复数三角形式解答题

复数三角形式解答题

1、若复数z满足z?1z?1，当复数z的辐角为300时，求复数z的模。

z2?z?42、已知复数z?1?3i, 求复数的辐角的主值.

2?z

3、设z满足z?1?1,argz?1??，求z.

z2z3

4、已知向量OP的模|OP|＝r，幅角为?，求：(1)点P的坐标；(2)如果直线OP

分别交直线x＝r与y＝r于T、S两点，点T、S的坐标分别是多少？

5、已知复数z?2?3i,

z是z的共轭复数,求复数u?z?iz的辐角主值.

6、设0

数u的辐角主值argu.

7、设|z|=1，z5＋z=1，求复数z的值。

8、复数z的模是1且z2＋2z＋1是负实数，求z.

z

9、已知复数z满足zz－2iz=3－2ai(a∈R),且?

2 ?argz??，求a的取值范围。

10、已知：?0,?1,?2,…,?n?1是非零复数z=r(cosθ

根(n?3),

(1)求证： ?0,?1,?2,…,?n?1组成等比数列; (2)求和sn=?0+?1??2?…+?n?1; (3)求积：T=?0??1??2?…??n?1.

+isinθ)的n个不同的n次方

11、设复数z1?

3?i,z2?r(cos??isin?),其中r?0,??(0,?),z3?z1?z2,

若z1?z3?r?1,求r和?的取值范围.

12、若??

1?i是z的五次方根，求z其余的五次方根 2?2i13、设z+4=2,求

z

1的三角形式。 2z14、设f(z)=z100＋z50＋1，求f(?

22?i). 2215、将z?

3?sin??cos??2icos(??)化为三角形式。

6?

16、将下列复数代数式化为三角式：

（1）?1?3i； （2）ai (a?R).

17、将下列复数代数式化为三角式：

（1）?cos

?5?isin?5； （2）sin??icos?.

18、将下列复数代数式化为三角式：

（1）sin

119、已知复数z1=?231i,z2=cos30o－isin30o,z2是z2的共轭复数，且=z1·z2，2z5?5??icos； （2）1?cos??isin? ??[0,2?). 77求复数z的代数形式。

20、已知复数z1z2满足|z1|=3，|z2|=5，|z1-z2|=7，求

z1的值。 z2w2?2(w?i)321、复数w的辐角主值是?，且为一实数，求复数w.

4w

22、设z=cos?＋isin?，求z3＋z?3.

23、已知A、B、C是ΔABC的三个内角，三个复数z=1－cos2A＋isin2A,z=1

1

2

－cos2B＋isin2B,z3=1－cos2C＋isin2C,试求

z1?z2?z3的值。

sin2A?sin2B?sin2C

24、复数?1?cos2?5

?isin2?的辐角主值是多少. 525、已知复数z满足条件|z＋a|≤1，其中常数a为正实数.

z(1)试证

4a?1?1?z?24a?1?1； 2(2)当a=1时，试确定复数z的辐角主值的取值范围.

26、已知复数z满足(z＋1)(z＋1)=|z|2，且z?1是纯虚数.

z?1(1)求z；(2)求z的辐角主值.

27、已知z1=1+i,|z2|=2,argz2∈[?

122,?],求|z1+z22|的最值。

28、已知复数z满足等式

z?11?＝，且argz?，求z z261?(z)43?|?|?29、设复数z?cos??isin?(0????),??,并且,,arg??431?z2求θ.

30、复数z满足zz?2iz?3?ai(a?R)，且???2?argz??，求a的取值范围。

31、满足z?5是实数,且z+3的辐角主值是3?z虚数z;若不存在,说明理由.

4的虚数z是否存在?若存在,求出

w2?2(w?i)332、复数w的辐角主值是?，且为一实数，若复数

4w

z=cos?+isin?(0≤?＜2?),求|z－w|的最大值、最小值。

33、设复数z?log2(cos??1)?ilog2(sin??1)求?，使：

22（1）z为实数；（2）z纯虚数；（3）z在复平面内的对应点在第二象限； （4）z的实部与虚部相等.

34、已知复数z=a＋bi(a,b?R)的三角形式是r(cos?＋isin?),试写出下列各复数

的三角形式.(1)z1=－a＋bi. (2)z2=－a－bi. (3)z3=a－bi.

35、已知z=a＋bi(a?0,b?0,a,b?R),试求复数z的辐角主值argz.

36、已知复数z=(2k2－3k－2)＋i(3k2＋k－2)的辐角主值是5?4

,求实数k.

37、已知z1，z2?C，z1，z2?0，且满足z12-z1z2＋z22=0

(1)证明|z1|=|z2|，并求z1，z2对应向量OZ1与OZ2所在直线的夹角； (2)若令z2=1＋mi，且z1＋z2的辐角主值是

???????，试确定实数m的值。 438、设O是复平面的原点,Z1,Z2是单位圆上的它们分别对应复数z1和z2,若z1,z2

11的辐角主值分别是?,?且△OZ1Z2的重心所对应的复数是?i,试求tg(?＋

315?)的值.

39、设虚数z1,z2满足z12 = z2.

(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.

(2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为?,求?的取值范围.

40、把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转?4和

5?后,重合3于向量OM且模相等,已知z2=－1－3i,求复数z1的代数式和它的辐角主值.

41、已知k∈R, 复数z = cosθ

+isinθ.

(1) 当k 和θ分别为何值时, 复数z3+kz3 是纯虚数 ; (2) 当θ变化时, 求出| z3+kz3 | 的最大值和最小值.

42、已知辐角分别为θ

1 , θ2的复数z1 , z2 满足条件：z1 + z2 = 5i , | z1 z2 | = 14 .

试求cos (θ1－θ2)的最大值及最小值, 并求取得最小值时的z1 , z2 的值.

(1?4i)(1?i)?2?4i43、设??z?ai,其中a实数,i是虚数单位,z?,且|?|?2，

3?4i求?的辐角主值θ的取值范围

44、将下列复数化成三角形式：5－12i.

45、

下面复数化为三角形式：（1）2(cos?isin);（2）2(?cos?isin).

5555

?????46、将下面复数化为三角形式：（1）?2(cos

?isin)；（2）2(sin?icos). 5555???47、将复数化成三角形式：z??

3?i.

???0?arg(z?1)?48、复平面内，根据要求作出复数z的对应点所构成的图形：?4

?R(z)?2?

49、已知复数1?cos??isin?,(??????),

(1)求|z|及argz；(2)要使1?|z|?2,求?的取值范围.

50、已知复数z1、z2分别对应复平面上的点Z1、Z2，且z1、z2满足条件：z2=

－az1i(a∈R＋)，|z1|＋|z2|＋|z1－z2|=10.

(1)当a为何值时，△Z1OZ2的面积取得最大值？并求出这个最大值； (2)当△Z1OZ2面积取得最大值时，求动点Z1的轨迹.

51、设0＜θ

＜2π，复数z=1－cosθ－isinθ，u=a2＋ai，且积zu是纯虚数，

a∈R.

（1）求复数u的辐角主值argu（用只含θ的代数式表示）； （2）记ω=z＋u，试问ω可能是实数吗？为什么？

52、函数y=x2－4px－2的图像经过点M(tg?,1)及N(tg?,1),

求2cos2?cos2?+psin2(?+?)+2sin2(?－?)的值.

53、设二次方程x2＋2px＋4=0的两个虚根为?、?,且在复平面上?,?,2的对

应点组成正三角形.试求实数p的值.

复数三角形式解答题 〈答案〉

1、

解：设z=r(cos300+isin300)，代入

s0?isin300)? r?(co301r(co30s?isin30)00?1，得r?1.

2、

z2?z?4(1?3i)2?(1?3i)?41?3i13解： ?????i

2?z222?(1?3i)1?3iz2?z?42所以复数辐角的主值为?

2?z3

3、

解：由已知得

z?11??113133?(cos?isin)，即1???i，??i，

z44z44z233 z=

43?(3?i)?3(3?i). 34、

P点(rcos?，rsin?)；T点(r，rtan?)，S点(rcot?，r)

5、

3? 4

6、

? 2

7、

z=

13?i. 228、

1313z1=-1，z2=-?i，z3-?i.

2222

9、

－3＜a＜0

10、

(1)

?k?12?2??cos?isin为定值;(2)0;(3)当n为奇数时,T=r(cos?+isin?);当n为?knn偶数时,T=r?[cos(?+?)+isin(?+?)].

11、

1??r?3,0???. 33

12、

1??15519?9?(cos?isin)、(cos??isin?)、(cos?isin)、 2101021010210101131311717(cos??isin?)、(cos??isin?). 2101021010

13、

122144(cos??isin?)或(cos??isin?) 433433

14、

∵z??225?5??i?cos?isin 2244∴z50?(cos∴f(?

5?5??isin)50?i 则i100=－1 4422?i)=－1＋i＋1=i. 2215、

5?5?2[cos(??)?isin(??)]

33

16、

134?4?i)?2(cos?isin)； 解：（1）?1?3i=2(??2233（2）当a≥0时 ai?a(cos?isin)

223?3? 当a＜0时 ai??a(cos?isin).

22

??17、

解 （1）?cos?5?isin???4?4?=cos(； ??)?isin(??)?cos?isin55555?? （2）sin??icos?=cos(??)?isin(??).

22

18、

解 （1）sin5?5?3?3?3?3?； ?icos=cos(?)?isin(?)?cos?isin7714141414（2）1?cos??isin?=2cos2 当0????时 0??2?i?2sin?2?cos??2cos(cos?isin)

2222????2??,cos?0

22? ∴1?co?s?isin??2cos?(cos?isin) 222 当????2?时

????2????,cos?0 22? ∴1?co?s?isin???2cos(?cos?isin)

222 =?2cos[cos(??)?isin(??)].

222

??????19、

z=

31?i 2220、

-

333?i 101021、

w=1+i

22、

2cos3?

23、

2i

24、

?1?cos2?2?????isin??2sin2?i?2sin?cos， 555552sin??????????????????sin?icos??2sin?cos????isin????5?55?5??25??25????7?7?cos?isin?5?1010?? ??2sin∴由三角形式得辐角主值为

7?. 1025、

（1）设z=r(cos?＋isin?) (r＞0，0≤?＜2π)，代入已知条件不等式得

aa(r?)cos??i(r?)sin??1，

rra2a2a2222∴(r?)cos??(r?)sin??1，即r?2?1?2acos? ①

rrra2∵－cos2?≤1，∴r?2?1?2a.即r4－(1＋2a)r2＋a2≤0.

r2?4a?1?1??4a?1?1??4a?1?1?4a?1?12????? ?r???z??解得?.故????2222??????22

11111－(r2＋2)≤－1≤－. 2222r2?4?2??∴2kπ＋≤2?＜2kπ＋，即kπ＋≤?＜kπ＋(k为整数).

33332?4?5??故当k=0、1时，有≤?＜或≤?＜.

3333

（2）在①式中取a=1，得cos2?≤

26、

由(z＋1)(z＋1)=|z|2得zz＋z＋z＋1=|z|2. ∵zz=|z|2，∴z＋z＋1=0，∴z＋z=－1， 由

z?1z?1z?1z?1z?1)?()?0,???0， 是纯虚数得(z?1z?1z?1z?1z?1∴

zz?z?z?1?zz?z?z?1?0，∴2zz=2，∴zz=1.

(z?1)(z?1)1313i，所以z???i. 于是z，z是方程x2＋x＋1=0的两根，解得x???222213132?4?i时，i时，当z???z的辐角主值为；当z???z的辐角主值为. 222233

27、

|z1+z22|max=4+2, |z1+z22|min=10

28、

设z?r(cos??31?isin)?r?ri(r?0)， 662231r?1?ri22z3r22(r?1)?24即3r2?43r?4?0.

r?1z?1??2z?

解得r?

23,?z?1?3i 329、

解：

1?cos(?4?)?isin(?4?)2sin22??2isin2?cos2?????tg2?(sin4??icos4?)

1?cos4??isin4?2cos22??2isin2?cos2?|?|?|tg2?|·|sin4??icos4?|=|tg2?|?33,tg2??? 33因0＜θ＜π,故有 (1)当tg2??3?7?时,得??或??, 31212这时都有????3????,得 arg???,适合题意. cos?isin??623?66?35?11?时,得??或??,这时都有 31212(2) 当tg2?????11??3?11?11??,得 arg???,不适合题意,舍去. cos?isin??623?66?综合(1),(2)知??

?12或??7?. 1230、

a?(|z|2?3)ia3?|z|2i. 由zz?2iz?3?ai，解得z?，?z??222??????a?0?argx??，??2. 2?|z|?32a2(3?|z|2)2?又|z|?，?a2??|z|4?10|z|2?9??(|z|2?5)2?16. 44?|z|2?3，?a2?12.??23?a?0.

31、

解： 设z?a?bi(a,b?R且b?0),则

z?555a5b??a?bi??a?2?b??za?bia?b2?a2?b2??i ?55a∵z??R, ∴b?2?0 2za?b22

∵b≠0, ∴a+b=5

又z?3?a?3?bi的辐角主值为

3?, ∴a+3=－b. 4?a??1把a+3=－b与a2+b2=5联立解之,得 ? 或

?b??2∴z??1?2i 或 z??2?i,

此时z?3?2?2i或z?3?1?i的辐角主值均为∴满足条件的虚数z不存在.

?a??2, ??b??17?. 432、

最大值是2+1,最小值是2－1

33、

(1)??2k??(3)2k??

?6,(k?Z); (2)??2k???3,(k?Z);

?3???2k??2??,(k?Z); (4)??2k??,(k?Z). 3434、

解：z1=－a＋bi=r·(－cos?＋isin?)=r·[cos(?－?)＋isin(?－?)].

z2=－a－bi=r(－cos?－isin?)=r·[cos(?＋?)＋isin(?＋?)]. z3=a－bi=r·(cos?－isin?)=r·[cos(2?－?)＋isin(2?－?)].

35、

解：设z=a＋bi,在复平面上对应的点为Z. 当a＞0,b＞0时,Z在第一象限：argz=arctg

b. ab. ab当a＜0,b＜0时,Z在第三象限：argz=?＋arctg.

ab当a＞0,b＜0时,Z在第四象限：argz=2?＋arctg.

a

当a＜0,b＞0时,Z在第二象限：argz=?＋arctg

36、

??2k2?3k?2?0(1)由(1)?1?k?2?2?解：依题意有：?3k2?k?2?0(2)由(2)?1?k?解得k=0.

3?2?3k?k?2?tg5?(3)由k(k?4)?0.?4?2k2?3k?2

37、

(1)

?；(2)2?3. 338、

由题意可设z1=cos?＋isin?,z2=cos?＋isin?

111111由已知(z1＋z2＋0)=?i即[cos?＋cos?]＋i(sin?＋sin?)]=?i

3315331512????15?5. ?，∴tg(?＋?)=由复数相等,化积后两式相除得tg

112251?()25

39、

解(1)∵z1,z2为实系数方程的两个根∴z2=z且|z2|=z1又z12=z2=z∴

3z1?z1?z1?z1 ∵|z1|2=|zi|=|z1| ∴|z1|=1 ∴z1=－

21313?i z2=－?i或 2222z1=－

1313?i z2=－?i 2222(2)由z1=1＋mi(m＞0), z12 = z2得z2=(1－m2)＋2mi ∴w=－(1＋m2)＋2mi tg?=－

2m21?? ∵m＞0 m＋≥2 21m1?mm?m∴－1≤tg?＜0 又由－(m2＋1)＜0 2m＞0得∴所求?的取值范围为[

3?≤?＜? 43?,?). 440、

解：由复数乘法的几何意义得

5?5???z1(cos＋isin)=z2(cos＋isin)

33444?4?又z2=－1－3i =2(cos＋isin),

334?4?5?5?2(cos?isin)?(cos?isin)3333=2[cos(3?－?)＋isin(3?－?)] ∴z1=

??44cos?isin443?=－2＋2i,z1的辐角主值为.

4

41、

(1) 当 k = －1 , θ≠z3+kz3 是纯虚数 ;

(2) 当 k ≥0 时, 最大值 1 + k , 最小值| 1－k | ; 当 k ＜0 时, 最大值 1－ k , 最小值| 1 + k | .

n?n?? ( n ∈Z ) 或 k ≠1 , θ= + ( n ∈Z ) 时, 336

42、

最大值?

3, 最小值 －1. 取得最小值时, z1 = 7i , z2 = －2i 或z1 =－2i , z2 = 7i . 2843、

解： z=1－i,因为??1?(a?1)i,|?|?2, 所以1?(a?1)2?2, 解得 0≤a≤2 又由??1?(a?1)i,得tgθ=a－1,因此－1≤tgθ≤1

????7??所以θ的取值范围是?0,???,2??.

?4??4?

44、

如图，

55∵r?13,cos??,???arccos，

131355∴5－12i?13[cos(?arccos)?isin(?arccos)].

1313

45、

??????（1）2(cos?isin)＝2[cos()?isin()];

5555??4?4?（2）2(?cos?isin)＝2(cos?isin).

5555

46、

??6?6?（1）?2(cos?isin)＝2(cos?isin)；

5555

（2）2(sin

??3?3??icos)＝2(cos?isin). 55101047、

解：如图，

∵r?2,cos???

35?5?5?,??.∴－3?i?2(cos?sin). 266648、

49、

(1)当0????时，|z|?2sin,argz??,

222?3?? 当?????0时，|z|??2sin,argz??,

222 当??0时，|z|?0,argz?[0,2?), (2)?

????2?????3 或

?3????2.

50、

由已知z2=－az1i（a∈R＋），∴

z2??ai，∴∠Z1OZ2=90°，且|z2|=a|z1|， z1

设z1=x＋yi(x，y∈R)，∴z2=－ai(x＋yi)=ay－axi， z1－z2=(x＋yi)－(ay－axi)=(x－ay)＋(y＋ax)i, 由已知|z1|＋|z2|＋|z1－z2|=10，得

x2?y2?ax2?y2?1?a2x2?y2?10.?x?y?22101?a?1?a2,即z1?101?a?1?a2

S△Z1OZ2=

11150a|z1||z2|=|z1||az1|=a|z1|2=

22222(1?a?1?a)(1?a?1?a2)2令u?∵a∈R＋，u＞0，

a∴u?1?a?1?a2a， ∴au?1?a?1?a2，

∴au－1?a?1?a2两边平方得，

au＋1+a2－2au－2aau＋2a=1＋a2，化简得 au＋2a=2(a＋1)

au，两边平方得，

a2u2＋4a2u＋4a2=4a3u＋8a2u＋4au，∵a∈R＋，a≠0， 整理得4ua2－(u2－4u＋4)a＋4u=0 ①

∵a∈R＋，∴△≥0，且a＞0，△=(u2－4u＋4)2－(8u)2=(u2＋4u＋4) (u2－12u＋4)≥0，

∵u2＋4u＋4=(u＋2)2，∵u＞0，∵u2＋4u＋4＞0. ∴u2－12u＋4≥0，∴u≤6－42，或u≥6＋42. ∴

16-4 2?115050a?,∴≤=25(3－22)

22u6?4 26?4 2(1?a?1?a)式中等号，当u=6＋42时成立，当u=6＋42时，方程①化为a2－2a＋1=0，即（a－1）2=0，∴a=1与a∈R＋相符.

∴当a=1时，△Z1OZ2的面积取得最大值为25(3－22).

（2）当S△Z1OZ2取得最大值时，a=1，由已知z2=－az1i，∴z2=－z1i， ∴|z2|=|z1|，z1－z2=z1＋z1i=（1＋i）z1，∴|z1－z2|=|1＋i||z2|=2|z1| ∵|z1|＋|z2|＋|z1－z2|=10，∴|z1|＋|z2|＋2|z1|=10，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d14d.html