2014年天津市高考数学试卷（理科）答案与解析

2014年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分） 1．（5分）（2014?天津）i是虚数单位，复数 A．1﹣i B． ﹣1+i =（ ） C． +i D． ﹣+i 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值． 解答： 解：复数==， 故选A． 点评： 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题． 2．（5分）（2014?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的

最小值为（ ） 2 3 4 5 A．B． C． D． 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答： 解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣﹣， ，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=的截距最小，此时z最小． 此时z的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B． 1

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 3．（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）

15 245 945 A．C． D． 考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图． 分析： 算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值． 解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值， ∵跳出循环的i值为4， ∴输出S=1×3×5×7=105． 故选：B． 点评： 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． 105 B． 4．（5分）（2014?天津）函数f（x）=log A．（0，+∞）

（x﹣4）的单调递增区间为（ ） C． （2，+∞） 2

2

B． （﹣∞，0） D． （﹣∞，﹣2） 考点： 复合函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用． 2分析： 令t=x﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间． 2解答： 解：令t=x﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2， 故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大， 所以y=log（x﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增． 2故选：D． 点评： 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 5．（5分）（2014?天津）已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ） A．B． ﹣ C．﹣=1 =1 D． ﹣=1 ﹣=1 考点： 双曲线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c=a+b，求出a，b，即可求出双曲线的方程． 解答： 解：∵双曲线的一个焦点在直线l上， 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5， ∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10， 222 3

∴=2， ∵c=a+b， 22∴a=5，b=20， ∴双曲线的方程为﹣=1． 222故选：A． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 6．（5分）（2014?天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD平分∠CBF； ②FB=FD?FA； ③AE?CE=BE?DE； ④AF?BD=AB?BF．

所有正确结论的序号是（ ）

2

①② A． ③④ B． ①②③ C． ①②④ D． 考点： 与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用． 专题： 直线与圆． 分析： 本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项． 解答： 解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD， ∴∠DBC=∠DAC． ∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD， ∴∠FBD=∠BAF． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=∠DAC． ∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由，FB=FD?FA．即结论②成立． 2 4

由，得AF?BD=AB?BF．即结论④成立． 正确结论有①②④． 故答案为D 点评： 本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题． 7．（5分）（2014?天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 充要条件 C．D． 既不充分又不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 解答： 解：若a＞b， ①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a?a＞b?b，此时成立． ②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a?a＞﹣b?b，即a＜b，此时成立． 22③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a?a＞﹣b?b，即a＞﹣b，此时成立，即充分性成立． 若a|a|＞b|b|， ①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b． ②当a＞0，b＜0时，a＞b． ③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立， 综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键． 8．（5分）（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上， A． =λ

，

=μB． ，若 ?

=1，

?C． =﹣，则λ+μ=（ ） D． 22 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由?=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由?=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．结合①②求得λ+μ的值． 解答： 解：由题意可得若?=（+）?（+）=+++ 5

点评： 本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣

，

]上的最大值和最小值．

）﹣

cosx+

2

，x∈R．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期； 的范围，再利用正（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx?（sinxcosx）==== =π． ， 所以，f（x）的最小正周期（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）= 11

由x∈[﹣∴当当，=﹣=]得，2x∈[﹣时，即，]，则∈[，]， ， =﹣1时，函数f（x）取到最小值是：=时，f（x）取到最大值是：， ． 时，即所以，所求的最大值为，最小值为点评： 本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题． 16．（13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 考点： 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计． 分析： （Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值； （Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，3）列出随机变量X的分布列求出期望值． 解答： （Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A， 则， （k=0，1，2，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为． （Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，2，3） 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望（k=0，1，3 ． 点评： 本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．

12

17．（13分）（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC； （Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 分析： （I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据?=0，可得BE⊥DC； （II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 解答： 证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． ∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1） ∴=（0，1，1），∵?=0， =（2，0，0） ∴BE⊥DC； 13

（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2）， 设平面PBD的法向量=（x，y，z）， 由，得， 令y=1，则=（2，1，1）， 则直线BE与平面PBD所成角θ满足： sinθ===， 故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（Ⅲ）∵=（1，2，0），由F点在棱PC上，设故=+=λ． =（2，2，0）， =（﹣2，﹣2，2），=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， ?=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 由BF⊥AC，得解得λ=， 即=（﹣，，）， 设平面FBA的法向量为=（a，b，c）， 由，得 令c=1，则=（0，﹣3，1）， 取平面ABP的法向量=（0，1，0）， 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足： cosα===， 故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为： 点评： 本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．

14

18．（13分）（2014?天津）设椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶

点为A，上顶点为B，已知|AB|=（Ⅰ）求椭圆的离心率；

|F1F2|．

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b=a﹣c，e=即可得出． 22222（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b=c．可设椭圆方程为0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，设P（x0，y0），由F1（﹣c，，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得解得PT．联立可得=0，．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0）， 由|AB|=22|F1F2|，可得222，化为a+b=3c． 222又b=a﹣c，∴a=2c． ∴e=． 22（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b=c．因此椭圆方程为设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得∵∴， =c（x0+c）+cy0=0， ． =（x0+c，y0），=（c，c）． 15

∴x0+y0+c=0， ∵点P在椭圆上，∴． 联立，化为=0， ∵x0≠0，∴， ． 代入x0+y0+c=0，可得∴P． 设圆心为T（x1，y1），则∴T∴圆的半径r=， =﹣，=． =． 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx． ∵直线l与圆相切， ∴2， ． 整理得k﹣8k+1=0，解得∴直线l的斜率为． 点评： 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 19．（14分）（2014?天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq，xi∈M，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

n﹣1

16

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anq明：若an＜bn，则s＜t． n﹣1

，t=b1+b2q+…+bnq

n﹣1

，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证

考点： 数列与不等式的综合；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A． （Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an﹣bn≤﹣1． 由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]， 再利用等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： （Ⅰ）解：当q=2，n=3时， M={0，1}，A={x|可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}． （Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqi=1，2，…，n．an＜bn，∴an﹣bn≤﹣1． 可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+≤﹣[1+q+…+q=n﹣2n﹣1，xi∈M，i=1，2，3}． n﹣1，t=b1+b2q+…+bnq+，其中ai，bi∈M， +qn﹣1] ＜0． ∴s＜t． 点评： 本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20．（14分）（2014?天津）设f（x）=x﹣ae（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）证明：

随着a的减小而增大；

x

（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大． 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围； （Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证； 17

（Ⅲ）由于x1=ax1+x2=，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证． xx解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae，∴f′（x）=1﹣ae； 下面分两种情况讨论： ①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意； ②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞） + 0 f′（x） ﹣ f（x） 递增 极大值﹣lna﹣1 递减 ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）； ∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立： ①f（﹣lna）＞0； ②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0； ③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0； ﹣1由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e； 取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0， 取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣∴a的取值范围是（0，e）． （Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae=0，得a=x﹣1）+（ln﹣）＜0； ， 设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0， x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）； ﹣1对于任意的a1、a2∈（0，e），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2； g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2； ∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2； 又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大； ﹣1 18

（Ⅲ）证明：∵x1=a∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，x2=a，设，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2； =t，则t＞1， ∴，解得x1=…①； ，x2=， ∴x1+x2=令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=； 令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0， ∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0， ∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数； ∴由①得x1+x2随着t的增大而增大． 由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大， ∴x1+x2随着a的减小而增大． 点评： 本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目． 19

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