广东省深圳市宝安区2013届高三9月摸底考试试题（数学理）

广东省深圳市宝安区2013届高三9月摸底考试试题

数 学 （理 科）

2012.9

本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的. 1. 已知集合，A??xx?1?,

B??xx2?2x?0?，则A?B?

A．x0?x?1? B．x?1?x?0? C．x?1?x?1? D．x?1?x?2?

????2. 若复数

a?i是实数(i是虚数单位)，则实数a的值为 1?i A．?2 B．?1 C．1 D．2 3. 已知向量p???2,1?,q??x,?3?,且p//q，则p?q的值为

A．25 B．5 C．217 D．13

?x?y?0y?4．设变量x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值是

x?1?2x?y?1? A．1

B．

11 C． D．2 425．程序框图如下：

如果上述程序运行的结果为s＝132，那么判断框中应填入

A． B． C． D．

6..已知a,b是实数，则“a?0且b?0”是“a?b?0且ab?0”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的全面积为 ．．． A．

3 2B．

3?3 2正视图

左视图

C.3?22

D． 2

俯视图

8.定义函数集合M

??f?x?f??x??0?,N??f?x?f???x??0?,(其中f??x?为

5个函数中 ①

f?x?的导函数，f???x?为f??x?的导函数)，D?M?N,以下

f?x??ex，

②

1f?x??lnx，③f?x??x?2,x????,0?，④f?x??x?,x??1,???，

x⑤

???f?x??cosx,x??0,? 属于集合D的有

?2?A．①④⑤ B．①②④ C．②③④ D．①③④

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）

9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽

取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 0.040 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 0.035 区间?110,120?上共有150户, 则月均用电

0.0300.0250.020频率组距 量在区间?120,150?上的居民共有 户. 0.015

20.0100.0050100110120130140150月均用电量(度)图310. 以抛物线C:y?16x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点，

那么该圆的方程为 .

11. 已知数列?an?是等差数列, 若a3?2a5?a7?8, 则该数列前9项的和为 . 12.二项式(2x?16)展开式中含x2项的系数是 ． x13. 甲、乙等五名医生被分配到四川灾区A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名医生，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种（用数字做答）．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14. （参数方程与极坐标）在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为(2,为极点，则三角形OAB的面积=_____．

15.（几何证明选讲）如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D 为切点，割线PEF经过圆心O，PF?6,PD?23,则

PD?3)和(3,0)，O

E?DFP?__________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

OFurrxx已知向量m?(2cos,1),n?(sin,1)，设函数f(x)?mgn?1.

22（1）求函数f(x)的值域；

（2）已知锐角?ABC的三个内角分别为A,B,C,若f(A)?

17．(本题满分12分)

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.

（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；

（Ⅱ）设?为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求?的分布列和数学期望． 18．（本小题满分14分）

如图, 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3，AB?5,BC?4，AA1?4， 点D是AB的中点．

⑴、求证：AC1//平面CDB1； ⑵、求二面角C1?AB?C的正切值．

C

53,f(B)?,求f(C)的值。 135C1 A1 B1

B

D

A

19. （本题满分14分）已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N?.

（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列?an?的通项公式； （2）设bn?1111，若bn???????an?1an?2an?3a2n?m恒成立，

求实数m的取值范围。

20. (本小题满分14分)

x2y2设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e=

ab椭圆C两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程； （2）若P3,点A是椭圆上的一点,且点A到2为椭圆C上一动点，直线L:mx?4ny?4?0与圆?m,n（m?>0,n?0）C?:x2?y2?4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程。

21．（本小题满分14分） 已知函数

f?x??a311x??a?1?x2?x? (a?R)． 323(1) 若a?0，求函数f?x?的极值； （2）是否存在实数a使得函数f?x?在区间

范围；若不存在，说明理由。

?0,2?上有两个零点，若存在，求出a的取值

广东省深圳市宝安区2013届高三摸底考试试题

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B B C B D

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题

5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ?x?2??y?422??2?36 11. 18

12. -192 13. 72 14。

33?.; 15.30， 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数

学思想方法，以及运算求解能力）

x??x??2??2??xx ?2cossin?1?1?sinx． ????????????3分

22∵x?R，

n?1??2cos， 1?? 1??1 解：（1）f?x??m??sin，

1?． ????????????6分 ∴函数f?x?的值域为?-1，（2）∵f?A??

5353，f?B??，∴sinA?，sinB?． 135135124∵A,B都为锐角，∴cosA?1?sin2A?，cosB?1?sin2B?．???9分

135∴f?C??sinC?sin?????A?B????sin?A?B?

?sinAcosB?cosAsinB

5412356 ?． ????1351356556∴f?C?的值为． ????????????12

65分

17.(本题满分12分)

解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A、B相互独立，

2C522 且p(A)?2?, P(B)?C4?2.? ????????????4分

C63C625 所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为

224P(A?B)?P(A)?P(B)??? ??????????? 6分

3515 （Ⅱ）设?可能的取值为0,1,2,3.得

1112C52C2C5?C4C4224 P(??0), ?,P(??1)??2?2?2?2?C6C6C6C645151c511p(??3)?2.2?

c6c645p(??2)?1?p(??0)?p(??1)?p(??3)? ?的分布列为

2 ????? 9分 93 ? P 0 1 2 4 1522 452 91 45 ∴ ?的数学期望 E??0?

18．(本小题满分14分)

42221?1??2??3??1 ????12分 1545945证明：⑴连接C1B，设CB1与C1B的交点为E， 连结DE，由四棱柱侧面为平行四边形知

A1 C1 E B1

E是BC1的中点，

C

B

D A

∵ D是AB的中点，∴ DE//AC1 ????3分 ∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴AC1//平面CDB1. ??????6分

⑵ 由直棱柱知C1C垂直平面ABC， 过点C作CF⊥AB于F，连接C1F则C1F⊥AB ∴∠C1FC为二面角C1?AB?C的平面角． ?????????????9分 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

∵底面三边长AC?3，AB?5，BC?4，∴ AC?BC， ???????11分

AC?BC12?， 在Rt△ABC中，CF?AB5又CC1?AA1?4,∴ tan?C1FC?C1C45??， ???????????13分 12CF35∴二面角C1?AB?C的正切值为

5． ?????????????????14分 3（另：可以建立空间直角坐标系用向量方法完成，酌情给分，过程略） 19. (本小题满分14分)

解：（1）∵ a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N?

∴ a2?6,a3?12 ?????2分

当n?2时，an?an?1?2n,an?1?an?2?2?n?1?,???,a3?a2?2?3,a2?a1?2?2， ∴ an?a1?2??n??n?1??????3?2??，

∴an?2??n??n?1??????3?2?1???2n?n?1?2?n?n?1? ???????5分

当n?1时，a1?1??1?1??2也满足上式， ????6分 ∴数列?an?的通项公式为an?n?n?1?（2）bn?????7分

111111????????????? an?1an?2a2n?n?1??n?2??n?2??n?3?2n?2n?1?111111?????????

2n?2n?1??n?1??n?2??n?2??n?3? ?

11n1 ???????10分 ??2?1n?12n?12n?3n?1????(2n?)?3n11 令f?x??2x??x?1?，则f??x??2?2， 当x?1时,f??x??0恒成立

xx ?∴ f?x?在x??1,???上是增函数，故当x?1时，f?x?min?f?1??3?12分

1即当n?1时， (bn)max? bn6另解： bn?1?bn?1?m恒成立，则m? ??14分

61111111??1????????? n?22n?3n?12n?1n?22n?1?2n?3n?1?3n?33n?4??0

2n2?5n?22n2?5n?31∴ 数列?an?是单调递减数列，∴(bn)max?b1?

6?bn?m恒成立，则m?20. (本小题满分14分)

1 6ca2?b23解：（1）由椭圆定义知2a?4,?a?2，又e??得b?1， ?aa2x2?所求椭圆方程为?y2?1 ?????????????4分

4（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d?4m2??4n?2m2?n2?1， ，又有4 ?????7

所以d?4m??4n?22?44?12n2，?n??0,1?,?d??1,2?分

S?OAB??d?4?d?1ABd?4?d2?d?d2?4?d2?????2 22??2222（当d分

?4?d2即d?2时S?OAB最大），S?OAB最大值为

2 ?????11

d?2?3?n?0??????2?n?????234?12n4，

826m2?4?4n2?,?m?0,?m? ???????13分

33所以直线L的方程为

2643x?y?12?0即x?2y?6?0。????14分 33

21．（本小题满分14分）

解：(1)

1??f??x??ax2??a?1?x?1?a?x?1??x?? ??????2分

a??1?a?0,??1，

a 1????,?? a??1 a0 极小值 ?1??,1? ?a?1 ?1,??? - 递减 f??x? f?x? - 递减 + 递增 0 极大值 ??????????4分

2?1??2a?3a?1f?x?极小值=f??=6a2?a?，

f?x?极大值=f?1?=?（2）

1?a?1?????6分 621?1??2a?3a?1??a-1??2a-1?f??==，f?1?=??a?1? 226a6a6?a?f?2?=分

11?2a?1?， f?0?=?<0 ?????833① 当a?11时，f?x?在?0,1?上为增函数，在?1,2?上为减函数，f?0?=?<0，23

11f?1?=??a?1?>0，f?2?=?2a?1??0，所以f?x?在区间?0,1?，?1,2?上

63各

有

一

个

零

点

，

即

在

?0,2?上有两个零

点； ??????????10分

②

1?1??1?当

函

数

，

1f?0?=?<03，

f?1?=?1?a?1?>06，

1?1???a-1??2a-1?f??=>0f2=，???2a?1?>0，所以f?x?只在区间26a3?a??0,1?上有一个零点，故在

?0,?2上

只有一个零

点； ??????????12分 ③ 当a>1时，

?1??1?f?x?在?0,?上为增函数，在?,1?上为减函数，?1,2?上为增

?a??a?，

函数，

1?1???a-1??2a-1?f<0f?0?=?<0，??=26a3?a?1f?1?=??a?1?<0，

6f?2?=1?2a?1?>0， 所以f?x?只在区间?1,2?上有一个零点，故在?0,2?上只有3一个零点； ??????????13分

故存在实数a，当a?分

1时，函数f?x?在区间?0,2?上有两个零点。???????142

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d0c6.html