江苏省邗江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

江苏省邗江中学2020-2021学年度第一学期

高二数学期中试卷

命题人：

说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．命题“，20x x -≤”的否定是（ ）

A.x ?∈R ，20x x -<

B.x ?∈R ，20x x -≤

C.x ?∈R ，20x x -≥

D.x ?∈R ，20x x ->

2．已知m ，n ∈R 则“m ＞0且n ＞0”是“曲线22

1x y m n

+=为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ）

A ．2

B ．12

C ．3

D ．13

4．已知等差数列{}n a 中，243,5a a ==，则

1223910111a a a a a a ++???+=（ ） A ．25 B ．922 C ．910 D ．1011

5. 设双曲线C 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）

A. 22144x y -=

B. 2214y x -=

C. 2214

x y -= D. 221x y -= 6．关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集为(,)a b ，则32a b +的最小值是（ ） A ．3222+ B ．526+ C ．562 D ．3

7. 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）

A ．6

B ．12

C ．18

D ．24

8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若

对于任意实数a ∈[﹣2，2]，且任意的*N n ∈，不等式

121

21-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）

A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）

C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）

D ．[﹣2，2] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则实数m 的值可以是（ ）

A ．—3 B. —2 C. —1 D. 0

10．已知关于x 的不等式230ax bx ++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}3x x >

B ．不等式230ax bx ++>的解集可以是R

C ．不等式230ax bx ++>的解集可以是?

D ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}

13x x -<<

11. 设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．数列{}n S n +为等比数列

C ．数列{}n a 中a 10=511

D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---

12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法一定正确的是（ ）

A ．A

B 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切

C ．12x x 为定值

D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠

第II 卷（填空题和解答题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知命题p ：235],1,1[2+≥---∈?m a a m ，且p 是真命题，则实数a 的取值范围是______． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，乙所得为________钱．

15．已知1F ，2F 分别为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足2

32S p =，则该双曲线的离心率为______. 16.设二次函数2()()f x ax bx c a b c =++，

，为常数.若不等式()2≥+f x ax b 的解集为R ，则2

22

3c a b +的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知p ：0652<+-x x ，q ：02322<+-m mx x ，其中0m >．

（1）若m =2，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；

（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

18.已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =．

（1）求{}n b 的通项公式；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

19.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足41

k x m =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按

816x x

+元来计算）． （1）求k 的值；

（2）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；

（3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

20．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .

（1）求抛物线C 的方程；

（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.

21．设数列{}

n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <；

（3）设数列{}n d 满足()1141n n n n

d a λ-=+-??（n ∈+N ），若数列{}n d 是递增数列，求实数λ的取值范围.

22.如图，已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率为12， A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，右焦点F ，BF=1，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，M 在x 轴上方． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232

S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分

别为k 1，k 2，k 3 ，求k 2·

(k 1－k 3) 的值．

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