三角函数知识点总结

高一必修四：三角函数

一 任意角的概念与弧度制

（一）角的概念的推广

1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180|οββ

终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+?=,90180|οοββ

终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ

(4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+

(5)与α终边反向的角： (21)x k απ=++

终边在直线y =x 上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180|οοββ

终边在直线x y -=上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|οοββ

(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180

(7)成特殊关系的两角

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360

若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk

注：(1)角的集合表示形式不唯一.

(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.

3、本节主要题型：

1.表示终边位于指定区间的角.

例1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角.

例2:若α是第二象限的角,则2,2α

α是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.

例3:①写出终边在y 轴上的集合.

②写出终边和函数y x =-的图像重合,试写出角α 的集合.

③α在第二象限角,试确定2,,23αα

α所在的象限.

④θ角终边与168?角终边相同,求在[0,360)??内与3θ终边相同的角.

（二）弧度制

1、弧度制的定义：l R

α= 2、角度与弧度的换算公式：

360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

一个式子中不能角度,弧度混用.

3、题型

（1）角度与弧度的互化

例:74315,330,,63ππ??

（2）L R α=，211,22

l r s lr r αα===的应用问题 例1:已知扇形周长10cm ,面积24cm ,求中心角.

例2:已知扇形弧度数为72?,半径等于20cm ,求扇形的面积.

例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.

例4:121237570,750,,53ααβπβπ=-?=?==-

a.求出12,αα弧度,象限.

b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-??之间找出，他们有相同终边的所有角.

二 任意角三角函数

（一）三角函数的定义

1、任意角的三角函数定义

正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切x y =αtan 2三角函数

定义域 =)(x f sin x

R =)(x f cos x R

=

)

(x f tan x ?

?????∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且

（二）单位圆与三角函数线

1、单位圆的三角函数线定义

如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)AT 表示α角的正切值，叫做正切线。

注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负

（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式

(1) 商数关系：αα

αtan cos sin = (2) 平方关系：1cos sin 22=+αα

（四）诱导公式(重点)（奇变偶不变，符号看象限）

1.x x k x x k x x k tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+=+πππ222

2.x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-

3.x

x x x x

x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-πππ222

4..x

x x

x x

x tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+πππ 5.x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-πππ

三 三角函数的图像与性质

（一）基本图像：

1．正弦函数 ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-

2．余弦函数

3．正切函数

（二）、函数图像的性质

正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域 R

R

{}

|1

2

x x R x k ππ∈≠+且

值域 ]1,1[+-

]1,1[+-

R 周期 π2 π2

π 奇偶

奇函数 偶函数

奇函数 单调

]

,

[ππ

ππ

k k 22

22

++-

上为增函数

],[ππ

ππ

k k 22

322++ 上为减函数(Z k ∈)

()],[ππk k 212- 上为增函数

()],[ππ122+k k 上为减函数(Z k ∈)

?

??

??++-ππππk k 22,

上为增函数

(Z k ∈) 无单调递减区间

x y tan =x

y cos =x

y sin =

（三）、常见结论：

1.x y sin =与x y cos =的周期是π.

2.)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ωπ

2=T . 3.2

tan x y =的周期为2π. 4.)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2π

π+=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；

)cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈)，对称中心(0,2

1ππ+k )； )tan(?ω+=x y 的对称中心(

0,2πk ). 5.当αtan ·

,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα； αta n ·tan 1,β=-()2k k Z π

αβπ-=+∈

6.函数x y tan =在R 上为增函数.(×)

[只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的.]

7.奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有00=)(f .(x ?0的定义域，则无此性质)

8. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数(π=T )；

x y cos =是周期函数(如图)；x y cos =为周期函数(π=T )；

212cos +=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

四 和角公式

两角和与差的公式（重点） βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ β

αβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 五 倍角公式和半角公式

（一）倍角（重点）与半角公式（无需记忆）： αααcos sin 22sin = 2

cos 12sin αα

-±= α

αααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2

cos 12cos αα

+±= α

α

α2tan 1tan 22tan -=

sin 1cos tan 21cos sin α

αααα-===+

y=cos |x|图象

y=|cos2x +1/2|图象

（二）万能公式（无需记忆）：

2tan 12tan

2sin 2α

αα+=

2tan 12tan 1cos 22ααα+-=2

tan 12tan 2tan 2ααα-=

六 三角函数的积化和差与和差化积公式

()()()()()()()()1sin cos sin sin 21cos sin sin sin 21cos cos cos cos 21sin sin cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

++-???

?=+--????=++-???

?=-+--???? sin sin 2sin

cos 22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos

sin 22αβαβαβ+--=cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-

七 特殊角函数值 42675cos 15sin -==οο, 4

2615cos 75sin +==οο, 3275cot 15tan -==οο, 3215cot 75tan +==οο

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