ) （A）

2?R2?R2?R2?R，；（B）0，；（C）0，0；（D），0。 tttt【提示：平均速度大小指的是一段时间的位移与该段时间的比值，平均速率指的是路程与该段时间的比值，显然2t时间间隔中质点转2周，位移为0，但路程是4πR】

1-3．质点作曲线运动，r表示位置矢量，s表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中， （1）

d?drdsd??a；??；??；（2）（3）（4）?at。 dtdtdtdt正确的是：( ) （A）只有（1）、（4）是正确的；（B）只有（2）、（4）是正确的； （C）只有（2）是正确的；（D）只有（3）是正确的。

【提示：（1）dv/dt应等于切向加速度；（2）dr/dt在极坐标系中表示径向速度vr，而（4）中? dv/dt?为加速度的大小，所以只有（3）是正确的】

16．质点由静止开始以匀角加速度?沿半径为R作圆周运动，如果在某一时刻此质点的总加速度a与切向加速度at成45角，则此时刻质点已转过的角度?为：( ) （A）

1111（B）rad；（C）rad；（D）rad。 rad；

6432??t知v??tR，则an【由???tR??R2；而att??R，加速度a与切向加速度at成45角意味着

at?an，有?t2?1；又质点已转过的角度????dt?0121?t，∴??】 2217．某物体的运动规律为

d???k?2t，式中的k为大于零的常量，当t?0时，初速为?0，dt则速度?与时间t的函数关系为：( )

12121kt211kt21（A）??kt??0；（B）???kt??0；（C）?（D）?? ?；?。

22?2?0?2?0【提示：利用积分。考虑

d??2??ktdt，有??d??0?2???ktdt】

0t二、填空题

?x??10t?30t21．质点的运动方程为?，（式中x，y的单位为m，t的单位为s），则该2?y?15t?20t质点的初速度?0?；加速度a?。

【提示：对时间一次导得速度?10i?15j，两阶导得加速度60i?40j】

22．升降机以加速度为2.2m/s上升，当上升速度为3m/s时，有一螺丝自升降机的天花

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板上松落，天花板与升降机的底面相距3m，则螺丝从天花板落到底面所需要的时间为秒。

【提示：考虑螺丝作初速为0，加速度为9.8+2.2=12m/s的自由落体运动，则t?2h1?g'2】

3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为?，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度

P?v30?at?，轨道的曲率半径??。

【提示：只要是抛体运动，加速度就一定是竖直向下的重力加速度。考虑自然

坐标系at?acos?（?为切向和a之间的夹角）和???2an，有at??gsin30，an?gcos30】

4．试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v≠0）： （A）at?0，an?0；； （B）at?0，an?0；； （C）at?0，an?0；。

【提示：（A）变速曲线运动；（B）变速直线运动；（C）匀速曲线运动】

5．一质点作直线运动，其坐标与时间的关系如图所示， 则该质点在第 秒时瞬时速度为零；在第秒 至第秒间速度与加速度同方向。

Ox/m123456t/s【提示：由于速度是曲线的斜率，所以第3秒时斜率为零也就是瞬时速度为零；从第1秒到第3秒，斜率为正，但逐渐变小，表明速度为正但加速度为负，从第3秒到第6秒，斜率为负且逐渐负方向增加，表明速度为负且加速度为负】

6．一质点沿半径为0.2m的圆周运动, 其角位置随时间的变化规律是??6?5t（SI制）。在t?2时，它的法向加速度an?；切向加速度at?。

2d?【由??dtRd?知??dt，再利用公式an??2R和at?d?dt可得an?80m/s2，at?2m/s2】

7．在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：r?10cos5ti?10sin5tj，则t时刻其速度v?；其切向加速度的大小at? ；该质点的运动轨迹是： 。

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【∵??drdt有???50sin5ti?50cos5tj；而??(?50sin5t)2?(50cos5t)2?50（与

时间无关），∴切向加速度at?x?10cos5t22?0；运动轨迹由?消去时间求得：x?y?0】

?y?10sin5t8．悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动,振动方程为y?Asin?t，其中A、?均为常量,则：(1) 物体的速度与时间的函数关系为；(2) 物体的速度与坐标的函数关系为。

【提示：由?(t)?dy22有?(t)?A?cos?t，与振动方程联立有：?(y)??A?ydt】

1--4．在x轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为?0，初始位置为x0，加速度为

a?Ct2(其中C为常量)，则其速度与时间的关系?(t)?，运动方程为x(t)?。

【提示：利用积分。

???0d???Ct2dt，有?(t)??0?0txtC31t，在由?dx??(?0?Ct3)dt有

x0033C4t】 1210．灯距地面高度为h1,一个人身高为h2, x(t)?x0??0t?在灯下以匀速率v沿水平直线行走, 如图 所示。则他的头顶在地上的影子M点沿 地面移动的速度vm?。

【由三角形相似有

h1h2 Mh1x?x?vth2，两边对时间求导，考虑到?m?h1dx??有m?dth1?h2】

11．如图示，一质点P从O点出发以匀速率1m/s作顺时针 转向的圆周运动，圆的半径为1m，当它走过

2圆周时， 3?y走过的路程是；这段时间内的平均速度大小为； 方向是。

【由于圆的半径为1m，所以走过的路程（弧长）即为对应的角度，为

P4?3?Ox（240）；平均速度却为位

移与时间的比值，位移大小为度方向

3，用去时间为4?3，则??33m/s；从图中不难看出，平均速4?与y成30角向右下方】

12．一质点沿半径为R的圆周运动，在t = 0时以v0的速率经过圆周上的P点， 此后它的速率按???0?bt(?0、b为正的已知常量)变化，则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at?；法向加速度an?。

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2dv?【利用公式at?和an?dtR2(?0?bt)2?0?2?0bt?b2t2可得at?b；an?，考虑到运动??RRR?2?0212?4?b】 一周的时间可由2?R??0t?bt得出，代入上式得an?R213．以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度v与水平面的夹角为?时，它的切向加速度的大小为at?，法向加速度的大小为an?。

【见填空第3题提示，得：?gsin?和gcos?】

三、计算题

1-14．一石块从空中由静止下落，由于空气阻力，石块并非作自由落体运动，现已知加速度为a?A－Bv（式中A、B为常量），求石块的速度和运动方程。

1-22．一质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?12（1）求tbt而运动，v0，b都是常数。

2时刻质点总的加速度；（2）t为何值时在数值上等于b？（3）当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少周？

3．在离地面高度为h的平台，有人用绳子拉小车，当人的速率v0匀速时，试求小车的速率和加速度大小。

xhls?01--6．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 y vxv0

x ?? gv0 an g

5．质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t的函数关系为ω=kt2，已知t=2s时，质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P的速率与加速度的大小。

1-20．一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R，离地面的高度为h，当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为r?R1?2h?/g的圆周上。

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2

1-24．一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，其角位置为??2?4t。（1）求t=2.0 s时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t为何值时，法向加速度和切向加速度的值相等？

3解答

一、选择题

1．C2．D3．(1)B(2)B4．D5．C6．C7．B8．D9．D10．D 11．B12．B13．C14．B15．D16．D17．C 三、计算题 1．

解：（1）选石块静止处为原点，竖直向下方向为y正向。 由a?dvdvdvdv有A?Bv?，则dt?， ??dt??dtdt(A?Bv)A?Bv1lnA?Bv?C。 B1A考虑到t?0时，v0?0，有C?lnA，∴石块的速度为v?(1?e?Bt)；

BB积分有t??（2）由v?dydt有dy?A(1?e?Bt)dt，则：石块的运动方程为： By?AtA1?BttAA?Bt?Bt(1?e)dt?(t?e)?t?(e?1)。 2?00BBBBBy?AAt?2(e?Bt?1) BB?ds?v0?bt（注意圆周方程中是“s”而不是“r”） dt∴石块的运动方程为

2．

解：（1）对圆周方程求导得速度大小：vdv?a???bt??dt可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ?22?a?v?(v0?bt)n??RR

(v0?bt)4则总的加速度： a?a?a?b?R22t2n2；

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加速度与半径的夹角为：??arctanat?Rb?an(v0?bt)2

（2）由题意应有：v0(v0?bt)44?(v?bt)?0，∴当t?b??b0bR22时，a=b。

x（3）当t

?

v0

b

时，s?v2b20，∴n?vv/2?R，有n? 2b4?Rb2020hl3．

dxds解：v车?，v人??v0

dtdtdxdl由于绳长不变，∴v车??dtdt又由几何关系：s2s，

?0?l2?h2，两边对t求导有：

v0s。

dsdl2s?2ldtdt22dv车v0h，解得：v车?；同理可求得加速度为：a??3dt222s2?h2?s?h?（类似问题：在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。）

4．

解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx因此有：

?v0cos?，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。

yv0g?v2?1?(v0cos?)2?1；

，

vx2v0cos2??1?g?gan2v0?2?gcos?x?v0（2）在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成?角，则：an有：gcos?g?gcos?，

?2v0?2 则： 。

5．

解：由线速度公式：??R??Rkt2?1?kt2，将已知条件代入求得k：

k??t2?16d?2??4t?4a?。P点的速率：。P点的切向加速度大小：?8t。 t22dt?P点的法向加速度大小：an?2R?16t4。所以，t=1时：

??4t2?4(m/s)；at?8t?8(m/s2)，an?16t4?16(m/s2)。 a?at2?an2?162?82?85?17.9(m/s2)

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6．

解：由平抛公式，水滴沿边缘飞出后落在地面上所需时间为：t?2hg，

则落地距离为，s??Rt??R2h； grs考虑到水滴是沿伞的边缘切线方向飞出，有：r?R2?s2，

R2h?2R22h?2则r?R??R1?gg2。

7．

解：可由角位置求出角速度：??d??12t2，则速率v?R??1.2t2。 dtdv?a??2.4tt??dt可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ? 24v1.44t?a???14.4t4n?R0.1?总的加速度大小：a2?at2?an?2.42t2?14.42t8；

?at?4.8m/s2（1）当t=2 s时，? 2?an?230.4m/s（2）由题意应有：2.4t31??2.42t2?14.42t8?t3?62，∴??2?4?3?3.15rad。 6（3）令2.4相等。

t?14.4t4，得t3?2.41?14.46，∴t?1/36?0.55s时，法向加速度和切向加速度的值

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