工程数学社积分变换第五版课后答案

高等教育出版社

1 t,0 2

t f数函 1 解 为换变reiruoF其 数函偶的续连为

1 2t,2t 1

00 ])t(f[F ) (F tdt soc)2t 1( 2 tdt soc)t(fttf2 de)(t j 1

.解式形角

三用试者读请 题此解以可都式形角三和式形数复的分积reiruoF由 析分

t 1,0

1 t 0,1

t f )3

0 t 1 ,1

1 t ,0

0 t,t2nise 1 t,0 t 2

t f 1 tf ; )2 ;

,0 1 2t,2t 1

0 t

分积reiruoF的数函列下求 2

0

dt nis b

dt nis b

2 2 t f dtsoca

dt soc a

以所, b b, a a于由

bj a d t nisj t soc

2

dt je d nisj soc f

π 2

dt je t j e f

π2 t f

有 式形数复的分积reiruoF用利 明证 .明证式形角三用

试者读请 题此明证以可都式形角三和式形数复的分积reiruoF由 析分

π

. d nis f b, d soc f

π

a中其

dt nis b

dt soc a

t f

有则 件条的中理定分积reiruoF足满

t f若 证试 1

1-1

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tdt nis)t(f

0 j2 td

t j

e)t(f

)t(f F F

为换变reiruoF其 数函奇是)t(f - =)t-(f且1 0 1-点断间有数函给所 3 .质性分积的数函偶奇到用里这

2 6 52 2 6 52 π π44

d d

2 2 6 52 π2 2

d t nisj t soc 4

2 t j

0 π 2 6 524

d

2 π2 t f de) (F j) 2( 1j) 2( 1 2 6 522 虚 数函偶为部实 4

2

为换变reiruoF的)t( f

数函奇为数

0 j j2 1 j j2 1 j2

t) jj21(t) jj21(

td]

t) j j2 1(

e

t) j j2 1 (

0j2j20

e[ tde e t j jt2t jt2t j

td

t j

et2nise td

t

e)t(f

)t(f

F ω F

为换变reiruoF其 数函续连为数函给所)2

0π π2

)t(f dt soc) (F de) (F t j

为分积reiruoF的)t(f )数

0π 3

dt soc 函偶(

3

0 2 2 3

2

1

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) (F tdt j etsoce tdt j e t ft

为换变reiruoF其 数函偶的续连为tsoce t f数函 2

t

t

e

2 0 2

d2

即

2 0 π π2

de F t f tdt soc2

t j 得换变reiruoF由再

2

0 t t

0

tdt soct e 2 tdt j ee t f F Ft

π t,0 π t,0 10 2 )t(f 3 明证 2 d

π t,tnis π t,tnis

2

2

t2

2

为换变reiruoF其 数函偶的续连为

t

e t f数函 1 明证

24 0 4

tsoce )t(f 2 ;tsoce dt soc 明证t 2

t

;

t

2 2 0

e d2 明证 ,)0 (e t f 1

t

果结分积列下证推并 换变reiruoF的数函列下求 3

. 替代

2

以应)t(f边右 处0t点断间在 1 0 1- t中其

dt nis F

0 π

dt nis 0π0π2 F de=)t(ft j 数函奇

为分积reiruoF的)t(f

tdt nis 1 j2

1

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dt nis d nis f

0 0 π

t f

积弦余reiruoF和式达表分积弦正reiruoF的 0 t,0 t e t f数函求.4

π t,0 10 2

2 d

π t,tnis

有 法分积部分用并 式公分积弦正reiruoF据根 解 .式达表分

1 π2 π2 2 FF F de d t nisj t soc t j1-

π t,0 1 0 π2 d

π t,tnis

故

1 2 11101 j 0 j

ππ

t 1 soc t 1 soc td

π π

0π

j tdt nistnisj2

π π

π

td t nisj t soc tnis

td

t

t j

etnis

td

t j

e t f

F

π24 4 0 π0π

dt soc F de F )t(f dt soct j2 24 0 4

tsoce dt soc 即

2

为换变reiruoF其 数函奇为数函的出给 3

00 2 ttttdededede t) j j 1 ( t) j j 1(t) j j 1 ( t) j j 1( 00 td

t j

2 0jj10jj1jj1jj1

0t) jj1(0t) jj1( t) jj1( t) jj1(4 j j 1 j j 1 j j 1 j j 1 24

2 得式公换变reiruoF由再

e

tj2

tjt

e

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. dt soc2

022

dt soc

2 0 π π

0

0 0 π dt soc d soce t

dt soc d soc f

0 0 π

t f

有 法分积部分用 式公分积弦余reiruoF据根

. dt nis2

0π22 0 dt nis

2 0 π

0 0 π dt nis d nise t

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F td

t j

e t f

.数函奇为亦 F以所

t为u量变分积换

td

t j

e t f

udu j e u f

td

t j

u t 令

F

e t f

则 t f t f即 数函奇为 t f果如 .数函奇为亦 t f以所

π2

为u量变分积换 t f de F π2

u 令 udtuje u F t j

d

t j

e F

π2 π2 t fF de t j π2 t f tdt j e t f F dt je F 则 F F即 数函奇为 F果如

即 对换变reiruoF个一是 t f与 F 明证 .性

偶奇的同相有 t f与 F明证 换变reiruoF的 t f数函是 F设.2

j

tj0 j 0 de de)( )t(f F ) (FAtAttft j t j tj

解

.换变reiruoF的

t 0,A

他其,0

)t(f数函冲脉形矩求 1

2-1

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i r F tsoctftnistfmI b td

t nis t if t soc t rf F eR中其 a td F mIj F eR

t nis t if t soc t rf j td td t soc t if t nis t rf

ir tfjtftdetf td t nisj t soc F t j

此因 .部虚与部实的 t f为别分且 数函值实

的t为均 t if和 t rf中其 t ifj t rf t f记 下况情般一在 明证

.) (F ) (F是件条要充的数函值虚为 t f 2 ) (F ) (F是件条要充的数函值实为 t f 1

t f F设 5 明证试 ) (F

0 e

10 22

f d2

得可 时0 t当 此由

10π0π sF t f dt nis) (sF ) (sF d2

1 0 1 12

2

t 0

s

有 式公换变逆弦正reiruoF由

tdt nise

t

t f tdt nis t f

F ) (sF

有 式公换变弦正reiruoF由 解

0 e

2 10

d2

证推并 换变弦正reiruoF的 0 t t e t f数函求 4 .数函偶为同 F与 t f证可理同

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F mIj F eR

F

F mIj F eR F

F mIj F eR

tdt soc t if tdt nis t if

F mI

以所

F eR

为别分

式 b 和式 a 时此.0 t rf, t ifj t f即 数函值虚的t为 t f若 2

.证获 1论结而从.数函值实的t为 t rf t f明表即亦

tdt nis t rf

j tdt soc t rf F

有定必 此

因.数函奇的 于关是部虚的 F 数函偶的 于关是部实的 F明表即此

F mIj F eR F mIj F eR

F mIj F eR F 有则 F F知已若 之反

F mIj F eR F tdt nis t rf

F mI

以所

tdt soc t rf

F eR

为别分

式 b 和式 a 时此.0 t if, t rf t f即 数函值实的t为 t f若 1

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知易 0t g td t g 0t t δ数函由 解 . t f数函

该求 0 δ 0 δ π F为换变reiruoF的数函某知已 7

1 t0

0 4 得以所,0 d 时0 a当1 t tf

2

1 t

200 d d

时0 a当

t20 0 0

td a)(dd

0 π20 π2

d d

dt soc

时0 a当于由但

0 π 2

t f Fde t j 有式公由 数函偶的续连为

. t f数函该求

) (F换变reiruoF的数函某知已.6

) (F 解

.证获 2论结而从.数函值虚的t为 t ifj t f明表即亦

tdt soc t if

Fj tdt nis t if

有定必 此

因.数函偶的 于关是部虚的 F 数函奇的 于关是部实的 F明表即此

F mIj F eR F mIj F eR

有则 F F知已若 之反

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tj3

e e3 e3

tj-tj

tj3

e F知已:解 由, 0 δπ2 t0 j

8

e

3

tjj2

tnis t f

3tj

.换变reiruoF的t3nis t f数函求.11

2 δ 2 δ

22 tf Ft2nis tnistsoc t f由有

t0 nis F 0 δ 0 δ πj

知已 :解

.换变reiruoF的tnistsoc t f数函求. 01

2

. soc asoc

2 t 2

ta ta t 2

e e e e t j t j t j t j

d

t j

2 2 2

e t δ t δ a t δ a t δ t f F F

解

.换变

2 2 2

reiruoF的 t δ t δ a t δ a t δ t f数函求 9

.) (δπ

j

) (F ])t(u[F而 t u t u t ngs出看易容 解

0 t,1

t ngs 数函号负正称又 数函号符求 8

0 t,1

t0 soc

.换变reiruoF的

t j

20

e t j

2e

π2 π2

dt je 0 δπ dt je 0 δπ π2 t f de F t j

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即

得 F f t

4 δ 3 3δ 1 3δ 1 δ 3

1

2.求函数f t sin

5t 的Fourier变换. 解

: 由于

3 f

t sin 5t 3

2sin5t 2os5t 故F f t 2

δ 5 δ

5 2δ 5 δ 5

. 1

4.证明 若F

ej t

F 其中

t 为一实数 则

F cos t 2

F F

F sin t 2

j F F 其

中F 为F 的共轭函数. 证

明 因为 F

e

j

t F

F

e

j

t e

j

td

t F

e j tdt e

j t t

e

j td

t j

j t2 2te

j d

t

c

os t e

j tdt F同

理可证另一等式. 17 求作如图的锯齿形波的频谱图. 图形见教科书 .

解 0 ,f

h

t,0T

t

T0, t T

其

他C

T

0 0f

t dt TT

TT

0Thtdt 2

C

n F n 0 T

T0f t e jn 0tdt T 0T e jn 0tdt T2

T

0t

e

jn 0td

t cos t

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n nπn2 n2

δhπ 0 n δπ2 δπ2 F . 0 n δ 0 n

0 n

0πn2 nj0 0

td e

T t0 nj Tt0 nj

T0nj

2 e

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td tdt j e

1

1

tdt soc

01

1

1 t,0 1 ,0 t t f数函设 F . 明证 质性称对用利 9

1 π, 1 t,1

) (F

td ud

t j

tde t ft j

])t(f[

F 明证

e t f

u j t j

e u f

u t 令

F 明证

t为u换

td

e t f

])t (f[

.明证可即换代量变行进再 义定的换变reiruoF据根 析分 ])t (f[ F ) (F 质性转翻 明证 ])t(f[ F ) (F若 6

π2 π2

de) (2F de) (1F

t j t j

) (2F ) (1F dt je

)t(2f )t(1f

π2 F21 F F)()(1- ) (2F ) (1F

t j

td

t j

e)t(2f

td

e)t(1f

)t(2f )t(1f tdt j e

)t(f )t(f

2

1

F

有别分式公的换变逆与换变reiruoF据根 明证

.明证易容很义定的换变reiruoF据根 析分

F21 )(F )(F )t(2f )t(1f 1-

)t(2f )t(1f F ) (2F ) (1F 质

性性线 明证 数常是 , ,])t(2f[ F ) (2F ,])t(1f[ F ) (1F若 1

3 1

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x 1 t1 F π2 td 2t 1 xd22

其 d 2 3

2

2

x x dx xd

2

2

2

t 2 π td

22=-π

xd2

x

2

2

π dπ

2

x xd2 2

4

t π2 F d

2

1 π2

1

xx xd2 xd2 1 解

2

2

t2 t td 令

.xd2

2

x 1

2

xx 2

xd 1 xd2 2

4

4 xd2

2

x 1

3

π2

td t f 分积量能用利 21 值的分积列下求 d F

2

2

t

π2 F ])t(F[ F f

1 ,0 t fπ F 1 π,

π2 ])t(F[ F则 F ])t(f[ F 质性称对由 有, f

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22222

xnatcra

x1 x 1 x 1 x 1222 222

ddx xx d xd2 4

2

2

02

2

2 0π

e π deπ d 2 2 2

π e

x1 2 π2 eπ xd2

而从

t 1 t 1t 12 0 22

2 tdeFe2 td2 t j

中

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. t 2f

t 1f求 t utnis t 2f, t ut e t 1f若 2

t

.置位的 t 2f和 t 1f换调意随能不 意注

t ,0

t u . d f

t ,1

d t u f

. t 2f

td

t 1f d 2f

td

t 1f

t u t f )01

d 2f t 1f

2 td t f

t 1f

tdtd

, t 2f t 2f 1f td t 1f d

d t 2f 1f

t 3f

t 2f t 1f

2 td

t f

td

1 6tf

ud u 3f d u t 2f 1f

ud u 3f u t 2f

dud u t 2f u 3f 1f

1

f

u t 1f

23 d ud u t f u f

d t 3f

t 2f t 3f 1f

1

t 2f tf )2 明证

t

.明证义定的积卷据根 析分

d f

; t 2f

td

t u t f)01

t 1f td 6

t 1f t 2f

t 2f

t 1f

td t 2f

t 3f

3 2 t 1f tftf t 1f 2

4 1

式各列下明证.1

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π2 tdud t 1fe u 2F tuj

ud tdtuj e t 1f u 2F

ud tdtuj e t 1f

π2

π2 2 uF

ud u 2F u 1F

π2

2F

1F

π2:明证

2F* 1F

π2 t 2f t 1f F

t 2f F 2F, t 1f F 1F若. 4 :明证

1 1 22 e

t t 1 2

0 1 2

e 法分积部分

t t

d e nis

d

t

0t

t

e

e nis

d t 1f 2f t 1f

t

此因 ,0

0 t

足满须必即.0 t 1f,0 t;0 2f,0 即 ,

0

t 2f t 2f

t

t 1f

为因.法方的组式等不解用采 间区的0 t 1f 2f定确要

0 t,0 0 t,0

t ue t 1f由 解 t utnis t 2f t 0 t,t e 0 t,tnis

d t 1f 2f

t

1

f

t 2f t 2f t 1f 以所

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j 0t t u δπ tue Fe F0t j

0t j

有 换变reiruoF的 t u及质性移位用利 5

20

2

j

0 j 022

tj

td t j

et0 nis

tdt j e t u t0 nist e

2

0 tutnise Ft

.

2

有 义定的换变reiruoF由 2

0 δ 0 δ j2

0 0

j 0 δπ j 0 δπ j2 t f F

有质性移位由

.

t u

t0 j

e t ut0 je

2

j t u t nis t f

又,

j t u δπ F知已 1 :解

0t t ut0 je t f 5

t u t0 nist e t f 2

t u t0 nis t f 1 换变reiruoF的数函列下求.5

π2 t 2f t 1f F td t 2f

td sdt j e tsje s 2F

π2

tdude u 2F t 1f tuj

t 1f

t j

e t 1f

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t 2

e

2 e

td

t 2

e

e e

td

t t

e

td t f t f

R

以所 , 为间区的0 t f t f 时0 当

t 2

2 0 e

td

2

ee

e td

t 2

e

e

t t

e

td t f t f

R

以所 ,0 为间区的0 t f t f 时0 当

t

.度密谱量能的 0 , t ut e t f数函求 9

0 t,0

t ue t f为因 :解 ,t 0 t,t e

t, t e

,0

t u

t

e t f

4 2a4 ja2ja22

0

ja2 j a2 4 j a24

0ja2

0 4 4

dee j a20 d j e a2 e

d j ea2 e

4 S deR j

其 S度密谱量能的它求

知义定由 解

.0 a中

a2

0 j

e 0 δπ 0t t ut0 je F

0t 0 j

4

e R数函关相的号信某知已 7

有 质性移位的数函象由再

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