量子场论讲义1-4

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第一章 预备知识

§1 粒子和场

以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。

场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现。

1. 四种相互作用

目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。四种相互作用的比较见表1.1 表1.1 四种相互作用的比较 作用 强度 力程 媒介子 典型反应 强相互作用 0.15 10?15电磁作用 弱作用 0.0073 6.34?10?10 10?18引力作用 .5.90?10?39 ∞ 光子 γ p ∞ 介子 胶子 π＋ p W?W?Z0 粒子 引力子？ ν p e24?c? 1?7.2973?10?3来

137.036电磁相互作用的强度是以精确结构常数??表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p）为代表，通过典型的反应过程的比较研究，确定各种作用强度的大小。

2. 粒子的属性

不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。

最重要的属性有：

质量m，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E和动量P的关系为E2?p2c2?m2c4

1

? 2

电量Q，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。 自旋S，粒子的自旋为整数或半整数，如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2 ，矢量介子的自旋为1。

平均寿命?，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果N0个相同粒子进行衰变，经过时间t后还剩下N个，则N?N0e1?t?，式中?即为粒子的平均寿命。

eS，2m磁矩?，指粒子的自旋磁矩?。它与粒子的自旋S满足关系：??g式中e是粒子电荷，m为粒子质量，g是数量因子。

宇称P，描述粒子在空间反演下的性质的一个量子数。若在空间反演下??(x??x)，若粒子的态函数改变符号，此粒子具奇宇称（P＝－1）。若态函数保持不变，粒子具偶宇称（P=1）。

粒子的性质，可查阅有关资料。例如：Particle Data Group 编的 Review of Particle Physics , 刊登于Plys .Lett . B592 (2004)。

3. 粒子的分类

可按多种方式对粒子分类。

按参与相互作用的性质，可分为三类：

（a） 强子， 既参与强相互作用，也参与弱相互作用。已发现的粒子大多数

是强子，包括重子，介子。

（b） 轻子，不参与强相互作用的粒子，有的参与电磁作用和弱作用，如电

子和μ 子，有的只参与弱作用。 （c） 规范玻色子，传递作用力的粒子，如γ ，W?,W?，Z0。

按轻子——夸克层次可分三类：

按强子夸克结构理论，强子不是“基本”粒子，强子是复合粒子，是若干个夸克构成的复合体，夸克是构成强子的组元粒子。夸克有6种：上夸克（u），下夸克（d），奇异夸克（s），粲夸克（c），底夸克（b）和顶夸克（t）。按Gell_Mann & Zweig理论，夸克带有分数电荷，理论上称有“六味”夸克，其所带电荷如下表：

表1.2 夸克的电荷 味 上u 下d -1/3 奇s -1/3 粲c 2/3 底b -1/3 顶t 2/3 电荷(e) 2/3 按此理论，强子不是粒子，而由夸克所构成，例如质子由u,u,d组成：

p?(uud),中子n?(udd)， ???(ud),???(du)，d,u为反夸克，强子不看

2

3

作粒子后，按轻子—夸克将粒子分类为：

（a） 规范玻色子，传递相互作用的粒子 （b） 费米子，包括轻子和夸克

（c） Higss粒子，按弱电统一理论，应该有存在有自旋为0的Higss粒子，

但实际上至今未发现。

按此理论分类，有两个实验上未解决的问题，一是夸克禁闭，还找不到自由夸克，二是Higss粒子还未找到。 按粒子的自旋分类.

(a)自旋s=0的粒子，称标量粒子，如?，k介子等

1(b)自旋s?的粒子，称旋量粒子，如电子e、质子p等

2(c)自旋s?1的粒子，称为矢量粒子，如m?0的J?粒子，m=0的光子。

(d)高自旋粒子。

这种分类，方便场方程的研究。

§2 自然单位制

物理学中确定单位制的通常做法是，依据研究对象，为研究方便，选取几个相互独立的物理量及其单位作为基本单位，其它物理量和单位则根据基本物理量及公式来表示，这些导出的单位称为导出量和导出单位。

在微观高速现象的研究中，涉及的物理量有：长度、质量、时间、电荷和温度。为减少独立的基本物理量的数目，利用库仑定律并规定真空的介电常数为无量纲的数1来定义电荷，使电荷不再是基本物理量。为进一步减少独立的量纲，注意到，在微观高速领域，有三个重要的量：

ms?1 量纲dimC?LT?1 光速： c?2.99792458玻尔兹曼常数：k?1.3806505(24)?10?23Jk?1

?8.617343(15)?10?5evk?1 量纲dimk?EK?1 h?1.05457168(18)?10?34J?s 普朗克常数：??2? ?6.58211915(56)?10?22Mev?s 量纲dim??ET

（数据来自Pyhs. Lett B 592.91(2004)）.

建立一个在微观邻域应用方便的新单位制，规定这三个量的值为无量纲的1，即

c?1,?1,k?1 这样在这一单位制中，量纲关系为：

dim c=1 L?T?1 dim k=1 E?K

dim h=1 E?T?1

3

4

即 E?K?T?1?L，只剩一个独立的量纲。这一个独立的量纲可以选作能量、时间、长度或其它任何一种有量纲的物理量，这一单位制称为自然单位制。在量子场论中，应用自然单位制，选能量为基本量纲，基本单位为Mev或Gev.

应用上，物理公式中的三个量?、c、k都取为1。相对论能量动量关系.E2?P2C2?M2C4即为E2=P2+M2。方程的简化 ，给计算过程带来方便。 当然在实际应用中，还是要用到实际单位制的。因为物理方程中的各项，都必须具有相同的量纲，将自然单位制方程中的各项乘上三个量（或两个量）的幂次积，由各项必须具有相同量纲决定幂次数值，即可将自然单位制的方程还原为实用单位制的方程。

例如：在自然单位制中Klein—Kordon方程为

?2??x?22?(??m)??x? 2?t作

T?2??L?2??c??m2??c??

代入?c 的量纲，求得??0 ??2 ???2 ??4，则方程返回为实用制的方程。

???2??x?m2c2?2?2?c???2???x? 2?t???

§3 狭义相对论

1. 相对论的基本原理

相对论的基本原理是： （a） 相对性原理。所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系

都可以表为相同的形式。 （b） 光速不变原理。真空中的光速对于任何惯性系沿任一方向恒为C，并且与

光源运动无关

这两个原理说明时间和空间是运动着的物质存在的形式，时间和空间是不可分割的，打破了绝对的时空观念。三维空间和一维时间应该构成一个统一体——四维时空。

在四维时空中，任意事件定义为：

x??(x1,x2,x3,x4)?(x,y,z,ict)

4

5

而事件的间隔定义为：

S2?c2?t2?(?x2??y2??z2)

S2???x???x?

?在坐标系?和相对?运动速度为v的坐标系?'中，具有间隔不变性，

''?x???x???x???x?

两坐标系之间作坐标变换

'x??a??x? (1.1a)

依间隔不变性，变换矩阵元满足关系

a??a?????? (1.1b)

当两坐标系的X轴和X'’轴沿?'相对于∑的运动方向时，Lorentz变换的矩阵是：

00i???????0100?? （1.2） ??0010?????i??00????a??式中

??1v21?2c， ??v. c引入符号

???????i??????????1,?2,?3,?4?????,?i,,,??? ??x?y?zc?t??x??t?????. ?t2??????2?

2. 四维时空中的协变量

四维时空中，在Lorentz变换下，满足变换规律：

S'?S (1.3a)

的物理量，即变换下不变的量S，称为Lorentz标量。

满足变换规律

V?'?a??V? （1.3b）

的物理量，即在坐标系变换下与坐标有相同变换关系的具有四个分量的量，称为

5

6

四维矢量。

满足变换规律

F?'??a??a??F?? （1.3c）

的物理量，称为四维二阶张量。

这些在Lorentz变换下有确定变换性质的量称为协变量。

相对论要求，在不同惯性系中，物理规律应该有相同的形式，即在参考系变换下，方程形式不变，这一性质称为协变性。

构建协变量，组建协变方程，验证了Maxwell方程组的协变性，证明Maxwell方程是符合相对论要求的。构建协变量，组建协变方程，改造了不符合相对论要求的经典力学，发现了符合高速运动规律的运动定律，这是理论工作的重大成就。

四维能量—动量矢量

?ip??(p?E) （1.4）

c是协变量。

两个协变矢量的标积是不变量。因为

??B???a???A?a???B??A??B? A?式中对相同指标作求和运算，这一运算称为指标的缩并。

作p?p?的标积，构成的不变量：

?2E2p?p??p?2?不变量

c?当p?0,W?mc2，推导的关系式

E2?p2c2?m2c4 （1.5a）

即

E2?p2?m2 (1.5b)

这是关于物体的能量、动量和质量的一个重要关系式。

§4 量子力学 一维谐振子

1．量子力学的假定

描述微观粒子运动规律的量子力学是基于下列假定的： （a）微观体系的状态可由一个波函数??x,t?完全描述。

? 6

7

例如，在时刻t，在坐标x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz的无限小区域d?内找到子的几率为：

?2?dw?C?x,t?d?C是比例系数。

（b）力学量用厄密算符表示。经典力学中的力学量（C数）在量子力学中用表

?示这个力学量的算符（Q数）表示。如能量E和动量p，对应算符是：

?? ， p??i?? （1.6） ?t算符满足一定对易关系，如：

E?i?[pi,qj]?i??ij

[pi,pj]?0 [qi,qj]?0 （1.7）

对易关系就是量子化规则。 (c)体系状态满足薛定格方程

???H? (1.8) ?t??（d）体系的波函数??x,t?可以用算符的本征函数?(x,t)作展开：

H??E?, i??x,t???Cn?n?x,t? （1.9）

n??(e)体系满足泡利原理。

动力系的量子化，就是将体系的力学量变为厄密算符，建立算符的运动方程和对易关系。在量子力学中可以用薛定格表像或海森伯表像对体系进行量子化。

2. 一维谐振子的量子化

在经典力学中，线形谐振子的运动方程是：

mx??kx (1.10)

??拉格朗日量是：

11L?m(x)2?kx2 (1.11)

22哈密顿量为：

H?xx?L???1(p2?m2x2?2) (1.12) 2m式中 p?mx,??k。 m 7

8

现将线形谐振子量子化，把x，p作为算符，作替代x?x,p??i?.运动方程

??.H?(x,t)?E?(x,t) (1.13)

为

??d212(?m?x)?(x,t)??E?(x,t) (1.14) 22mdx22引入对易关系：

??xi,pj???i?ij

??xi,xj?????pi,pj???0 (1.15)

这就完成了线形谐振子在坐标空间中的量子化。

现引入一个新表象作处理，用算符a和a?代替p，x ，令

a?1(p?i?mx) (1.16a) 2m?a??容易证明：

1(p?i?mx) (1.16b) 2m?[a,a?]?1

[a,a]?[a?,a?]?0 （1.17）

和 a?a?H?1 (1.18a)

?2即

1H?(N?)? （1.18b）

2式中 N?a?a （1.19） 则谐振子的量子化问题转变成为对算符N的本征态求解问题。本征方程是

Nn??nn? （1.20）

n是算符N的本征态。方程（1.20）和对易关系（1.17）完成了在新表象中对谐振子的量子化。这一表象称为占有数表象。 量子力学中已证明： (a)、N厄密正定，

N??N, n?0

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(b)、a和a分别称为产生算符和湮灭算符。 当m为正整数时，

Nan??(n?1)an? ， Namn??(n?m)amn? （1.21a） Na?n??(n?1)a?n? , Na?mn??(n?m)a?mn? (1.21b)

?式中: a或a?m表m次作用a或a。由（1.21）式知，若n?是N的本征矢。那么an?，a?n? 也是N的本征矢，且a |n?~ |n-1? .a? |n>~ |n+1>，每作用一次a或a? ，本征矢减少或增加一级.所以, a? 和a分别称为产生算符和湮灭算符.

(c)、n为整数 .

(d)、记最低能态为|0> ,且<0|0>=1 . 有:

a|0>=0 (1.22)

|n>=

1n!m?a?n|0> (1.23)

这些是一维谐振子量子化的主要结果。

§5Lorentz变换

1. Lorentz变换

两惯性坐标系之间的时空变换中，使间隔s2保持不变的变换称为Lorentz变换，即要求

dx??dx???dx?dx?

由

dx??dx???显然有：

?x???x?dx??x???x?dx??dx?dx?

?x???x???x??x????? （1.21）

式中???为Kronecker符号。这是Lorentz变换的正交条件。

惯性系的概念本身要求从一个惯性坐标系到另一个惯性坐标系的时空变换

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必须是线形的，即

??a??a??x?x?或X'?AX

式中A为变换矩阵，a??为A的矩阵元，不考虑平移则变换应是齐次的：

x???a??x? (1.22)

正交变换条件（1.21）变为

a??a?????? (1.23)

令AT代表变换矩阵的转置，则（1.23）可写为

Ta???a??????

AT?A?I （1.24）

记A的行列式 |A|?detA，依据 |AB|?|A|?|B| 有

detATA?detAT?detA?detI?1

而detAT?detA，故有 (detA)2?1，即

detA??1 （1.25）

利用 a?4a?4?1，有

a244?1??ai4ai4?1?|?ai4ai4|?1

i?13即

a44??1，或a44??1 （1.26）

由（1.25）和（1.26）式，可将Lorentz变换作如下分类：

表1.3 Lorentz变换的分类 detA ?1 ?1 ?1 ?1 a44 ?1 ??1 ?1 ??1 类别 E R P T 性质 连续 分立 分立 分立

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DetA=1， a44??1的E类变換称为正Lorentz变换，detA??1 ， a44??1的E和P变换，称为完全Lorentz变换。 例：

（a） 恒等变换

条件是： x???x? 变换矩阵为

??1000?A??0100??? ?0010??0001??detA=+1，a44??1,属于E类，是连续变换。 （b） 空间反演变换条件是：?

x????x， t’=t

变换矩阵为

???1000?0?100?A???? ?00?10??0001??detA=-1, a44?0,属于P类，是分立变换。 （c） 时间反演变换

条件是 ： ?x???x， t’=-t

变换矩阵为

??1000?A??0100???0010? ??000?1??detA=-1，a44?0,属于T类，是分立变换。 （d） 时间空间联合反演变换条件是： ?x????

x， t’=-t

变换矩阵为

???1000?A??0?100??? ?00?10??000?1??detA=1, a44?0,属于R类，是分立变换。

11

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2. 无穷小变换

在恒等变换邻域作无穷小变换

a?????????? (1.27)

式中???是无穷小量，将上式代入正交条件(1.23)式知

???????? (1,28)

???是反对称的。因为detA=+1，a44??1,属于E类，是连续变换。

变换式(1,27)可写为矩阵形式

iA?I????J?? (1,29)

2由 ???的反对称性，可将???改写为

????11(???????)????(?????????????)22 1????(J??)??2式中

(J??)????i(?????????????) (1.30)

J??是4?4矩阵，(1.30)是它的(?,?)矩阵元的表示，例如(J12)12??i，(J23)23??i 等，有：

?0?i?i0J??12?00?00??0?0J??31?i?0??0?0 J??23?0??000??0000??0?0?000??0?i0?i00?000?

?0?i0??000? (1.31)

000?000??J??也可表为

J????i?E???E??? ?1.32?

式中E??是除矩阵元??,??为1之外，其余为0的矩阵．可见，J??是三度空间角动量矩阵的四度时空推广．J??满足对易关系：

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?J??,J?????i?J??????J??????J??????J?????? ?1.33?

1?ijkJk， Ki?J4i ?1.34? 2式中

若令 Ji??ijk??1若ijk是1,2,3的一个偶排列???0其它情况 ???1若ijk是1,2,3的一个奇排列则有对易关系：

Ji,Jj?i?ijkJkijijk?? ?J,K??i?K?K,K???i?Jkijijk ?1.35?

k

3．有限变换

对于无穷小变换

i???s??i A????1????s???e22若作连续的有限多次N的无穷小变换，即

A?b??A???A???A???A??????A?????

N称有限变换。令：

b???N????

??ib?i?由于 A?b???1????s?????1????s???

?2??2N?NNx??依公式： lim?1???ex

N???N?有

1i???e2b??s?? A?b??lim?1?b??s???N???N2?即有限变换的生成元s??与无穷小变换的生成元相同，只是结构常数不同。因而有限变换的性质可用无穷小变换作研究，这给处理问题带来方便。

4.场量的变换

?设场物理量由?(x,t)描述，当时空作Lorentz变换时，

X??AX

NNi场函数也可能改变，设场量的变换矩阵为?(A).

13

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即

??(x?,t?)??(A)?(x,t) (1.36)

?(A)依赖于变换矩阵A。对于无穷小变换

iA?1????s??

2??可将?(A)按???展开

?(A)?1???????2?????(???)?????

????0略去高阶无穷小，?可表示为

i?(A)?1????????

2场量的改变是

??(x)???(x?)??(x)??????????(x)

场量的改变也可表为

i2??(x)??'(x')??(x')??(x')??(x)??????x? (1.37)

式中

???(x)??'(x)??(x) (1.38a)

?x?(x)??(x')??(x)????(x)?x (1.38b)

???脚标?表示坐标不变，场函数改变(在某点场函数的变化)，?x?脚标x表示

场函数不变，坐标改变。将???定义为场的主动变换，它着重于场量?(x)的泛函变化。

从(1.37)及(1.38b)知，主动变换可表为

???????????x? (1.39)

由于 X??AX 或x??x??x 有 x?A?1x??A?1(x??x)?A?1x??x 则

??(x?)???(x)???(A?1x?)

即

??(x)???(A?1x)???(x??x)??[?(x)???(x)?x?] ?x?14

15

结合(1.38)式，主动变换可表为：

???(x)??[?(x)??????x?]??(x,t) （1.40）

它与场的变换算子有关，不同的场的主动变换因场变换算子?不同而异。

15

?

31

??(x)??3??(x)?????(x?)dx?

??(x?)对比?函数的性质知

???(x)?? ?(x?x?)?? （2.62）

??(x?)?)，我们有 对于两个函数的泛函，例如拉氏量L(?,???)??(?L(?,??L?L?3???(x)???(x))dx (2.63a) ?????(x)??(x)另一方面，在分立记号中有

?]??(?L[?,?i?L?L?i) ??i????i??i??1?L1?L?i)?Vi (2.63b) ??i?????Vi??i?Vi??i ＝?(i令（2.63a）等同于（2.63b）式的连续极限，由于在不同点的变分互相独立，可得到：

?L1?L ????(x,t)lim?V??(t)?V?0iii

?L1?L （2.64） ??lim?(x,t)?V?0?Vi???(t)??i?其中x位于第i个小格中。

将（2.60）公式作

1?Ld?L(?)?0 lim?i(t)dt???Vi?0?Vi??i(t)利用（2.64）式得场的Eular-Lagrange方程

?L??L?(??)?0 (2.65)

???(x,t)?t??(x,t)?)满足的方程。 这是拉氏量L(?,?引入拉氏密度函数作进一步的研究，定义：

L??Ld3x (2.66)

???(x,t)的泛函，考虑到作为协变量也应与L是拉氏函数密度，注意L是?(x,t),?

31

32

???x,t?有关，所以L应为?和???的泛函L??,????，这样作用量为：

s??L(?,???)d4x

由最小作用原理

??L??L?s??dx???????????=0

??????????4由于x不变??????????? 上式化为

??L??L?L?s??dx??????()?????(??)?=0

??????????????4上式最后一项利用四维高斯定理，积分为0，并考虑积分区域的任意性，所以导出

??L??L?????0 (2.67)

???????????这就是用拉氏密度函数表示的场的Enlar-Lagrage方程，这一方程，统一的描述了各类的场。 例如，设

11LKG?????????m2?? （2.68）

22代入Enlar-Lagrage方程，得标量场的Klein-Gorden方程

??????m2??x??0

?即LKG氏标量场的拉氏量的一个选择。 若

LD?????????m?? （2.69）

由（2.69）知，方程化为旋量场的Dirac方程

??????m???x??0

即LA是旋量场拉氏量的一个选择。 若

11LA??F??F???m2A?A? （2.70）

42方程化为矢量场的Froca方程

????A??m2A?

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??A??0

即LA是矢量场拉氏量的一个选择。

4. 场的Hamilton的形式

现在将场的Lagrange形式过渡到Hamilton形式。

还是将场分为无穷多但可数的nN个小格，对场中第i个小格vi，选正则坐标为场函数?(x,t)在小格vi中的平均值。

?i(t)?1v??(x,t)d3x ivi共轭动量是

p?L(t)i(t)???t) i(即

p?i(t)????)?Livi?Li??vi??ivi i(ti式中

?Lii???? (2.74) i哈密顿量定义为

H??pi?i?L (2.75)

即对小格体元?vi

Hi?pi?i?Livi?(?i?i?Li)vi

令

Hi??i?i?Li (2.76)

则

H??Hivi 体元?Vi的Hamilton方程为

（2.71） （2.72） （2.73） （2.77）

33

34

。?H?H。??pi, ??i （2.78） ??i?pi取N??,?Vi?0，即过渡到连续情况。

定义场变量?(x)的共轭动量为：

?(x)?Lim?x??L。 （2.79）

?Vi?0??(x)哈氏量（2.77）过度为

H?。?LimVI?0?Hi?Vi??LimV0(?i?i?Li)?Vi

i???(??。?L)d3x (2.80a)

即

???Hd3x 式中

H(x)??(x)?。(x)?L(x) 称为哈氏量密度。

由（2.78）式，作

?H1?H(t)??(x)??LimV?0?V ii??i(t)?H1?H(t)??(x)??LimV?V i?0i??i(t)及 ?Lim1V(?p1i）?Lim(???Vi)???

i?0?Vi?Vi?0?Vii 所以Hamilton运动方程是

?H??(x)????(x), ?H???(x)??(x) (2.82) 这样Lagrange方程等价地可由Hamilton方程(2.82)所代替。

5. 泊松括号

定义泛函F??,??和G??,??的泊松括号为：

（2.80b）

（2.81）

34

35

?F,G?pb??V(?F?G?F?G（2.83） ?)d3x

??(x)??(x)??(x)??(x)对于泛函F??,??的时间微分：

dF?F??F?3??dx(???) dx????代入(2.82)式有：

F??d3x(??F?H?F?H?)

????(x)????(x)依据泊松括号定义（2.83）则

F??F,G?pb （2.84）

泊松括号定义（2.83）中，若令F??(x)，G?H则

???(x),H?pb????(x)?Hd3x?

??(x?)??(x?)??x??d3x?????x? ????x?x???即

??x?????x?,H?pb （2.85a） ?同理有

??x?????x?,H?pb （2.85b） ?这是Hamilton方程（2.82）的另一表式。

同理，还可导出

???????x,t?,??x?,t??pb??3?x?x?? （2.86a）

???????x,t?,??x?,t??pb????x,t?,?(x?,t)?pb?0 （2.86b）

这些关系式可用于向量子括号过渡。

§5 对称性与守恒律

1. 概说

对称是一个古老的观念，这一观念来源于自然界存在着对称，如六角形的雪花，对称的叶片，美丽的蝴蝶，人体的左右对称等。在人类生活中，也早已喜爱

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对称，如古代的有些对称的青铜器，庄重对称的皇宫建筑，对称的诗歌等。生活中的对称是美，是艺术。对称观念应用于科学，最早见于几何学，十九世纪把对称应用于晶体研究，是对称在物理学上应用的一大进步。

但是什么是对称，例如问：“有多少种移动和转动使晶格不变？”这些促使数学家提出了群的观念，群的观念是十九世纪数学的一大发明，对数学和物理都有着深刻的影响。对称的科学观念及其重要性是逐步形成的，二十世纪初期，相对论和量子论的发现，使对称性在物理上的应用大为推广，并突显其重要性。

物理学中的对称性观念是：物质的状态和运动规律在某一变换下不改变，则称该状态和运动规律具有这一变换的对称性。也就是说，将所研究的对象称为系统，将系统从一个状态变化到另一个状态称为变换，如果状态在某一变换下不变，即变换后到一个等价的状态，则这个变换就称为系统的一个对称变换。 在物理学中应用对称性的概念，发现了对称性与守恒律的深刻关系，这方面最重要的是Noether的证明。按李政道说法，一切对称性的根源在与对于某些基本量的不可观测性。例如绝对空间是不可观测的,坐标原点的选取不影响两个粒子的相互作用能V?V(r1?r2)，或者说,坐标原点从A处的0点平移至B处的o’,相互作用位能V不改变,因为两粒子的总动量改变率是力，

(?1??2)V(r1?r2)?0，它等于零，所以两粒子系统的总动量守恒。这例子说明,由于绝对时空间位置是不可观测量,空间平移这一变换不改变位能,相应守恒量是动量,表1.1列出了部分对称性与守恒律的关系

表 1.1 不可观测量 绝对空间位置 绝对时间 绝对空间方向 电荷绝对符号 P和n不同的相干混合态之间的差别 对称性变换 空间平移r?r??r 时间平移t?t??t 转动r?r` 守恒定律或选择定则 动量 能量 角动量 电荷共轭宇称 同位旋 e??e ?p??n???n?????p?? ????电荷不同态之间的??ei??? 相对相位

电荷 狭义相对论把麦克斯韦方程组的对称抽取出来,变成重要的协变性概念,这是物理学的又一大进步,把电磁场方程对称化,是把实验方程作对称化,先实验后

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理论，反之若先理论上确定对称性,后寻找对称化的方程，再由实验验证,这就为物理学的研究提供了有力的武器。设定力学方程必须对称，构建力学协变量,组建力学的协变方程,改造了经典力学,建立了相对论论力学，这是研究最成功的一例。理论物理中,不少研究就是按这个思路，从对称性出发做研究的。爱因斯坦是按照不管坐标怎什么改,方程形式不应该改这一思路,建立了广义相对论。. 对称性有两类,一类是时空的对称性,例如时空平移和洛伦兹变换,另一类是内部对称性,在场论中,它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的,在不同时空点的场作独立变换,称为规范变换,最早发现的定域对称性是电磁场的规范对称性。量子力学建立了以后,发现带电粒子与电磁作用的量子理论是一种规范不变理论,在这个理论中,运动方程在带电粒子波函数的定域相位变换下保持不变.(电磁场势作用相应变换)。1954年杨振宁和Mills把电磁场的规范理论作了推广,推广到非阿贝尔规范,认为定域对称性不只是适用于带电粒子与电磁场的相互作用,这一对称性应当在物质作用的理论中起基本作用,通过一系列的工作，得到一个结论，所有相互作用都是由对称所支配的，这就是杨振宁所说的：“今天得到一个原则，对称支配作用力”。

对称性在物理中的重要性，杨振宁1995年在广西大学讲演中给出了的图表见表1.1：

表1.1 在物理学中，对称性分为四类：

（a）置换对称性：玻色—爱因斯坦统计和费米—狄拉克统计； （b）连续时空对称性：坐标平移、转动等；

（c）分立对称性：空间反射、时间反演、正反粒子共轭等； （d）幺正对称性：与电荷守恒、同位旋守恒等联系的对称性。

对称性显示了物质世界的统一性，反映了不同物质形态在运动中的共性。不对称性显示了物质世界的多样性。对称性依赖于不可观测量，一旦一个不可观测量被证实是可观测的，这就产生了对称破缺，最著名的例子是左右对称的宇称守

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恒，1957年，李政道、杨振宁的理论，吴健雄的实验，证明在弱作用下，左右是不对称的。“绝对的左”可观测。宇称不守恒。这说明，不仅有对称，也有稍微的不对称，今日的对称，明日又可能是不对称的。

2. Norther定理：

为了研究场系统在对称变换下的对称性。我们利用Lagrange的一个基本性质证明，使拉氏量密度保持不变的连续对称性变换产生守恒定律，由此可以确定运动常数。

1、Norther定理的证明

如果作用量s在关于时空坐标x?和场量?(x)的某种连续变换下是不变的，则一定存在着守恒律和守恒量。这就是Norther定理。

假定，在坐标的无穷小变换：

?x??x???x? （2.87a） 及相应的场量变换：

??(x?)??(x)???(x) （2.87b）

的联合变换下，作用量保持不变：

?s???Ld4x?0 （2.88）

则有连续性方程：

??f??0 （2.89）

式中

f??T???x??是守恒流，

?L?? （2.90） ????T???L????是能量动量张量， 守恒量为

?L?? （2.91）

?????x?G??i?f4d3x （2.92）

这就是Norther定理得数学表示。

证明如下：

在无穷小变换下，作用量变分：

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?s??L(??(x?),?????(x?))d4x???L(?(x),???(x))d4x （2.93）

因为 d4x??J(x?)d4x 式中J是Jaccobi变换因子。在x?无穷小变换（2.87a）

x下

x??J()?1??x? (2.94) x?x?则(2.93)化为：

?S??(?L?L???x?)d4x (2.95)

式中 ?L?L(??(x?),?'???(x?))?L(?(x),???(x)) 将?L分解为两部分，

?L???L??xL (2.96)

式中

?xL?L(?(x?),?'?(x?))?L(?(x),???(x))

??L?x?x? (2.97) ???L?L(??(x?),?'???(x?))?L(?(x?),???(x?))

??L????L?????????? ????L??????L?L???(?????)?(??????)????? ???L?(?????) (2.98) ??这里依（2.38）式,

??????(x)??(x)????????x?

即

??L??L?(???(???????x?)) (2.99) ??将（2.96）—（2.98）代入（2.95）有

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?s??[??(?L??(?????L???x?))??x?x??L???x?]d4x???

????f?d4x?0即得（2.89）至（2.91）式，Norther定理得证。

守恒量易于证明。

G(t)??i?f4d3x

有

dGdt??i??f4?td3x???f4?xd3x 4因为 ???f??0，有▽?f??4f4?0 所以

G????▽??fd3x?????f?d?s?0

即G是守恒量。

3.时空平移和能量动量守恒

应用Norther定理，讨论几种变换和相应的守恒量。 时空平移是： x???x???? dx????

??是无穷小常数，在时空平移下，由于时空的均匀性，场函数不变

??(x?)??(x) ???0

即时空平移条件是：

dx????，

???0 将这个条件代入f? 表式(2.90)，时空平移下的守恒流为

f??T????? T??的表式是（2.91），所以守恒律是：

??T???0

相应的守恒量是

2.100） 2.101）

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（（

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