2017年高三一模汇编 - 数列与数学归纳法

2017年一模数列与数学归纳法汇编

题型一：数列知识点常规题型（公式、性质、极限）

1（2017宝山一模1）lim 【参考答案】 2

2（2017崇明一模5）. 已知无穷数列{an}满足an?1?项和，则limSn?

n??2n?3?

n??n?11an(n?N*)，且a2?1，记Sn为数列{an}的前n2【参考答案】 4

3（2017奉贤一模7）. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为

2015，则该数列的首项为

【参考答案】 5

4（2017虹口一模5）数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则limSn?

n??a2n5（2017闵行一模3）. 已知数列{an}的前n项和为Sn?2n?1，则此数列的通项公式为 【参考答案】 an?2n?1

6（2017长宁+嘉定一模8）若数列?an?的所有项都是正数，且a1?a2?...?an?n2?3n,n?N*，则liman?1?a1a2??...????_____n??n2n?1??23

【参考答案】 2

2n?5? 7（2017徐汇一模1）limn??n?1【参考答案】 2

8 （2017徐汇一模9）在数列{an}中，若对一切n?N都有an??3an?1，且

*lim(a2?a4?a6?????a2n)?n??9，则a1的值为 2【参考答案】?12

题型二：数列和其他知识点的结合（集合不等式、函数、二项式定理、概率等）

8（2017杨浦一模8）设常数a?0，(x?2lim???na?a?a?? 。 n??a9)展开式中x6的系数为4，则x 【参考答案】

1 22x1（x?0）及曲线C2:y?（x?0），C1上的x?13x9（2017青浦一模20）. 如图，已知曲线C1:y?点P1的

1*n?N），从C1上的点P（）作直线平行于x轴，交曲线C2于Qn n2*点，再从C2上的点Qn（n?N）作直线平行于y轴，交曲线C1于Pn?1点，点Pn

横坐标为a1（0?a1?（n?1,2,3,???）的横坐标构成数列{an}； （1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标； （2）试求an?1与an之间的关系； （3）证明：a2n?1?

1a2n； 2an?112a?(,)n?16an；（3）略； 23【参考答案】（1）；（2）

10（2017普陀一模14）. 设无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则“a1?q?1”

是“limSn?1”成立的（ ）条件

n?? A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【参考答案】 B

11（2017普陀一模10）. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d?{?2,?1,0,1,2}出现的概率的最 大值为 （结果用最简分数表示） 【参考答案】

2 312（2017浦东一模15）. 设{an}是等差数列，下列命题中正确的是（ ）

A. 若a1?a2?0，则a2?a3?0 B. 若a1?a3?0，则a1?a2?0 C. 若0?a1?a2，则a2?a1a3 D. 若a1?0，则(a2?a1)(a2?a3)?0 【参考答案】 C

13（2017金山一模10）.若an是?2?x?n?N?,n?2,x?R展开式中x2项的二项式系数，则?111?lim??????????? n???aan??2a3n??【参考答案】 2

14（2017虹口一模21）. 已知函数f(x)?2|x?2|?|x?1|，无穷数列{an}的首项a1?a；

（1）若an?f(n)（n?N），写出数列{an}的通项公式；

（2）若an?f(an?1)（n?N且n?2），要使数列{an}是等差数列，求首项a取值范围； （3）如果an?f(an?1)（n?N且n?2），求出数列{an}的前n项和Sn；

【参考答案】21.（1）an?n?3；（2）a?{?3}?[?1,??)； （3）当a??2，Sn?a?(n?1)(?a?3)?当?2?a??1，Sn?a?(n?1)(3a?5)?当a??1，Sn?na?***3(n?1)(n?2)；

23(n?1)(n?2)；

23n(n?1)； 215（2017奉贤一模7）. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为

2015，则该数列的首项为

【参考答案】 5

16（2017崇明一模16）. 实数a、b满足ab?0且a?b，由a、b、列（ ）

A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【参考答案】 D

17（2017宝山一模21）. 设集合A、B均为实数集R的子集，记：A?B?{a?b|a?A,b?B}； （1）已知A?{0,1,2}，B?{?1,3}，试用列举法表示A?B；

a?b、ab按一定顺序构成的数22x2y21*??的焦距为an，如果 （2）设a1?，当n?N，且n?2时，曲线23n?n?11?n9122A?{a1,a2,???,an}，B?{?,?,?}，设A?B中的所有元素之和为Sn，对于满足

993m?n?3k，且m?n的任意正整数m、n、k，不等式Sm?Sn??Sk?0恒成立，求实

数?的最大值；

（3）若整数集合A1?A1?A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是N的基底集？请说明理由；

**9【参考答案】（1）{?1,0,1,3,4,5}；（2）2；（3）略；

18（2017宝山一模19）. 设数列{xn}的前n项和为Sn，且4xn?Sn?3?0（n?N）； （1）求数列{xn}的通项公式；

*（2）若数列{yn}满足yn?1?yn?xn（n?N），且y1?2，求满足不等式yn?*55的最小 9正整数n的值；

【参考答案】（1）xn?()43n?1；（2）5；

19（2017闵行一模21）. 在平面直角坐标系上，有一点列P设点P0,P1,P2,P3,???,Pn?1,Pn，k的坐标(xk,yk) （k?N，k?n），其中xk、yk?Z，记?xk?xk?xk?1，?yk?yk?yk?1，且满足

|?xk|?|?yk|?2（k?N*，k?n）；

（1）已知点P0(0,1)，点P1满足?y1??x1?0，求P1的坐标；

*（2）已知点P0(0,1)，?xk?1（k?N，k?n），且{yk}（k?N，k?n）是递增数列，

点Pn在直线l:y?3x?8上，求n；

（3）若点P0的坐标为(0,0)，y2016?100，求x0?x1?x2?????x2016的最大值；

【参考答案】（1）

P1(1,2)；（2）n?9；（3）4066272；

题型三：数列的单调性和恒成立问题

20（2017奉贤一模10）. 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，对任意的n?N，Sn?0恒成 立，则公比q的取值范围是 【参考答案】(?1,0)?(0,??)

21（2017金山一模21）.数列?bn?的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有Sn?（1）试证明数列?bn?是等差数列，并求其通项公式；

（2）如果等比数列?an?共有2017项，其首项与公比均为2，在数列?an?的每相邻两项ai和ai?1之间插入i个??1?bii?N?后，得到一个新的数列?cn?，求数列?cn?中所有项的和；

?8?20（3）如果存在n?N?，使不等式?n?1??bn????n?1???bn?1?成立，若存在，求实数?的范围，

bbn?n?1?i*n?n?1?2。

??若不存在，请说明理由。

【参考答案】（1）bn?n，证明略 （2）22018?

2016?2017?2 （3）不存在，理由略 222（2017闵行一模21）. 在平面直角坐标系上，有一点列P设点P0,P1,P2,P3,???,Pn?1,Pn，k的坐标(xk,yk) （k?N，k?n），其中xk、yk?Z，记?xk?xk?xk?1，?yk?yk?yk?1，且满足

|?xk|?|?yk|?2（k?N*，k?n）；

（1）已知点P0(0,1)，点P1满足?y1??x1?0，求P1的坐标；

*（2）已知点P0(0,1)，?xk?1（k?N，k?n），且{yk}（k?N，k?n）是递增数列，

点Pn在直线l:y?3x?8上，求n；

（3）若点P0的坐标为(0,0)，y2016?100，求x0?x1?x2?????x2016的最大值；

【参考答案】（1）

P1(1,2)；（2）n?9；（3）4066272；

23（2017松江一模12）. 已知数列{an}满足a1?1，a2?3，若|an?1?an|?2n(n?N*)，且{a2n?1}是

递

增数列，{a2n}是递减数列，则lim【参考答案】?

24（2017徐汇一模11）. 已知数列{an}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为Sn，设bn?a2n?1?

n??a2n1 2Sn n?2n(n?N*)，若数列{bn}是递减数列，则实数m的取值范围是

【参考答案】 [0,1)

25（2017杨浦一模20）、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

数列?an?，定义??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an，n?N?. （1）若an?n2?n，试判断??an?是否是等差数列，并说明理由； （2）若a1?1，?an?an?2n，求数列?an?的通项公式；

??

12n（3）对（2）中的数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切n?N?都

成立，若存在，求出数列?bn?的通项公式；若不存在，请说明理由.

n?1?a?2nb?n； a?n?2nn【参考答案】 （1）；（2）；（3）n26（2017长宁+嘉定一模14）、若无穷等差数列{an}的首项a1?0，公差d?0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是 （ ）

A. Sn单调递增 B. Sn单调递减 C. Sn有最小值 D. Sn有最大值 【参考答案】 C

题型四：数列的新定义题型

27（2017宝山一模12）. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，

那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为 【参考答案】 3

28（2017宝山一模21）. 设集合A、B均为实数集R的子集，记：A?B?{a?b|a?A,b?B}； （1）已知A?{0,1,2}，B?{?1,3}，试用列举法表示A?B；

2x2y21*??的焦距为an，如果 （2）设a1?，当n?N，且n?2时，曲线23n?n?11?n9122A?{a1,a2,???,an}，B?{?,?,?}，设A?B中的所有元素之和为Sn，对于满足

993m?n?3k，且m?n的任意正整数m、n、k，不等式Sm?Sn??Sk?0恒成立，求实

数?的最大值；

（3）若整数集合A1?A1?A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是N的基底集？请说明理由；

【参考答案】（1）{?1,0,1,3,4,5}；（2）

**9；（3）略； 229（2017奉贤一模21）. 设数列{an}的前n项和为Sn，若数列”；

（1）若a1?1，a2?1an?1??2 (n?N*)，则称{an}是“紧密2an3，a3?x，a4?4，求x的取值范围； 2（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0?d?a1，判断{an}是否为“紧密数列”； （3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的 取值范围；

1[,1]【参考答案】 （1）[2,3]；（2）是；（3）2；

30（2017松江一模21）. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H型数列”；

11?3，a2?，a3?4，求实数m的范围；

mm（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，其前n项和Sn满足Sn?n2?n

（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1?(n?N*)？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；

（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”； 若bn?an2an，cn?，当数列{bn}不是“H型数列”时， 3(n?1)?2n?5试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由；

【参考答案】（1）(??,0)?(,??)；（2）不存在；

（3）an?3?2n?1时，{cn}不是“H型数列”；an?4n?1时，{cn}是“H型数列”；

12

题型五：数列的数表和重组整除问题

31（2017崇明一模21）. 已知数列{an}、{bn}满足2Sn?(an?2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和； （1）若数列{an}是首项为

21，公比为?的等比数列，求数列{bn}的通项公式；

33（2）若bn?n，a2?3，求证：数列{an}满足an?an?2?2an?1，并写出{an}通项公式； （3）在（2）的条件下，设cn?其他两项之积； 【参考答案】（1）bn?an，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列 bn1；（2）an?n?1；（3）略； 232（2017金山一模11）.设数列?an?是集合x|x?3s?3t,s?t,s?N,t?N中所有的数从小到大排列成的数列，即a1?4，a2?10，a3?12，a4?28，a5?30，a6?36，??，将数列?an?中各项按照上小下大，41012左小右大的原则排成如右图等腰直角三角形数表，则a15的值为 。

283036…??【参考答案】 324

33（2017闵行一模12）. 已知无穷数列{an}，a1?1，a2?2，对任意n?N，有an?2?an，数列{bn}满足bn?1?bn?an（n?N），若数列{**b2n}中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的 an

b1的值为

b?2

【参考答案】 134（2017浦东一模20）. 设数列{an}满足an?1?2an?n2?4n?1，bn?an?n2?2n； （1）若a1?2，求证：数列{bn}为等比数列；

（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q、r(2?q?r)，若5b2、bq、br这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(q,r)； （3）若a1?1，cn?bn?n，dn?1?的最大整数；

【参考答案】（1）bn?2n?1；（2）(3,5)；（3）2016；

35（2017青浦一模12）. 已知数列{an}满足：对任意的n?N均有an?1?kan?3k?3，其中k为不等于 0与1的常数，若ai?{?678,?78,?3,22,222,2222}，i?2,3,4,5，则满足条件的a1所有可能值 的和为 【参考答案】 2010*11，Mn是dn的前n项和，求不超过M2016 ?22cncn?123

36（2017长宁+嘉定一模21）、（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分）

已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1?a,rSn?anan?1?1，其中a?1，常数r?N；

（1）求证：an?2?an是一个定值；

（2）若数列{an}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n?N，都有an?T?an成立，则称{an}为周期数列，T这它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn?2?3n?1,n?N*，问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例；

【参考答案】（1）an?2?an?r；（2）T?2；（3）不是；

37（2017黄埔一模21）已知数列{an}、{bn}满足bn?an?1?an(n?1,2,3,???)； （1）若bn?10?n，求a16?a5的值；

*（2）若bn?(?1)n(2n?233?n)，a1?1，则数列{a2n?1}中第几项最小？请说明理由； （3）若cn?an?2an?1(n?1,2,3,???)，求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是 “数列{cn}为等差数列且bn?bn?1(n?1,2,3,???)”； 【参考答案】（1）0；（2）8；（3）略

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