复数三角形式解答题
更新时间:2023-09-27 08:37:01 阅读量: 综合文库 文档下载
复数三角形式解答题
1、若复数z满足z?1z?1,当复数z的辐角为300时,求复数z的模。
z2?z?42、已知复数z?1?3i, 求复数的辐角的主值.
2?z
3、设z满足z?1?1,argz?1??,求z.
z2z3
4、已知向量OP的模|OP|=r,幅角为?,求:(1)点P的坐标;(2)如果直线OP
分别交直线x=r与y=r于T、S两点,点T、S的坐标分别是多少?
5、已知复数z?2?3i,
z是z的共轭复数,求复数u?z?iz的辐角主值.
6、设0,复数z=1-cos?+isin?,u=a2+ai,且z,u是纯虚数(a?R),求复
数u的辐角主值argu.
7、设|z|=1,z5+z=1,求复数z的值。
8、复数z的模是1且z2+2z+1是负实数,求z.
z
9、已知复数z满足zz-2iz=3-2ai(a∈R),且?
2 ?argz??,求a的取值范围。
10、已知:?0,?1,?2,…,?n?1是非零复数z=r(cosθ
根(n?3),
(1)求证: ?0,?1,?2,…,?n?1组成等比数列; (2)求和sn=?0+?1??2?…+?n?1; (3)求积:T=?0??1??2?…??n?1.
+isinθ)的n个不同的n次方
11、设复数z1?
3?i,z2?r(cos??isin?),其中r?0,??(0,?),z3?z1?z2,
若z1?z3?r?1,求r和?的取值范围.
12、若??
1?i是z的五次方根,求z其余的五次方根 2?2i13、设z+4=2,求
z
1的三角形式。 2z14、设f(z)=z100+z50+1,求f(?
22?i). 2215、将z?
3?sin??cos??2icos(??)化为三角形式。
6?
16、将下列复数代数式化为三角式:
(1)?1?3i; (2)ai (a?R).
17、将下列复数代数式化为三角式:
(1)?cos
?5?isin?5; (2)sin??icos?.
18、将下列复数代数式化为三角式:
(1)sin
119、已知复数z1=?231i,z2=cos30o-isin30o,z2是z2的共轭复数,且=z1·z2,2z5?5??icos; (2)1?cos??isin? ??[0,2?). 77求复数z的代数形式。
20、已知复数z1z2满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求
z1的值。 z2w2?2(w?i)321、复数w的辐角主值是?,且为一实数,求复数w.
4w
22、设z=cos?+isin?,求z3+z?3.
23、已知A、B、C是ΔABC的三个内角,三个复数z=1-cos2A+isin2A,z=1
1
2
-cos2B+isin2B,z3=1-cos2C+isin2C,试求
z1?z2?z3的值。
sin2A?sin2B?sin2C
24、复数?1?cos2?5
?isin2?的辐角主值是多少. 525、已知复数z满足条件|z+a|≤1,其中常数a为正实数.
z(1)试证
4a?1?1?z?24a?1?1; 2(2)当a=1时,试确定复数z的辐角主值的取值范围.
26、已知复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2,且z?1是纯虚数.
z?1(1)求z;(2)求z的辐角主值.
27、已知z1=1+i,|z2|=2,argz2∈[?
122,?],求|z1+z22|的最值。
28、已知复数z满足等式
z?11?=,且argz?,求z z261?(z)43?|?|?29、设复数z?cos??isin?(0????),??,并且,,arg??431?z2求θ.
30、复数z满足zz?2iz?3?ai(a?R),且???2?argz??,求a的取值范围。
31、满足z?5是实数,且z+3的辐角主值是3?z虚数z;若不存在,说明理由.
4的虚数z是否存在?若存在,求出
w2?2(w?i)332、复数w的辐角主值是?,且为一实数,若复数
4w
z=cos?+isin?(0≤?<2?),求|z-w|的最大值、最小值。
33、设复数z?log2(cos??1)?ilog2(sin??1)求?,使:
22(1)z为实数;(2)z纯虚数;(3)z在复平面内的对应点在第二象限; (4)z的实部与虚部相等.
34、已知复数z=a+bi(a,b?R)的三角形式是r(cos?+isin?),试写出下列各复数
的三角形式.(1)z1=-a+bi. (2)z2=-a-bi. (3)z3=a-bi.
35、已知z=a+bi(a?0,b?0,a,b?R),试求复数z的辐角主值argz.
36、已知复数z=(2k2-3k-2)+i(3k2+k-2)的辐角主值是5?4
,求实数k.
37、已知z1,z2?C,z1,z2?0,且满足z12-z1z2+z22=0
(1)证明|z1|=|z2|,并求z1,z2对应向量OZ1与OZ2所在直线的夹角; (2)若令z2=1+mi,且z1+z2的辐角主值是
???????,试确定实数m的值。 438、设O是复平面的原点,Z1,Z2是单位圆上的它们分别对应复数z1和z2,若z1,z2
11的辐角主值分别是?,?且△OZ1Z2的重心所对应的复数是?i,试求tg(?+
315?)的值.
39、设虚数z1,z2满足z12 = z2.
(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.
(2)若z1=1+mi(m>0,i为虚数单位)w=z2-2,w的辐角主值为?,求?的取值范围.
40、把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转?4和
5?后,重合3于向量OM且模相等,已知z2=-1-3i,求复数z1的代数式和它的辐角主值.
41、已知k∈R, 复数z = cosθ
+isinθ.
(1) 当k 和θ分别为何值时, 复数z3+kz3 是纯虚数 ; (2) 当θ变化时, 求出| z3+kz3 | 的最大值和最小值.
42、已知辐角分别为θ
1 , θ2的复数z1 , z2 满足条件:z1 + z2 = 5i , | z1 z2 | = 14 .
试求cos (θ1-θ2)的最大值及最小值, 并求取得最小值时的z1 , z2 的值.
(1?4i)(1?i)?2?4i43、设??z?ai,其中a实数,i是虚数单位,z?,且|?|?2,
3?4i求?的辐角主值θ的取值范围
44、将下列复数化成三角形式:5-12i.
45、
下面复数化为三角形式:(1)2(cos?isin);(2)2(?cos?isin).
5555
?????46、将下面复数化为三角形式:(1)?2(cos
?isin);(2)2(sin?icos). 5555???47、将复数化成三角形式:z??
3?i.
???0?arg(z?1)?48、复平面内,根据要求作出复数z的对应点所构成的图形:?4
?R(z)?2?
49、已知复数1?cos??isin?,(??????),
(1)求|z|及argz;(2)要使1?|z|?2,求?的取值范围.
50、已知复数z1、z2分别对应复平面上的点Z1、Z2,且z1、z2满足条件:z2=
-az1i(a∈R+),|z1|+|z2|+|z1-z2|=10.
(1)当a为何值时,△Z1OZ2的面积取得最大值?并求出这个最大值; (2)当△Z1OZ2面积取得最大值时,求动点Z1的轨迹.
51、设0<θ
<2π,复数z=1-cosθ-isinθ,u=a2+ai,且积zu是纯虚数,
a∈R.
(1)求复数u的辐角主值argu(用只含θ的代数式表示); (2)记ω=z+u,试问ω可能是实数吗?为什么?
52、函数y=x2-4px-2的图像经过点M(tg?,1)及N(tg?,1),
求2cos2?cos2?+psin2(?+?)+2sin2(?-?)的值.
53、设二次方程x2+2px+4=0的两个虚根为?、?,且在复平面上?,?,2的对
应点组成正三角形.试求实数p的值.
复数三角形式解答题 〈答案〉
1、
解:设z=r(cos300+isin300),代入
s0?isin300)? r?(co301r(co30s?isin30)00?1,得r?1.
2、
z2?z?4(1?3i)2?(1?3i)?41?3i13解: ?????i
2?z222?(1?3i)1?3iz2?z?42所以复数辐角的主值为?
2?z3
3、
解:由已知得
z?11??113133?(cos?isin),即1???i,??i,
z44z44z233 z=
43?(3?i)?3(3?i). 34、
P点(rcos?,rsin?);T点(r,rtan?),S点(rcot?,r)
5、
3? 4
6、
? 2
7、
z=
13?i. 228、
1313z1=-1,z2=-?i,z3-?i.
2222
9、
-3<a<0
10、
(1)
?k?12?2??cos?isin为定值;(2)0;(3)当n为奇数时,T=r(cos?+isin?);当n为?knn偶数时,T=r?[cos(?+?)+isin(?+?)].
11、
1??r?3,0???. 33
12、
1??15519?9?(cos?isin)、(cos??isin?)、(cos?isin)、 2101021010210101131311717(cos??isin?)、(cos??isin?). 2101021010
13、
122144(cos??isin?)或(cos??isin?) 433433
14、
∵z??225?5??i?cos?isin 2244∴z50?(cos∴f(?
5?5??isin)50?i 则i100=-1 4422?i)=-1+i+1=i. 2215、
5?5?2[cos(??)?isin(??)]
33
16、
134?4?i)?2(cos?isin); 解:(1)?1?3i=2(??2233(2)当a≥0时 ai?a(cos?isin)
223?3? 当a<0时 ai??a(cos?isin).
22
??17、
解 (1)?cos?5?isin???4?4?=cos(; ??)?isin(??)?cos?isin55555?? (2)sin??icos?=cos(??)?isin(??).
22
18、
解 (1)sin5?5?3?3?3?3?; ?icos=cos(?)?isin(?)?cos?isin7714141414(2)1?cos??isin?=2cos2 当0????时 0??2?i?2sin?2?cos??2cos(cos?isin)
2222????2??,cos?0
22? ∴1?co?s?isin??2cos?(cos?isin) 222 当????2?时
????2????,cos?0 22? ∴1?co?s?isin???2cos(?cos?isin)
222 =?2cos[cos(??)?isin(??)].
222
??????19、
z=
31?i 2220、
-
333?i 101021、
w=1+i
22、
2cos3?
23、
2i
24、
?1?cos2?2?????isin??2sin2?i?2sin?cos, 555552sin??????????????????sin?icos??2sin?cos????isin????5?55?5??25??25????7?7?cos?isin?5?1010?? ??2sin∴由三角形式得辐角主值为
7?. 1025、
(1)设z=r(cos?+isin?) (r>0,0≤?<2π),代入已知条件不等式得
aa(r?)cos??i(r?)sin??1,
rra2a2a2222∴(r?)cos??(r?)sin??1,即r?2?1?2acos? ①
rrra2∵-cos2?≤1,∴r?2?1?2a.即r4-(1+2a)r2+a2≤0.
r2?4a?1?1??4a?1?1??4a?1?1?4a?1?12????? ?r???z??解得?.故????2222??????22
11111-(r2+2)≤-1≤-. 2222r2?4?2??∴2kπ+≤2?<2kπ+,即kπ+≤?<kπ+(k为整数).
33332?4?5??故当k=0、1时,有≤?<或≤?<.
3333
(2)在①式中取a=1,得cos2?≤
26、
由(z+1)(z+1)=|z|2得zz+z+z+1=|z|2. ∵zz=|z|2,∴z+z+1=0,∴z+z=-1, 由
z?1z?1z?1z?1z?1)?()?0,???0, 是纯虚数得(z?1z?1z?1z?1z?1∴
zz?z?z?1?zz?z?z?1?0,∴2zz=2,∴zz=1.
(z?1)(z?1)1313i,所以z???i. 于是z,z是方程x2+x+1=0的两根,解得x???222213132?4?i时,i时,当z???z的辐角主值为;当z???z的辐角主值为. 222233
27、
|z1+z22|max=4+2, |z1+z22|min=10
28、
设z?r(cos??31?isin)?r?ri(r?0), 662231r?1?ri22z3r22(r?1)?24即3r2?43r?4?0.
r?1z?1??2z?
解得r?
23,?z?1?3i 329、
解:
1?cos(?4?)?isin(?4?)2sin22??2isin2?cos2?????tg2?(sin4??icos4?)
1?cos4??isin4?2cos22??2isin2?cos2?|?|?|tg2?|·|sin4??icos4?|=|tg2?|?33,tg2??? 33因0<θ<π,故有 (1)当tg2??3?7?时,得??或??, 31212这时都有????3????,得 arg???,适合题意. cos?isin??623?66?35?11?时,得??或??,这时都有 31212(2) 当tg2?????11??3?11?11??,得 arg???,不适合题意,舍去. cos?isin??623?66?综合(1),(2)知??
?12或??7?. 1230、
a?(|z|2?3)ia3?|z|2i. 由zz?2iz?3?ai,解得z?,?z??222??????a?0?argx??,??2. 2?|z|?32a2(3?|z|2)2?又|z|?,?a2??|z|4?10|z|2?9??(|z|2?5)2?16. 44?|z|2?3,?a2?12.??23?a?0.
31、
解: 设z?a?bi(a,b?R且b?0),则
z?555a5b??a?bi??a?2?b??za?bia?b2?a2?b2??i ?55a∵z??R, ∴b?2?0 2za?b22
∵b≠0, ∴a+b=5
又z?3?a?3?bi的辐角主值为
3?, ∴a+3=-b. 4?a??1把a+3=-b与a2+b2=5联立解之,得 ? 或
?b??2∴z??1?2i 或 z??2?i,
此时z?3?2?2i或z?3?1?i的辐角主值均为∴满足条件的虚数z不存在.
?a??2, ??b??17?. 432、
最大值是2+1,最小值是2-1
33、
(1)??2k??(3)2k??
?6,(k?Z); (2)??2k???3,(k?Z);
?3???2k??2??,(k?Z); (4)??2k??,(k?Z). 3434、
解:z1=-a+bi=r·(-cos?+isin?)=r·[cos(?-?)+isin(?-?)].
z2=-a-bi=r(-cos?-isin?)=r·[cos(?+?)+isin(?+?)]. z3=a-bi=r·(cos?-isin?)=r·[cos(2?-?)+isin(2?-?)].
35、
解:设z=a+bi,在复平面上对应的点为Z. 当a>0,b>0时,Z在第一象限:argz=arctg
b. ab. ab当a<0,b<0时,Z在第三象限:argz=?+arctg.
ab当a>0,b<0时,Z在第四象限:argz=2?+arctg.
a
当a<0,b>0时,Z在第二象限:argz=?+arctg
36、
??2k2?3k?2?0(1)由(1)?1?k?2?2?解:依题意有:?3k2?k?2?0(2)由(2)?1?k?解得k=0.
3?2?3k?k?2?tg5?(3)由k(k?4)?0.?4?2k2?3k?2
37、
(1)
?;(2)2?3. 338、
由题意可设z1=cos?+isin?,z2=cos?+isin?
111111由已知(z1+z2+0)=?i即[cos?+cos?]+i(sin?+sin?)]=?i
3315331512????15?5. ?,∴tg(?+?)=由复数相等,化积后两式相除得tg
112251?()25
39、
解(1)∵z1,z2为实系数方程的两个根∴z2=z且|z2|=z1又z12=z2=z∴
3z1?z1?z1?z1 ∵|z1|2=|zi|=|z1| ∴|z1|=1 ∴z1=-
21313?i z2=-?i或 2222z1=-
1313?i z2=-?i 2222(2)由z1=1+mi(m>0), z12 = z2得z2=(1-m2)+2mi ∴w=-(1+m2)+2mi tg?=-
2m21?? ∵m>0 m+≥2 21m1?mm?m∴-1≤tg?<0 又由-(m2+1)<0 2m>0得∴所求?的取值范围为[
3?≤?<? 43?,?). 440、
解:由复数乘法的几何意义得
5?5???z1(cos+isin)=z2(cos+isin)
33444?4?又z2=-1-3i =2(cos+isin),
334?4?5?5?2(cos?isin)?(cos?isin)3333=2[cos(3?-?)+isin(3?-?)] ∴z1=
??44cos?isin443?=-2+2i,z1的辐角主值为.
4
41、
(1) 当 k = -1 , θ≠z3+kz3 是纯虚数 ;
(2) 当 k ≥0 时, 最大值 1 + k , 最小值| 1-k | ; 当 k <0 时, 最大值 1- k , 最小值| 1 + k | .
n?n?? ( n ∈Z ) 或 k ≠1 , θ= + ( n ∈Z ) 时, 336
42、
最大值?
3, 最小值 -1. 取得最小值时, z1 = 7i , z2 = -2i 或z1 =-2i , z2 = 7i . 2843、
解: z=1-i,因为??1?(a?1)i,|?|?2, 所以1?(a?1)2?2, 解得 0≤a≤2 又由??1?(a?1)i,得tgθ=a-1,因此-1≤tgθ≤1
????7??所以θ的取值范围是?0,???,2??.
?4??4?
44、
如图,
55∵r?13,cos??,???arccos,
131355∴5-12i?13[cos(?arccos)?isin(?arccos)].
1313
45、
??????(1)2(cos?isin)=2[cos()?isin()];
5555??4?4?(2)2(?cos?isin)=2(cos?isin).
5555
46、
??6?6?(1)?2(cos?isin)=2(cos?isin);
5555
(2)2(sin
??3?3??icos)=2(cos?isin). 55101047、
解:如图,
∵r?2,cos???
35?5?5?,??.∴-3?i?2(cos?sin). 266648、
49、
(1)当0????时,|z|?2sin,argz??,
222?3?? 当?????0时,|z|??2sin,argz??,
222 当??0时,|z|?0,argz?[0,2?), (2)?
????2?????3 或
?3????2.
50、
由已知z2=-az1i(a∈R+),∴
z2??ai,∴∠Z1OZ2=90°,且|z2|=a|z1|, z1
设z1=x+yi(x,y∈R),∴z2=-ai(x+yi)=ay-axi, z1-z2=(x+yi)-(ay-axi)=(x-ay)+(y+ax)i, 由已知|z1|+|z2|+|z1-z2|=10,得
x2?y2?ax2?y2?1?a2x2?y2?10.?x?y?22101?a?1?a2,即z1?101?a?1?a2
S△Z1OZ2=
11150a|z1||z2|=|z1||az1|=a|z1|2=
22222(1?a?1?a)(1?a?1?a2)2令u?∵a∈R+,u>0,
a∴u?1?a?1?a2a, ∴au?1?a?1?a2,
∴au-1?a?1?a2两边平方得,
au+1+a2-2au-2aau+2a=1+a2,化简得 au+2a=2(a+1)
au,两边平方得,
a2u2+4a2u+4a2=4a3u+8a2u+4au,∵a∈R+,a≠0, 整理得4ua2-(u2-4u+4)a+4u=0 ①
∵a∈R+,∴△≥0,且a>0,△=(u2-4u+4)2-(8u)2=(u2+4u+4) (u2-12u+4)≥0,
∵u2+4u+4=(u+2)2,∵u>0,∵u2+4u+4>0. ∴u2-12u+4≥0,∴u≤6-42,或u≥6+42. ∴
16-4 2?115050a?,∴≤=25(3-22)
22u6?4 26?4 2(1?a?1?a)式中等号,当u=6+42时成立,当u=6+42时,方程①化为a2-2a+1=0,即(a-1)2=0,∴a=1与a∈R+相符.
∴当a=1时,△Z1OZ2的面积取得最大值为25(3-22).
(2)当S△Z1OZ2取得最大值时,a=1,由已知z2=-az1i,∴z2=-z1i, ∴|z2|=|z1|,z1-z2=z1+z1i=(1+i)z1,∴|z1-z2|=|1+i||z2|=2|z1| ∵|z1|+|z2|+|z1-z2|=10,∴|z1|+|z2|+2|z1|=10,
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