2012年辽宁高考数学理科试题详细解答(全word版_每个题都有详细解答)

2012年高考辽宁卷理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，集合A= 0,1,3 ，集合B= 2,4,5,6,8 ，则,5,8

CUA CUB =

A． 5,8 B． 7,9 C． 0,1,3 D． 2,4,6 难度 易 正确答案B

CUA CUB =CU A

2-i= 2+i34

A．-i

55

2.复数难度 易 正确答案A

B = 7,9

B．+

3443

i C．1-i D．1+i 5555

2-i 2-i3-4i34

===-i 2+i2+i2-i555

3. 已知两个非零向量a,b满足a+b=a-b，则下面结论正确 A．a//b B．a b C．a=b 难度 中 正确答案B

D．a+b=a-b

2

a+b=a-b，可以从几何角度理解，以非零向量a,b为邻边做平行四边形，对角线长分别为a+b,a-b，若a+b=a-b，则说明四边形为矩形，所以a b；也可由已知得a+b=a-b，

即a-2ab+b=a+2ab+b ab=0 a b 4. 已知命题p: x1,x2 R,f x2 -f x1 A． x1,x2 R,f x2 -f x1

2

2

2

2

2

2

x-x 0，则 p是

2

1

x-x 0

2

1

B． x1,x2 R,f x2 -f x1 C． x1,x2 R,f x2 -f x1

x-x 0

2

12

1

x-x <0

D． x1,x2 R,f x2 -f x1 难度 易 正确答案C

x-x <0

2

1

全称命题的否定形式为将“ ”改为“ ”，后面的加以否定，即将“f x2 -f x1 改为“f x2 -f x1

x-x 0”

2

1

x-x <0”

2

13

4

5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A．3 3! B．3 3! C． 3!

D．9!

难度 中 正确答案C

每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有

3!

4

6. 在等差数列 an 中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= A．58 B．88 C．143 D．176 难度 中 正确答案B

a4+a8=2a6=16 a6=8，而S11=

11 a1+a11

=11a6=88 2

7.

已知sin -cos 0, ，则tan A． 1 B

． 难度 中 正确答案A

方法一：sin -cos 0, ，两边平方得1-sin2 =2,

C

． 22

D．1

sin2 =-1,2 0,2 ,2 =

3 3

, =, tan =-1 24

方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0, tan =-1

x-y 10

+3y的最大值为 8. 设变量x,y满足 0 x+y 20，则2x

0 y 15

A．20 B．35 C．45 D．55 难度 中 正确答案D

如图所示过点A 5,15 时，2x+3y的最大值为55 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值是 A．-1 B．难度 中 正确答案D

当i=1时，经运算得S=

23

C． D．4 32

2

=-1； 2-4

当i=2时，经运算得S=

22

=；

2--13

23=； 222-32

当i=4时，经运算得S==4；

32-22

=-1； 当i=5时，经运算得S=2-4

当i=3时，经运算得S=

从此开始重复，每隔4一循环，所以当i=8时，经运算得S=4；接着i=9满足输出条件，输出S=4 10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm的概率为 A．

2

1 6

B．

124 C． D． 335

难度 中

正确答案C

如图所示，令AC=x,CB=y，则x+y=12 x>0,y>0

2

x 12-x 32 ，矩形面积设为S，则S=xy=

82

= 123

。

解得0<x 4或8 x<12，该矩形面积小于32cm的概率为

3

11. 设函数f(x) x R 满足f( x) f x ,f x =f 2-x ，且当x 0,1 时，f x =x.又函

数g x =xcos x ，则函数h x =g x -f x 在 -, 上的零点个数为

22A．5 B．6 C．7 D．8 难度 难 正确答案B

13

f( x) f x ,所以函数f(x)为偶函数，所以f x =f 2-x =f x-2 ，所以函数f(x)为周期为

2的周期函数，且f 0 =0,f 1 =1，而g x =xcos x 为偶函数，

且g 0 =g =g - =g =0，在同一坐标系下作出两函数在 -, 上的图像，发现在

22222

1 1 3 13

13 13

内图像共有6个公共点，则函数在-,-, 上的零点个数为6 hx=gx-fx 22 22

12. 若x 0,+ ，则下列不等式恒成立的是 A．e 1+x+x

x

2

B

11

1-x+x2

2412

x 8

C．cosx 1-难度 难 正确答案C

12x 2

D．ln 1+x x-

332

验证A，当x=3时，e>2.7=19.68>1+3+3=13，故排除A；验证B，当x=时，，

1

2

11111339，而1- + ==，故排除B； =<=

224416484848483

12

x,g' x =-sinx+x,g'' x =1-cosx，显然g'' x >0恒成立 2

12

所以当x 0,+ ，g' x g' 0 =0，所以x 0,+ ，g x =cosx-1+x为增函数，所以

2

验证C，令g x =cosx-1+

g x g 0 =0，恒成立，故选C；验证D，令

11xx x-3 ，令h' x <0，解得0<x<3，所以当0<x<3h x =ln 1+x -x+x2,h' x =-1+=8x+144x+1时，h x <h 0 =0，显然不恒成立

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ． 难度 易

正确答案 38

由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为

2 4 3+4 1+3 1 +2 -2 =38

14.已知等比数列 an 为递增数列，且a52=a10,2 an+an+2 =5an+1，则数列 an 的通项公式

an=____________．

难度 中 正确答案2

令 等比数列 an 的公比为q，则由2 an+an+2 =5an+1得，2+2q2=5q,2q2-5q+2=0，解得

n

1429q=或q=2，又由a52=a10知， a1q =a1q，所以a1=q，因为 an 为递增数列，所以a1=q=2，

2

an=2n

15. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4,-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 ． 难度 中

正确答案 -4

y=

12

x,y'=x，所以以点P为切点的切线方程为y=4x-8，以点Q为切点的切线方程为y=-2x-2，2

联立两方程的

x=1

y=-4

16. 已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C

PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为 ． 难度 中

如图所示，O为球心，O'为截面ABC所在圆的圆心，令

PA=PB=PC=a，PA,PB,PC两两相互垂直，

AB=BC=CA

，所以CO'=

2

2

，

a

，PO'=33

a+a=3a

=，解得a

=2，所以PO'=，OO'= 3 3 333

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，角A,B,C成等差数列。 （1）求cosB的值；

（2）边a,b,c成等比数列，求sinAsinC的值 （1）由已知2B=A+C,A+B+C= , B=

3

,cosB=

1 2

2

2

（2）解法一：b=ac，由正弦定理得sinAsinC=sinB=

3 4

1a2+c2-b2a2+c2-ac

=解法二：b=ac，=cosB=，由此得a2+c2-ac=ac,得a=c

22ac2ac

2

所以A=B=C=

3

，sinAsinC=

3

4

18. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'， BAC=90 ，

AB=AC= AA'，点M,N分别为A'B和B'C'的中点

''； （1）证明：MN//平面AACC

（2）若二面角A'-MN-C为直二面角，求 的值 （1）连结AB',AC'，由已知 BAC=90 ,AB=AC 三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱， 所以M为AB'中点.又因为N为B'C'中点

所以MN//AC'，又MN 平面A'ACC'

AC' 平面A'ACC'，因此MN//平面AACC''

（2）以A为坐标原点，分别以直线AB,AC,AA'为x轴，

y轴，z轴建立直角坐标系O-xyz，如图所示

设AA'=1,则AB=AC= ，

于是A 0,0,0 ,B ,0,0 ,C 0, ,0 ,A' 0,0,1 ,B' ,0,1 ,C' 0, ,1 ， 所以M

1

,0, ,N ,,1 ，设m= x1,y1,z1 是平面A'MN的法向量， 22 22

1

x-z=0 2121 mA'M=0,

由 得 ，可取m= 1,-1, y+1z=0 mMN=011

22

设n= x2,y2,z2 是平面MNC的法向量，

n由 n

-x+y2-z2=02

NC=0, 22

得 ，可取n= -3,-1,

MN=0 y+1z=0

22

22

因为A'-MN-C为直二面角，所以mn=0,即

-3+ -1 -1 + 2=0，解得 19. （本小题满分12分）

电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“ （1）根据已知条件完成下面的2 2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？

抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为

X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E X 和方差D X

n n11n22-n12n21 2

附： =，

n1+n2+n+1n+22

2 22

2

将列联表中的数据代入公式计算，得

n n11n22-n12n21 100 30 10-45 15 100 2=== 3.030

n1+n2+n+1n+275 25 45 5533

因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

1. 4

由题意X

1

B 3, ，从而X的分布列为

4

E X =np=3 =，D X =np 1-p =3 =.

444416

20. （本小题满分12分）

x2y2

如图，椭圆C0:2+2=1 a>b>0,a,b为常数 ，

ab

动圆C1:x2+y2=t12,b<t1,A2分别为C0的1<a.点A左、右顶点，C1与C0相交于A,B,C,D四点 （1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； （2）设动圆C2:x2+y2=t22与C0相交于

A',B',C',D'四点，其中b<t2<a，t1 t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：t12+t22

为定值

设A x1,y1 ,B x1,-y1 ，又知A1 -a,0 ,A2 a,0 ，则 直线A1A的方程为 y=

y1

x+a ① x1+a

-y1

x-a ② x1-a

直线A2B的方程为

y=

-y1222

由①②得 y=22 x-a ③

x1-a

2

x12 x12y1222 由点A x1,y1 在椭圆C0上，故可得2+2=1，从而有y1=b 1-2 ，代入③得

ab a

x2y2

-2=1 x<-a,y<0 2

ab

（2）证明：设A' x2,y2 ，由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，得

x12 22 x22

因为点A,A'均在椭圆上，所以bx 1-2 =bx2 1-2 4x1y1=4x2y2, xy=x2y2，

a a

22

11

2

2

221

由t1 t2，知x1 x2，所以x12+x22=a2。从而y12+y22=b2，因而t12+t22=a2+b2为定值 21. （本小题满分12分）

设f x =ln

x+1 ax+b a,b R,a,b为常数 ，曲线y=f x 与直线y=切.

（1）求a,b的值；

（2）证明：当0<x<2时，f x <

3

x在 0,0 点相2

9x

x+6

（1）由y=f x 的图像过 0,0 点，代入得b=-1 由y=f x 在 0,0 处的切线斜率为

33 1 ，又y'x=0= a =+a，得a=0 2

x+1 x=02

（2）（证法一）由均值不等式，当x>0时，

记h x =f x -3

x

+1+1=x+2x

+1

2

9x1542+54+6x54

，则h'

x =

x+6x+1

x+6 22x+1 x+6 24+x1 x+6

2

x+6 -216 x+1 3

gx=x+6-216 x+1 ，则当0<x<2时， =，令 2

4 x+1 x+6 g' x =3 x+6 -216<0

因此g x 在 0,2 内是减函数，又由g 0 =0，得g x <0，所以h' x <0

因此h x 在 0,2 内是减函数，又由h 0 =0，得h x <0，于是当0<x<2时，f x <（证法二）

由（1）知f x

=ln x+1 ，由均值不等式，当x>0时，

2

9x

x+6

x

+1+1=x+2，故

x+1

2

令k x =ln x+1 -x，则k 0 =0,k' x =当x>0时，f x <

1-x

-1=<0，故k x <0，即ln x+1< x，由此得，x+1x+1

3

x，记h x = x+6 f x -9x，则当0<x<2时， 2

3 1

h' x =f x + x+6 f' x -9<x+

x+6 -9 2 x+1=

1 1 x

3x x+1 +

x+6 -18 x+1 <3xx+1+x+63+-18x+1 2x+1 2x+1 2

=

x

7x-18 <0

4x+19x

x+6

因此h x 在 0,2 内是减函数，又由h 0 =0，得h x <0，即f x <22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，O和O'相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：

（I）ACBD=ADAB； （II）AC=AE 证明：（1）由AC与O相切于A，得 CAB= ADB，同理 ACB= DAB，

ACAB

=，即ACBD=ADAB ADBD

（2）由AD与O相切于A，得 AED= BAD，又 ADE= BDA，得 EAD

AEAD

=从而，即AEBD=ADAB，综合（1）的结论，AC=AE ABBD

所以 ACB

DAB。从而

ABD

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

2

在直角坐标系xOy中，圆C1:x2+y2=4，圆C2: x-2 +y=4

2

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程

圆C1的极坐标方程为 =2，圆C2的极坐标方程为 =4cos ， 解

=2

得 =2, = ，故圆C1与圆C2交点的坐标为 2, , 2,-

3 3 3 =4cos

注：极坐标系下点的表示不唯一

x= cos

（2）（解法一）由 ，得圆C1与圆C

2交点的直角坐标为,

y= sin

故圆C1与圆C

2的公共弦的参数方程为

x=1 x=1

y

y=t y=y

（解法二） 将x=1代入

x= cos 1

，得 cos =1，从而 =

cos y= sin

x=1 -

3 y=tan 3

于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知f x =ax+1 a R ，不等式f x 3的解集为x-2 x 1 （1）求a的值 （2）若f x -2f

x

k恒成立，求k的取值范围 2

（1）由ax+ 3得-4 ax 2，又f x 3的解集为x-2 x 1，所以 当a 0时，不合题意 当a>0时，-

42

x ，得a=2 aa

1,x -1

1 x

（2）记h x =f x -2f ，则h x = -4x-3,-1<x<-，

2 2

1 -1,x - 2

所以h x 1，因此k 1

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