刚体的定轴转动2

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教学基本要求

一 理解描写刚体定轴转动角速度和 角加速度的物理意义，并掌握角量与线量 的关系.

二 理解力矩和转动惯量概念，掌握 刚体绕定轴转动的转动定理.三 理解角动量概念，掌握角动量定 律，并能处理一般质点在平面内运动以及 刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.

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教学基本要求

四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律.

能运用以上规律分析和解决包括质点 和刚体的简单系统的力学问题.

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第四章 刚体的定轴转动 一、刚体的运动 二、刚体定轴转动的转动定律三、转动惯量的计算 四、刚体定轴转动的转动定律的应用 五、刚体的角动量、角动量定理和角 动量守恒定律 六、转动中的功和能

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五、刚体的角动量、角动量定理和角动量 守恒定律1、刚体的角动量 质点对点的角动量为：

L r P r mv2

刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：

Li ri mi vi ri mi 所以刚体绕此轴的角动量为：

L Li ( mi ri ) J 2 i i

刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯 量J 和角速度 的乘积。

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2、刚体的角动量定理dL = A:微分形式： 质点系的角动量定理为：M dt

dL M M 外 dt刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角 动量平行于转轴的分量，设转轴为z 轴,取角动量定 理沿z轴的分量式有:

M z外

dLz dt

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在定轴转动中，可用标量表示：

d d d M L ( J ) J J dt dt dt刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理 沿固定轴方向的分量式的一种特殊形式。 B:积分形式

t

0

Mdt

L2

L1

dL L2 L1 L

左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩； 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。

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J不变时,J也改变时,3、角动量守恒定律

L J 2 J 1 L J 2 2 J1 1

dL 在M 中，若 M 0, 则L 常量.即 L 0 dtL不变的含义为：刚体： 不变 非刚体：J 不变M=0的原因，可能F=0;r=0;F∥r.在定轴转动中还 有M≠0,但力与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作 用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。

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许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.

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自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等

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例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一 静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子 弹穿出后棒的角速度

。已知棒长为l,质量为M.解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹 有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv0 子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩 为：

f ldt l f J dt

M

因,

f f 由两式得

v0

m v

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3mv0l 9mv0 1 这里J Ml 2 4J 4Ml 3

N R M

请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么? 总角动量守恒吗?若守恒,其方程 应如何写?

1 2 mv0l mvl Ml 3

v0

m

v

例2、质量分别为M1、M2,

半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本

身的轴转动,二轴平行。

M1 R1

M2 R2

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原来它们沿同一转向分别以

10, 20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘

相接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个

M1 R1

M2 R2

圆柱的角速度 1, 2。对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二圆 柱边缘的线速度一样,故有

1R1 2 R2

二圆柱系统角动量守恒故有

10 J1 20 J 2 J1 1 J 2 2

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1 1 2 2 其中 J1 M 1 R1 , J 2 M 2 R2 2 2由以上二式就可解出 1, 2。这种解法对吗? 答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的 轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能 对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动 时 1, 2方向相反，所以应为

1R1 2 R2

正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两 柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的 大小正比于半径,方向相同: R1 fdt R1 fdt J1 ( 1 10 ) R2 fdt R2 fdt J 2 ( 2 20 )

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消去 fdt , 得 R1 J1 ( 1 10 )R2R1 2 从前已知 R2 1

J 2 ( 2 20 )

由此可解得: R1 ( J1 1 R2 J 2 2 R1 ) M 1 R1 1 M 2 R2 2 1 2 2J1 R2 J 2 R1 R2 ( M 1 M 2 )R2 ( J 2 2 R1 J1 1 R2 ) M 2 R2 2 M 1 R1 1 2 2 2 J1 R2 J 2 R1 R1 ( M 1 M 2 )

1 1 2 2 其中 J1 M 1 R1 , J 2 M 2 R2 2 2

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例3 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一 端的演员N弹了起来.问演员N可弹起多高?

M h N B l

Cl/2

A

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设跷板是匀质的，长度为l,质量为m', 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.解 碰撞前M落在 A点的速度

vM (2 gh)l u 2

12

碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度

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M、N和跷板组成的系统，角动量守恒

l l 1 1 2 2 mvM J 2mu m l ml 2 2 12 2M h N B l

Cl/2

A

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l l 1 1 2 2 mvM J 2mu m l ml 2 2 12 2

mvM l 2 6m(2 gh) 解得 2 2 m l 12 ml 2 (m 6m)l演员N以u起跳，达到的

高度：

12

u l 3m 2 h ( ) h 2g 8g m 6m2 2 2

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六、转动中的功和能1、力矩的功

dW F dr F cos | dr |

F cos rd F cos r F cos r M dW Md 称为力矩的功。力矩对转动物体作的功 等于相应力矩和角位移 的乘积。O

vd r

dr

F P

x

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2、刚体定轴转动的动能定理刚体上所有质元的动能之和为：

EK

1 1 2 mi vi mi ( ri ) 2 2 i 2 i 1 1 2 2 ( mi ri ) J 2 2 i 2

刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做 功的效果来解释。将定轴转动的转动定律两边乘以d 再同时对 积

分有:

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21

Md

21

d J d dt

21

d J dt dtJ d

21

1 1 2 2 J 2 J 1 2 2

上式即为：

W EK 2 EK 1

合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于 刚体的转动动能的增量。 这个结论称为定轴转动的动能定理。

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