2022年高考数学一轮总复习 专题1.3 简单的逻辑联结词、全称量词

专题1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考点分析

对本节的复习应紧扣概念，理解相似概念的异同点，准确把握逻辑连接词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定，本节常与其他知识结合，以小题的形式考查，难度不大，考查方式有两种：一是考查复合命题的真假判断；二是考查含有量词命题的否定．

融会贯通

题型一含有逻辑联结词的命题

【例1】【四川省成都市第七中学2017届高三三诊模拟数学（文）】在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题是“甲抛的硬币正面向上”，是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【例 2】【山西省临汾市2017届高三考前适应性训练考试（三）文数】已知命题：函数在上单调递增；函数在上单调递减，则在命题

和中，真命题是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解：易知p 1是真命题,而对p2:，

当x∈0,+∞)时,,所以y′?0，函数单调递增；

同理得当x∈(?∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.

由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.

本题选择A选项.

解题方法与技巧

1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．“p∨q”“p∧q”“?p”形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“?p”形式命题的真假．

3．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）p∨q真?p,q至少一个真?(?p)∧(?q)假.

（2）p∨q假?p,q均假?(?p)∧(?q)真.

（3）p∧q真?p,q均真?(?p)∨(?q)假.

（4）p∧q假?p,q至少一个假?(?p)∨( ?q)真.

（5）?p真?p假; ?p假?p真.

4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p 与非p必定是一真一假

【变式训练】

1.【安徽省蚌埠市2017届高三第二次数学质量检查文数】在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“ 第一次射击击中目标”，命题是“ 第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）

A. 为真命题

B. 为真命题

C. 为真命题

D. 为真命题

【答案】A

2.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨p；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是( )

A．①③B．①④

C．②③D．②④

【答案】 C

【解析】由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，

②p∨q为真命题，③?q为真命题，则p∧(?q)为真命题，④?p为假命题，则(?p) ∨q为假命题，

故选C.

【知识链接】

1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．

2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．

3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作 p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p且q、p或q、非p的真假判断

题型二全称命题与特称命题的真假判断

【例1】【甘肃省天水市第一中学2017届高三下学期第三次诊断考试文数】已知，

，，，则下列命题为真命题的是（）

A. B. C. D.

【答案】A

考点：复合命题真值表．

解题方法与技巧

1．全称命题真假的判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．

2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

3.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.

4.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总

【变式训练】 1.已知命题p 1：2000,10x R x x ?∈++<；p 2：2[1,2],10x x ?∈-≥，以下命题为真命题的是( )

A ．(?p 1)∧(?p 2)

B ．p 1∨(?p 2)

C ．(?p 1)∧p 2

D ．p 1∧p 2

【答案】C

2.【山东省烟台市2017届高三适应性练习（二）文数】下列命题为真命题的是（ ）

A.

，使得 B. 命题“

，”的否定是“，” C.

，函数都不是偶函数 D. 在

中，“”是“”的充要条件 【答案】D

【解析】逐一考查所给选项：

，则?

，使得，选项A 错误；

命题“

，”的否定是“，”，选项B 错误； 当

时，函数是偶函数，选项C 错误； 在中，“”是“”的充要条件，选项D 正确.

本题选择D 选项.

【知识链接】

1．全称量词与全称命题

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．

（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ?∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．

2．存在量词与特称命题

（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．

（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．

（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ?∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．

题型三 全称命题与特称命题的否定

【例1】【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅰ）】命题“1cos sin 22=+αα恒成立”的否定是（ ）

（A ）∈?αR ，使得1cos sin 22=+αα （B ）∈?αR ，使得1cos sin 22≠+αα

（C ）∈?αR ，使得1cos sin 22=+αα （D ）∈?αR ，使得1cos sin 22≠+αα

【答案】D

【解析】命题“1cos sin 22=+αα恒成立”的否定是“α?∈R ，使得1cos sin 22≠+αα”，故选D ．

【例2】【江西省2017届高三调研考试（五）文数】已知命题：，，

则命题的否定为（ ）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ， 【答案】C

解题方法与技巧

1．全称命题真假的判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；

（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．

2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

5. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.

6. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总

【变式训练】

1.【山东省日照第一中学2017届高三4月“圆梦之旅”（九）文数】命题

“

”的否定是 A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】特称命题的否定只需将存在量词改为全称量词，并将结论否定即可．故本题答案选．

2.【内蒙古集宁一中2017届高三上学期第一次月考文数】已知命题：

（ ）

A.

B. C.

D. 【答案】C

考点：全称命题与特称命题

【知识链接】

1．全称量词与全称命题

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．

（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ?∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．

2．存在量词与特称命题

（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．

（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．

（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ?∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．

练习测试

1．命题p ：若0a b ?>，则a 与的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)

上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 或q ”是假命题

C ．?p 为假命题

D ．?q 为假命题 【答案】B

【解析】∵当0a b ?>时，a 与的夹角为锐角或零度角，

∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如

1,0()2,0

x x f x x x -+≤?=?-+>?， 综上可知，“p 或q ”是假命题． 2.【2017福建三明5月质检】已知命题1:p 若sin 0x ≠，则1sin 2sin x x +

≥恒成立； 2:0p x y +=的充要条件是1x y =-．则下列命题为真命题的是（

） A. 12p p ∧ B. 12p p ∨ C. ()12p p ∧? D. ()12p p ?∨

【答案】D

3.【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅰ）】已知命题

p ：000,sin cos x x x ?∈+=R ；命题：函数()1

21()2

x f x x =-有一个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．q ? D ．()p q ∧?

【答案】B

4 2

2

O

y

4

2

2

O

y

，则恒成立；的充要条件是

【答案】D

【解析】sin0

<时，

1

1

sin2,

sin

x p

x

+≤-∴为假，

1

p

?为真；

又0

x y

==时，1

x

y

≠-，而1

x

y

=-时，一定有

2

0,

x y p

+=∴为假，

2

p

?为真，据真值表可得()12

p p

?∨为真，故选D.

6.【河南省普通高中2017届高三4月教学质量监测文数】已知命题()

:1,

p x

?∈+∞，2168

x x

+>

则命题p的否定为（）

A ．():1,p x ??∈+∞，2168x x +≤

B ．():1,p x ??∈+∞，2168x x +<

C ．()0:1,p x ??∈+∞，200168x x +≤

D ．()0:1,p x ??∈+∞，200168x x +<

【答案】C 【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为，.选C.

7.【山东省德州市2017届高三下学期4月二模考试文数】下列说法正确的是（ ）

A. 命题“，使得”的否定是：“，”

B. 命题“若

，则或”的否命题是：“若

，则或”

C. 直线：，：，的充要条件是

D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题

【答案】D

8.【山东省实验中学2017届高三下学期一模考试（4月）文数】下列叙述中正确的是（ ）

A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B. 命题“，使得”的否定“，使得”

C. “”是“”成立的必要不充分条件

D. 正弦函数是奇函数，是正弦函数，所以是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确

【答案】C

9.【陕西省西安市铁一中学2017届高三上学期第五次模拟考试文数】给出下列四个结论： ①命题“，”的否定是“，”； ②“若，则”的否命题是“若，则”； ③若“”或“”是真命题，则命题，一真一假； ④“函数有零点”是“函数在上为减函数”的充要条件. 其中正确结论的个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】A

【解析】由题意得，根据全程命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的； ②中，命题的否命题为“若，则”，所以是错误的； ③中，若“”或“”是真命题，则命题都是假命题； ④中，由函数

有零点，则，而函数为减函数，则，所以是错误的，故选A 。

考点：命题的真假判定。

10.给出下列四个命题中：

①命题：,sin cos x R x x ?∈+=

②(),0,23x x x ?∈-∞< ③,1x x R e x ?∈≥+

④对()(){},,43100x y x y x y ?∈+-=，则224x y +≥. 其中所有真命题的序号是 .

【答案】③④

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