高二数学下学期第一次月考试题新人教A版
更新时间:2024-03-24 16:57:01 阅读量: 综合文库 文档下载
淮北一中高二下第一次月考试卷
数学试题
第I卷
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。)
??x2y2B??x,y?y?3x,??1?,1、设集合A???x,y?则A?B的子集的个数( )
416????A.4 B.3 C.2 D.1
2、在等差数列?an?中,a2?1,a4?5,?an?的前5项和S5=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
3、设m,n是平面?内的两条不同直线,l1,l2是平面?内的两条相交直线, 则?//?的一个充分而不必要条件是( )
A.m//?且l//? B.m//l1且n//l2
C.m//?且n//? D.m//?且n//l1
4、如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 ( )
A.n?5? B.n?6?
C.n?7? D.n?8?
5、如图是导函数y?f'(x)的图像,则下列命题错误的是( )
A.导函数y?f'(x)在x?x1处有极小值 B.导函数y?f'(x)在x?x2处有极大值 C.函数y?f(x)在x?x3处有极小值 D.函数y?f(x)在x?x4处有极小值
(第4题) (第5题)
6、已知一个空间几何体的三视图如上图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的
体积是( )
A.4 cm3 B.5 cm3 C.6 cm3 D.7 cm3
1
7、已知向量m??a?2b,a?,n??a?2b,3b?,且m,n的夹角为钝角,则在平面aOb上,满足上述条件及a?b?1的点?a,b?所在的区域面积S满足( )
22????A.S?? B.S??2 C.S??2 D.S??2
x2y28、P是椭圆2?2?1?a?b?0?上异于顶点的任意一点,F1,F2为其左、右焦点,
ab则以PF2为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.内含 D.不确定
9、已知单调函数y?f(x)的定义域为R,当x?0时,f(x)?1,且对任意的实数
x,y?R,等式f?x?f(y)?f(x?y)成立。若数列?an?中,a1?f(0),
f?an?1?=
1(n?N?),则a2012的值为( )
f(?2?an)A.4020 B.4021 C.4022 D.4023
10、函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数f(x)满足:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y?f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( ) ①f(x)?x(x?0); ③f(x)?2
②f(x)?e(x?R);
x4x1x(x?0)f(x)?log(a?)(a?0,a?1) ; ④a28x?1A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①③
第II卷
二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在答题卡的相应位置。) 11、曲线y?x(3lnx?1)在点(1,1)处的切线方程为________
x2y2212、已知双曲线2?2?1的一个焦点与抛物线y?4x的焦点重合,且双曲线的离心
ab率等于5,则该双曲线的方程为________
13、(理)在由y?0,y?2,x?0,x??四条直线围成的区域内任取一点,这点没落在
y?sinx和x轴所围成区域内的概率是 2
(文)若复数z满足z?2?i??11?7i(i为虚数单位),则z= 14、定义运算则?=
15、(理)给出以下三个命题,其中所有正确命题的序号为
①已知等差数列?an?的前n项和为Sn,OA,OB为不共线向量,又
???absin?331sin??os??,0?????, =ad?bc,若c =,
7cos?2cdcos?14OP?a1OA?a2012OB,若PA??PB,则S2012?1006。
②“a?条件;
2③已知函数f?x??x?2,若f?a??f?b?,且0?a?b,则动点P?a,b?到直线
??????101?x2dx”是函数“y?cos2(ax)?sin2?ax?的最小正周期为4”的充要
4x?3y?15?0的距离的最小值为1.
(文)下列说法中,其中正确命题的序号为___ ________.:
①x?2是x?3x?2?0的充分不必要条件。 ②函数y?2x?1图象的对称中心是(1,1)。 x?1?(3a?1)x?4a(x?1)f(x2)?f(x1)?0,则③若函数f(x)??,对任意的x1?x2都有
x2?x1logx (x?1)?a实数a的取值范围是(,1?。
三、解答题:(本大题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16、(本题满分12分)
2已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,3sinccosc?cosc?171且2c?3.
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若向量m??1,sinA?与n??2,sinB?共线,求a,b的值。
17、(本题满分12分)
?? 3
已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a?0,设两2曲线y?f(x),y?g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同。 (Ⅰ)若a?1,求b的值;
(Ⅱ)用a表示b,并求b的最大值。
18、(本题满分12分)
*已知数列{an} 的首项a1?1前n项和Sn满足Sn?1?Sn?an?1,n?N,数列bn?的前
?n项和Tn?1?bn
(Ⅰ)求数列{an}与bn?的通项公式;
(Ⅱ)设Cn?an?bn,①求数列cn?前n项和Pn; ②证明:当且仅当n≥2时,
19、(理)(本题满分13分)如图1,在Rt?ABC中,?C= 90°,BC?3,AC?6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE?2,将?ADE沿DE折起到?A1DE的位置,
A13??<
?CD,如图2. 使AC1A1(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BCDE;
DECMD(Ⅱ)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小; (Ⅲ)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直? 说明理由.
CB图1
图2
(
理19图)
(文)(本小题满分13分) 如图1,在Rt?ABC中,?C?90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将?ADE沿DE折起到?A1DE的位置,使A1F?CD,如图2。
AA1DFEDBC图1EB4
CF图2(Ⅰ)求证:DE//平面ACB; 1(Ⅱ)求证:A1F?BE;
(Ⅲ)线段A使AC (文?平面DEQ?说明理由。1B上是否存在点Q,119图)
20、(本小题满分13分)设函数f(x)?(1?x)2?2ln(1?x)。
(Ⅰ)若在定义域内存在x0,使得不等式f?x0??m?0能成立,求实数m的最小值; (Ⅱ)已知函数g?x??f?x??x2?x?a,若方程g?x??0在区间[0,2]上恰有两个不同的实根,求实数a的取值范围。 21、(本小题满分13分)
已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在原点,且两曲线的焦点均在x轴上,若A?1,2?,
?2???中有两点在椭圆C1上,另一点在抛物线C2上。 B?2,0?,C?2,2???(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C1交于M,N两点,与抛物线C2交于P,Q两点,问是否存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以线段PQ为直径的圆都过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
数学答题卷 座位号
度第二学期淮北一中高二第一次月考试卷
一. 选择题(每小题5分,共50分)
考 场 序 号 题号 答案
1 A 2 B 3 B 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 D 10 C 二. 填空题( 每小题5分,共25分)
11. 4x-y-3=0 12. 5x?252y?1 4 5
13. 文3-5i 理1?1? 14。 ? 315. ①
三. 解 答 题(共75分)
16.(本题满分12分)
3sinCcosC?cos2C? ?1……1分 231sin2C?cos2C?1……2分 22 即sin(2C?
?6)?1……3分
?6?C??0,???2C??2,解得C??3……5分
(2)?m与n共线,?sinB?2sinA?0。 由正弦定理
ab?,得b?2a,①……8分 sinAsinB?c?3,由余弦定理,得9?a2?b2?2abcos?3,②……9分
??a?3联立方程①②,得?……12分
??b?23
17.(本题满分12分)设y?f(x)与y?g(x)?x?0?在公共点(x0,y0)处的切线相同。
f'?x??x?2g'(x)?3由题意f?x0??g?x0?,f'?x0??g'(x0) x12?x0?2x0?3lnx0?b523由x0?2?得x0?1或x0??3(舍去)即b?
32x0x0?2?x0(2)设y?f(x)与y?g(x)?x?0?在公共点(x0,y0)处的切线相同。
3a2由题意f?x0??g?x0?,f'?x0??g'(x0) f?x??x?2ag(x)?x''6
12?x0?2ax0?3a2lnx0?b23a2由x0?2a?得x0?a或x0??3a(舍去)即
3a2x0x0?2a?x052a?3a2lna 2122令h?t??t?3tlnt?t?0?,h'?t??2t?1?3lnt?
2b?当 2t?1?3lnt??0,即0?t?e时,h?t??0当 2t?1?3lnt??0,即t?e时,
'1313h'?t??0
11????故h(t)在?0,e3?为增函数,在?e3,???为减函数,于是h(t)在?0,???的最大值为
????????3h(e)?e3
23故b的最大值为e3
218.(本题满分12分)解. (1)由于Sn?1?Sn?an?1,n?N
*2132?Sn?1?Sn?an?1?an?1?an?1
??an?是首项为1,公差为1的等差数列?an?n …………2分
又当n?2时bn?Tn?Tn?1?1?bn?1?bn?1?4bn?bn?1 又b1?1?b1,?b1?1313133 4311?数列?bn?是等比数列,其首项为,公比为?bn?3()n …………4分
444(2)① 由(1)知Cn?an?bn=3n n2 7
123nPn?3(?2?3?????n)22221123n?1n?Pn?3(2?3?4?????n?n?1)222222 …………9分
1111n?Pn?3(?2?????n?n?1)22222n?2?Pn?3(2?n)2②由Cn?an?bn=3ncn?1?n?1cn?1<1n?1<1,由即即n>1n?N??n?2 ncn2ncn2n2Cn?1?1由于Cn?0恒成立. 又n?2时Cn因此,当且仅当n?2时,
Cn?1?Cn …………13分
19. (本题满分13分)
证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, ∴DE⊥平面A1CD,
又∵A1C?平面A1CD,∴A1C⊥DE又A1C⊥CD,CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE
(2)解:如图建系C﹣xyz,则D(﹣2,0,0),A1(0,0,22,0) ∴
设平面A1BE法向量为
,
),B(0,3,0),E(﹣2,
则∴∴
∴
又∵M(﹣1,0,∴
),∴
=(﹣1,0,
)
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
(3)解:设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3] ∴
设平面A1DP法向量为
8
,
则∴
∴
,
假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则
∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2 ∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直
文科(11)∵D,E分别为AC,AB的中点,∴DE∥BC,又DE?平面A1CB, ∴DE∥平面A1CB,
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D,又DE⊥CD, ∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC,∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD, ∴A1F⊥平面BCDE,∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
∵DE∥BC,∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC ,
∴DE⊥A1C,
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, ∴A1C⊥DP,
∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ, 故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ
由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,
所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.
9
20. (本题满分13分) .解:(Ⅰ)要使得不等式
能成立,只需
。
(Ⅱ)由得:
原题设即方程
在区间
上恰有两个相异实根。
设
。∵
,列表如下:
- 0 + 减函数 增函数 ∵,∴
。
从
而
有
画
出
函
数
在
区
间
上
的
草
图
(
见
下) 易知要使方程
在区间
上恰有两个相异实根,
10
,
右
只需:
。
,即:
21. (本题满分13分)
(I)设抛物线方程为y=2px,椭圆方程为
2
∵抛物线顶点在原点
∴B点不可能在抛物线上,则在椭圆上代入椭圆方程得
,解得a=2
如果c点在椭圆上,代入椭圆方程得则椭圆的方程为
,解得b=1符合题意
∴点A必在抛物线上,代入抛物线方程得2p=4 ∴p=2
2
∴抛物线方程为:y=4x.
(II)若存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以PQ为直径的圆都过原点, 设直线l:x=my+n,将x=my+n代入椭圆
,并整理得,(m+4)y+2mny+n﹣
2
2
2
4=0,
222222
△1=4mn﹣4(m+4)(n﹣4)>0,即m﹣n+4>0;=1 ① 设M(x1,y1),N(x2,y2),则
2
,
2
,
由OM⊥ON得,x1x2+y!y2=0,即(m+1)y!y2+mn(y1+y2)+n=0, ∴
,得5n﹣4m﹣4=0;②
2
2
将代入x=my+n,得,△2=m+n>0,③
2
设P(x3,y3),Q(x4,y4),则y3+y4=4m,y3y4=﹣4n,
22
由OP⊥OQ得,x3x4+y3y4=0,即(m+1)y3y4+mn(y3+y4)+n=0,
222
∴(m+1)(﹣4n)+mn?4m+n=0,得n﹣4n=0; 显然n≠0,∴n=4,代入②得:; 经检验,n=4都适合 ①③式. 所以存在直线
使得以线段MN为直径和以PQ为直径的圆都过原点.
11
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