相似三角形的判定-共边共角型与嵌入型-学生-郭亚琦-数学

源于名校，成就所托

相似三角形的判定

知识精要

判定三角形相似的方法有：预备定理，三个判定定理，斜边--直角边定理。其中使用频率最高的是“两角对应相等，两三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。

所有的判定方法只需证明两点：一是角相等，另一个是边成比例。证明“角相等”应特别注意：1）特殊角（如直角），2）特殊关系（如公共角，对顶角，等腰三角形的两底角，等角的余角，等角的补角等）。

根据图形的结构，可将判定三角形相似的方法概括为三种基本类型：共角共边型，嵌入型，旋转翻折型。 类型一：共角共边型

“共角共边型”是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只要再证明一个角相等或者证明夹公共角（对顶角）的两边对应成比例就能证明两个三角形相似。共以下四种基本图形：

图中的△ABC和△ADE有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例。 例题精解

例1 如图，△ABC中，D,E分别在AC,AB上，且∠ABD=∠ACE,联结DE。求证：△ADE∽△ABC。

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ADAE?既是由△ABD∽△ACE得到的结论，又是判定△ABAC点评：（1）若将题中条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD⊥AC,CE⊥AB”，则结论 。

（2）证明过程中比例式

ADE∽△ABC的条件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果（角相等或边成比例）作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法。

引申：（1）若设BD,CE的交点为F，则还可以证明 ∽△ 和 ∽ 可得到4对相似三角形。

（2）若条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD⊥AC,CE⊥AB”，即使BD,CE成为△ABC的高，则共可得到8对相似三角形。 【举一反三】

1、如图，D是Rt△ABC斜边AB上的中点，过D作DF⊥AB，交BC于E，交A的延长线于点F，求证：DC2=DE·DF.

2、如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，AE交BD于F,已知BE2=EF·AE。求证：DC2=BF·BD.

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11DC,AE?EB,AD224AB2. 93、如图，等边三角形ABC中，D,E分别在BC,AB上，且BD?交CE于F。求证：AD·DF=

点评：等腰三角形和等边三角形中相等的角为相似三角形准备了“天然”的条件。本题整个图形呈旋转对称造就了诸多的边角相等关系和线段成比例关系。

类型二：嵌入型

“嵌入型”是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部，这个角的顶点与三角形的顶点重合，或者这个角的顶点在三角形或四边形的一条边上，而这个角的两条边分别与三角形或四边形的两条边相交。

例1、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E在边BC上，∠DAE=45°。 （1）写出图中的相似三角形； （2）求证：AB2=BE·DC

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点评：本题中，△ADE嵌入△ABC内，两个三角形有一个公共顶点（∠A），称之为“正嵌型”，如例2图所示；

如果嵌入的三角形顶点在该角的对边上，称之为“反嵌型”，如图所示。

在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点D在斜边BC上，E,F分别在AC,AB上，∠EDF=45°，可以证明△BDF∽△CED. 【举一反三】

1、如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E,F分别在AB,AC上，且∠EDF=∠B，联结EF。找出图中相似三角形并说明理由。

2、如图，梯形ABCD中，AD//BC,AD=3，BC=7，AB=DC=4，点P在边BC上，点E在边DC上，∠APE=60°，联结AE. （1）求证：AB·CE=BP·PC;

（2）△APE能否与△ABP相似？若能够，求此时点P的位置；若不能够，请简要说明理由。

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3、正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，∠AEF=90°，联结AF. (1)找出图中一定相似的三角形并加以证明。

(2)△AEF或△ADF能否与△ABE相似？如果能，求此时点E的位置；如不能，试说明理由。

类型三：旋转翻折型

“旋转翻折型”可以看做先使其中一个三角形经过放大或缩小，再与另一个三角形呈旋转对称或轴对称的位置关系。

例1 如图，若∠1=∠2=∠3，写出入中所有相似的三角形，并简要说明理由。

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【举一反三】1、如图，△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC,交AB于点E,CE交AD于点F.求证：

ABCF?. ACDF

2、如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，G为DC延长线上一点，AF⊥BG,垂足为F,AF交CD于E。求证：CD2=DE·DG.

3、如图，△ABC中，点D在BC上，∠ADE=∠B,∠BAD=∠CAE. （1）求证：AD·AC=AB·AE;

（2）当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC.

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内容提炼

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1、将三角形相似的判定与三角形全等的判定进行类比： 三角形全等 三角形相似 AAS,ASA AA SAS SAS SSS SSS HL HL 可以看出，判定“相似”比判定“全等”要求要低一些：例如“两个角对应相等”无法判定全等，但可以判定相似；再例如，“两组对边对应成比例”的要求也比“两条边对应相等”的要求低，因为“两条边对应相等”是“两边对应成比例”中当比例系数为1时的特殊情况。实际上，“相似”的含义知识“像”，而“全等”的含义则是“一模一样”，“全等”的要求当然要高一些。

2、正因为判定相似比判定全等的要求低，所以相似形的图形变化更多，解题方法也更灵活。判定三角形相似首先要观察图形中有没有相等的角，例如，两个三角形没有公共角，是否等腰三角形的两个底角或等腰梯形同一底上的两个角，等等；其次，要把已知的乘积式化为比例式，考察所涉及的线段围成的三角形是否相似，有时还需要经过中间比转化。

3、组成相似三角形的图形往往相互交错，互相渗透，图形中常包含证明相似三角形“隐含条件”。本节涉及的隐含条件分别为：在共边共角型中，提供了公共角（或对顶角）相等；反嵌入型中的三角形外交等于不相邻的两个内角和；旋转型中的旋转角相等。 巩固提高（必做题，要求步骤完整，思路清晰） 1、满足下列条件的两个三角形不一定相似的是（ ）

A.有一个角都等于30°的两个直角三角形；B.有一个角都等于30°的两个等腰三角形； B.两直角边之比为1:2的两个直角三角形； D. 两条边之比为1:2的两个等腰三角形。 2、如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD平分∠ABC,∠ACE=∠ABD,与△BEF一定相似的三角形为（ ）

A.△BFC; B.△BDC; C.△BDA; D.△CEA

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3、如图，梯形ABCD中，DC//AB,AD-BC,点P在DC上，点Q在BP上。若∠APB=∠D,∠PAQ=∠PBA，则图中相似的三角形共有（ ） A.3对； B.4对； C.5对； D.6对

4、在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，若△DEF与△ABC相似，则∠D的度数为 5、已知△ABC与△A'B'C'相似，∠A=∠A'=90°，AB=3，AC=4，A'B'=6，则B'C'= 6、如图，若∠B=∠C,AE=EC=3，AD=2，则DB=

7、如图，梯形ABCD中，AD//BC,BD平分∠ABC,∠A=∠BDC,若AB=4，BC=8，则CD=

8、如图，四边形ABCD中，AD//BC,若AB=8，BC=4，AC=6，AD=9，则CD= 9、如图，△ABC中，D在AC上，若∠ABD=∠C,AD=9，DC=7，则BD:BC= 10、如图，平行四边形ABCD中，AC交BD于O。已知BC?211BD2,求证：AB2?AC2. 22

11、如图，△ABC中，AB=AC,射线BF交高AD于G，交AC于E，作CF//AB交BF于F.求证：BG?GE?GF.

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12、如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC延长线上，点E在AC上，联结AD,联结BE并延长，交AD于F,联结FC,已知∠EBC=∠D. (1)求证：AD·BC=BD·BE.

(2)点E在AC上什么位置上，能使FC⊥BD？证明你的结论。

探究题

（1）如图①，D,E分别在等边三角形ABC的边CB和边BC的延长线上。 ①已知BC2=DB·CE,求∠DAE的度数。

②以第①题所得的结论为条件，请证明BC2=DB·CE.

（2）如图②，等腰直角三角形ABC中，D,E分别在斜边CB和BC的延长线上，当BC2=2DB·CE时，求∠DAE的度数。

（3）如图③，△ABC中，AB=AC,∠BAC=?,D,E分别在底边CB和BC的延长线上，当AB2=DB·CE时，求∠DAE的度数。

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