数字电子技术授课讲义汇总

第一章 数字电路基础

§1.1概述

§1.1.1数字信号和数字电路 信号分为两类：模拟信号、数字信号

模拟信号：指在时间上和数值上都是连续变化的信号。如电视图像和伴音信号。

数字信号：指在时间上和数值上都是断续变化的离散信号。如生产中自动记录零件个数的计数信号。

模拟电路：对模拟信号进行传输和处理的电路 数字电路：对数字信号进行传输和处理的电路

uu模拟信号图t

t数字信号图

§1.1.2数字电路的特点

（1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。

（2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态（0和1）和输出信号的状态（0和1）之间的关系。对于电路本身有分析电路和设计电路两部分。

（3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高，只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。

（4）数字电路的分析方法主要用逻辑代数和卡诺图法等进行分析。 （5）数字电路能够对数字信号0和1进行各种逻辑运算和算术运算。

§1.1.3数字电路的分类和应用

（1）按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。

（2）按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双极型（TTL型）和单极型（MOS型）两类。

（3）按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路没有记忆功能，其输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有记忆功能，其输出信号不仅和当时的输入信号有关，而且与电路以前的状态有关。 数字电路的产生和发展是电子技术发展最重要的基础。由于数字电路相对于模拟电路有一系列的优点，使它在通信、电子计算机、电视雷达、自动控制、电

子测量仪器等科学领域得到广泛的应用，对现代科学、工业、农业、医学、社会和人类的文明产生着越来越深刻地影响。

本节小结：

数字信号的数值相对于时间的变化过程是跳变的、间断性的。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。模拟信号通过模数转换后变成数字信号，即可用数字电路进行传输、处理。

§1.2数制和码制

§1.2.1数制

所谓数制就是计数的方法。在生产实践中，人们经常采用位置计数法，即将表示数字的数码从左至右排列起来。常见的有十进制、二进制、十六进制。

1．进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。

2．基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。 3．位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。

1．十进制

十进制数是日常生活中使用最广的计数制。组成十进制数的符号有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9等共十个符号，我们称这些符号为数码。

在十进制中，每一位有0～9共十个数码，所以计数的基数为10。超过9就必须用多位数来表示。十进制数的运算遵循加法时：“逢十进一”，减法时：“借一当十”。

十进制数中，数码的位置不同，所表示的值就不相同。如： 5555表示5*1000+5*100+5*10+5

也可表示成5*10+5*10+5*10+5*10

3

2

1

0

同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。如：(209.04)10＝2×10＋0×10＋9×10＋0×10＋4×10

0

－1

－2

21

对于位一十进制数可表示为：

N10?an?1?10n?1?an?2?10n?2???a1?101?a0?100?a?1?10?1?a?2?10?2???a?m?10?m?n?1?m?a?10ii 式中：ai为0～9中的位一数码；10为进制的基数；10的i次为第i位的权；

m,n为正整数，n为整数部分的位数，m为小数部分的位数。

2.二进制

二进制的数码K为0、1，基数R=2。 进/借位的规则为逢2进1，借1当2， 位权为2的整数幂。

其计算公式为： ?N?2?i??m?Kn?1i?2i

－1－2210

如：(101.01)2＝ 1×2 ＋0×2＋1×2＋0×2＋1 ×2 ＝(5.25)10

由于二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。

加法和乘法的运算规则

加法 0+0=0 0+1=1 0+1=1 1+1=10 乘法 0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1 三、十六进制(Hexadecimal Number)

二进制数在计算机系统中处理很方便，但当位数较多时，比较难记忆，而且

书写容易出错，为了减小位数，通常将二进制数用十六进制表示。

十六进制是计算机系统中除二进制数之外使用较多的进制，其遵循的两个规则为：

其有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E，F等共十六个数码，其分别对应于十进制数的0～15进制之间的相互转换。

运算规则：逢16进1。 位权为16的整数幂。 其计算公式为：

?N?16?i??m?K1

n?1i?16i

0

－1

如：(D8.A)2＝ 13×16 ＋8×16＋10 ×16＝(216.625)10

二进制数和十六进制数广泛用于计算机内部的运算及表示，但人们通常是与十进制数打交道，这样在计算机的输入端就必须将十进制数转换为二进制数或十六进制数让计算机进行处理，处理的结果计算机必须将二进制数或十六进制数转换为十进制数，否则人们只能看天书了。

数制的转换可分为两类：十进制数与非十进数之间的相互转换；非十进制数之间的相互转换。

本节小结：

1. 一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。 2. 如果一个N进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即

(an-1 an-2 … a1 a0 · a－1 a－2 … a－m)N

则该数的权展开式为： (M)N ＝ an-1×N

n-1

10

＋ an-2 ×Nn-2 ＋ … ＋a1×N＋ a0 ×N＋a－1 ×

-1-2-mN＋a－2 ×N＋… ＋a－m×N

3. 由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。

作业：P28 12~16 18 19

§1.3逻辑函数中三种最基本的逻辑运算

§1.3.1逻辑函数和逻辑变量

研究事物原因（条件）和结果之间因果关系规律的命题称为逻辑命题。 人们称决定事物的因素（原因）为逻辑自变量。 被决定的事物的结果为逻辑结果（或称逻辑因变量）。

被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的函数关系称为逻辑函数。

逻辑变量通常用0和1来表示。

逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。

事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

二、三种基本逻辑关系及其表示方法

基本的逻辑关系只有三种：逻辑与、逻辑或、逻辑非。

逻辑代数中也有三种基本逻辑运算：与运算、或运算、非运算。 1.与逻辑若决定某一事物结果的所有条件同时具备时，结果才会发生，这种因果关系叫做逻辑与。

也就是说仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Y=ABC

例如：

ABYE

两个开关必须同时接通，灯泡才能亮。 表达式：Y=AB

表1 与逻辑函数真值表、逻辑符号及规律

真值表A0011B0101L0001A逻辑符号逻辑规律有0出0＆L全1出1B

2.或逻辑（逻辑加）

若决定某一事物结果的诸条件中只要有一个或一个以上条件具备时，结果就会发生，这种因果关系叫做逻辑或，也称逻辑加。

也就是说当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Z＝A+B+…

例如：

ABYE

两个开关只要一个接通，灯泡就亮。 表达式为：Y=A+B

表2 或逻辑的几种表达方式

真值表A0011B0101L0111

逻辑符号逻辑规律A≥1BL有1出1全0出03.非逻辑

只要某一条件具备了，事件便发生，而当此条件不具备时，事件一定发生，这样的因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反。

Z?A

例如：

RAEY

开关A接通，灯泡Y不亮；开关A断开，灯泡Y亮。 表达式：Y=/A

表3 逻辑非的几种表达式

逻辑真值表A01L10A逻辑符号1L逻辑规律进0出1进1出0

上述三种基本逻辑关系可以通过数字电路来实现，这种电路称为门电路。能够实现与逻辑的基本单元电路叫做与门；能够实现或逻辑的基本单元电路叫做或门；能够实现非逻辑的叫做非门（或称作反相器）。

§1.4复合逻辑运算

人们在研究实际问题时发现，事物的各个因素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。

复合逻辑函数—含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。

最常见的复合函数有与非、或非、与或非、异或、同或。加上三种基本逻辑关系与、或、非共八种基本逻辑运算。 1.与非逻辑

与非逻辑是由与逻辑与非逻辑的结合，实际上就是先做一个与逻辑，再做一个非逻辑，这样就可以得到与非逻辑。

表达式为：

Z?AB 逻辑规律：

有0出1，全1出0 逻辑符号：

AB＆Z

2.或非逻辑

或非逻辑是由或逻辑与非逻辑的结合，实际上就是先做一个或逻辑，再做一个非逻辑，这样就可以得到或非逻辑。

表达式为：

Z?A?B 逻辑规律：

有1出0，全0出1 逻辑符号：

AB≥1Z

3.与或非逻辑

与或非逻辑是由与逻辑、或逻辑与非逻辑的结合，实际上就是先做一个与逻辑，再做一个或逻辑，最后再做一个非逻辑，这样就可以得到与或非逻辑。

表达式为：

Z?AB?CD 逻辑规律：

各组均有0出1，某组全1出0。 逻辑符号：

AB＆≥1ZCD

4.异或逻辑

表达式为：

Z?AB?AB?A?B 逻辑规律：

相同出0，相反出1。 逻辑符号：

AB=1Z

5.同或逻辑

表达式为：

Z?AB?AB 逻辑规律：

相同出1，相反出0 逻辑符号：

AB=Z

同或逻辑和异或逻辑相互为非函数，即A?B?A ?B；A?B?A?B。同或门没有独立门电路产品，通常用异或门加上反相器构成。每个异或和同或逻辑符号及其逻辑门电路只限定两个输入变量。若要实现多个变量同或和异或需要用两 个以上的异或门及其符号表示。

作业：P28 21、23

§1.6逻辑代数的基本定律及规则

逻辑代数是研究逻辑电路的数学工具，它为分析和设计逻辑电路提供了理论基础。根据三种基本逻辑运算，可推导出一些基本公式和定律，形成了一些运算规则，熟悉、掌握并且会运用这些规则，对于掌握数字电子技术十分重要。

§1.6.1基本公式、定律和常用规则

1.基本公式 （1）0-1定律

0?10?0?00?0?01?00?1?00?1?1 1?1?1 1?1?1

0?A?00?A?A1?A?A1?A?A

（2）重叠律（自等律）

A?A?A A?A?A

（3）互补律

A?A?0 A?A?1

（4）还原律 A?A

（5）交换律

A?B?B?A A?B?B?A

（6）结合律

?A?B??C?A??B?C? ?A?B??C?A??B?C?

（7）分配律

A??B?C??AB?AC

A?BC??A?B??A?C?

（8）反演律（德·摩根定理） A?B?C?A?B?C A?B?C?A?B?C

（9）吸收律

A?AB?AAB?AB?AA?A?B??A A?AB?A?B

(A?B)(A?C)?A?BCAB?BC?AC?AB?ACAB?AC?BCD?AB?AC2．关于等式的若干规则 （1）代入规则

任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻

辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

例如，已知等式AB?A?B，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代

入规则，等式仍然成立，即有：

?AC?B?AC?B?A?B?C

（2）反演规则

对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，

“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换 成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。

例如：Y?AB?CDE Y?A?B?C?D?E??Y?A?BC?D?E

Y?A?B?C?D?E

????

（3）对偶原则

对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。

例如：

Y?AB?CDEY?A?B?C?D?E??Y??A?BC?D?E

Y??A?B?C?D?E

???? 对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。

利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。

例如：

AB?AB?A??A?B??A?B??A

A?BC??A?B??A?C?

A?B?C??AB?AC? 注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进

行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。

§1.6.2逻辑函数的代数化减法

1.逻辑函数表达式的标准形式和最简式含义

一个逻辑函数确定后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种。因为不管哪种表达式，对同一个逻辑函数来说所表达的逻辑功能是一致的，各种表达式是可以相互转换的。

例如：

（1）与或表达式：Y?AB?AC （2）或与表达式：Y?(A?B)(A?C) （3）与非表达式：Y?AB?AC （4）或非表达式：Y?A?B?A?C （5）与或非表达式：Y?AB?AC

一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。

2.常用代数化方法

代数化简法也称公式化简法，其实质就是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得最简式。代数法化简没有固定的方法可循，能否得到满意的结果，与掌握公式的熟练程度和运用技巧有关。

（1） 并项法

AB?AB?A

（2） 吸收法

A?AB?A

（3） 消去法

A?AB?A?B

AB?AC?BC?AB?AC

（4） 配项法

A?A?1

A?A?A或A?A?0

在化简较复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替、综合地利用多个基本公式和多种方法才能获得比较理想的化简结果。

本节小结：

逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。

与、或、非是3种基本逻辑关系，也是3种基本逻辑运算。与非、或非、

与或非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算。

逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。

作业：P29 26

§1.5逻辑函数表示法

任何逻辑函数都可以用逻辑函数式、逻辑真值表、逻辑电路图、逻辑卡诺图等方法来进行描述。对于同一个逻辑函数，它的几种表述方法是可以相互转换的，即已知一种可以转换出其它的几种。

一、逻辑函数的表示方法

逻辑真值表：将所有输入变量的变化组合及对应组合的输出值列成一个表格，此表格即为真值表。

逻辑表达式：将输出与输入之间的逻辑关系写成“与”、“或”、“非”等运算的组合式，就是逻辑函数表达式。

F=AB+BC+AC

逻辑电路图：将逻辑表达式中各变量之间的“与”、“或”、“非”等关系用逻辑符号表示出来，就可以画出实现该功能的逻辑电路图（或逻辑图）。

二、三种表示方法之间的转换

1.已知真值表求逻辑表达式和逻辑电路图

根据真值表求函数表达式的方法是：将真值表中每一组使输出函数值为1的输入变量都写成一个乘积项。在这些乘积项中，取值为1的变量，则该因子写成原变量，取值为0的变量，则该因子写成反变量，将这些乘积项相加，就得到了逻辑函数式。有了函数式，就可以按前述方法画出逻辑符号图。

2.已知逻辑函数式求真值表和逻辑图

如果有了逻辑函数表达式，则只要把输入变量取值的所有组合的所有组合状态逐一代入函数式中算出逻辑函数值，然后将输入变量取值与逻辑函数值对应地列成表，就得到逻辑函数的真值表。有了逻辑函数式，按照“先与后或”的运算顺序，用逻辑符号表示并正确连接起来就可以画出逻辑图。

3.已知逻辑图求逻辑函数式和真值表

如果只给出逻辑图，也能得到对应的逻辑函数式和真值表，只要将逻辑图中每个逻辑符号所表示的逻辑运算依次写出来，即可得到其逻辑函数式，有了逻辑函数式列真值表就不难了

§1.7逻辑函数的卡诺图化减法

代数化简法需要使用者熟练的掌握公式，并具有一定的技巧，还需要对所的结果是否是最简式有判断力，所以在化简较复杂的逻辑函数时次方法有一定的难度。在实践中，人们找到了一些其它方法，其中最常用的是卡诺图化简法。

§1.7.1逻辑函数的最小项和最小项表达式

（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项

ABCABCABCABCABCABCABCABC

（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可表示为：

m0?ABCm4?ABCm1?ABCm5?ABCm2?ABCm6?ABCm3?ABCm7?ABC

（3）最小项表达式：对于n变量函数，如果其与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别为n个变量的原变量或反变量，每个变量在乘积项中仅出现一尺，这样的乘积项称为函数的最小项表达式。

有了最小项的编号，函数表达式就可以用代号来书写。如：

Z?Z(A,B,C)?m1?m2?m3?m7??mii

??m(1,2,3,7) （4）最小项的性质

1．对输入变量任何一组取值在所有最小项（2n）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。

2．在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小项的乘积为0。 3．全体最小项的和为1。

§1.7.2逻辑函数的卡诺图表示法

一个函数可以用表达式来表示，也可以用真值表来描述。但真值表对函数进行化简，很不直观，而卡诺图则比真值表直观了许多。卡诺图是一种矩阵式的真值表，如下图：

M0 M4 M1 M5 M3 M7 M2 M6 M12 M13 M15 M14 M8 M9 M11 M10 从图上不难看出，卡诺图中变量取值不是按照从大到小（或从小到大）的顺序排列的，而是按照循环码的编码顺序00，01，11，10进行排列。这种码使得相邻两个方格对应的最小项仅有1个变量不同。 M8 M9 M11 M10 二、画卡诺图

卡诺图有如下特点：

1．n个变量的卡诺图有2n个方格，每个方格对应一个最小项。

2．每个变量与反变量将卡诺图等分为两部分，并且各占的方格个数相同。 3．卡诺图上两个相邻的方格所代表的最小项只有1个变量相异。 三、卡诺图的填入

1．最小项表达式的填入

因为构成函数的每个最小项都有一组变量的取值使该最小项为1，所以填入时，在构成函数的每个最小项相应的方格中填1，而其他方格填0。

2．标准表达式的填入

非标准表达式按逻辑运算的几何含义填入。方法为：如果为“与或”表达式，首先将每个“与”项中的原变量用1表示，反变量用0表示，在卡诺图上找出交叉的方格，在其中填1；如果表达式是“或与”表达式时，可以找出使各“或”项为0的变量组合对应的方格填0，给填0以外的方格填1。

四、卡诺图的化简依据

1．若两个最小项相邻，则可以合并为一项并消去1个发生变化的变量。合并后的结果中剩下的是公共的变量，而发生变化的变量将被消去。

2．4个最小项相邻并构成一个矩形，则可以合并成为一项并消去2个发生变化的变量。

3．若8个最小项相邻并构成一个矩形，则可以合并成为一项，并消去3个发生变化的变量。

4．若16个最小项相邻并构成一个圈，则可以合并成为一项，并消去4个发生变化的变量。

综上所述：卡诺图化简的依据是：如果有2n个最小项构成一个矩形，则它们可合并为一项，并消去n个变量，保留的变量是这些最小项中的公共变量，而发生变化的变量将被消去。

五、诺图的化简步骤：

1．将逻辑函数写成最小项式 2．填写卡诺图 3．画圈

（1）圈要尽量大。每个相邻最小项构成的矩形应包含尽可以多的最小项，使得化简后的“与”项包含的变量个数最少

（2）尽量少。相邻最小项构成的矩形个数尽可能少，使得化简后的“与”项个数最少

（3）圈过的“1”可以重复用。所选择的相邻最小项的矩形应包含所有构成函数的最小项（即卡诺图中为1 的方格）并且每个相邻最小项构成的矩形中至少有1个最小项没有被选择过 （4）所有的“1”都圈完

4．找出可以合并的最小项，写出最简式 六．例题

利用图形法化简函数Z??m(3,4,6,7,10,13,14,15)。

0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 按照卡诺图化简的步骤可以得到最简式 Z?ACD?ABD?ABD?ACD

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