欧式几何

欧式几何

932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。 一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。

欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说： 如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

其被称为不可证明。原因有二。

(一)。因为他与平行公设等价。任何与平行线有关的证明方法与他无关。

Playfair 公理。平行公设。给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。于是很多我们熟悉的命题都对他无效。

如：三角形内角和为两直角。 所有三角形的内角和都相等。 存在一对相似但不全等的三角形。 所有三角形都有外接圆。. 若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。 存在一对等距的直线。 若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。 三角形内角和为180度。

总而言之，他对一切与平行有关的定理“免疫”

(二)。它是欧几里得几何的五条基本公设之一，十大公理之一。除了其余的九条，我们不能用其他的“几何”结论去证明此公设。 欧式几何的五条公设是：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 4、所有直角都全等。 5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

欧式几何的五条公理是：

1、等于同量的量彼此相等。 2、等量加等量，其和仍相等。 3、等量减等量，其差仍相等。 4、彼此能够重合的物体是全等的。 5、整体大于部分。 二.证明方法：

好了我们的限制条件已经很清楚了。不能用平行，不能用上层结论证明此公设。 那么，我们开始吧。

首先，我们做任意三角形⊿ABC。如图

图中。

三角形面积X。∠a=∠a′ ∠b=∠b′ ∠c=∠c′

直线L1的长度=（射线CA的长度+射线AC的长度-线段AC的长度） 直线L2的长度=（射线CB的长度+射线BC的长度-线段BC的长度） 直线L3的长度=（射线BA的长度+射线AB的长度-线段AB的长度）

1=（射线CA的长度+射线AC的长度-线段AC的长度）/（直线L1的长度） 1=（射线CB的长度+射线BC的长度-线段BC的长度）/（直线L2的长度） 1=（射线BA的长度+射线AB的长度-线段AB的长度）/（直线L3的长度）

1=（射线CA的长度+射线AC的长度）/（直线L1的长度）-（线段AC的长度）/（直线L1的长度）

1=（射线CB的长度+射线BC的长度）/（直线L2的长度）-（线段BC的长度）/（直线L2的长度）

1=（射线BA的长度+射线AB的长度）/（直线L3的长度）-（线段AB的长度）/（直线L3的长度）

（呵呵，大家是不是已经猜出来我要干什么了？）

由第二公设可知，线段是直线的一部分。线段为有限量。直线为无限量。（第二公设，任意线段能无限延伸成一条直线。） 由第五公理可知，直线大于线段。（第五公理，整体大于部分。）

当直线的长度趋近于无穷大时，射线的长度也趋近与无穷大，而线段的长度依然是有限值。则当直线趋近无穷大的时候，其中有限的一部分线段长度可以近似看作0。

（AB,BC,AC为线段，长度有限。L1，L2，L3为直线。长度无限。我们把L1，L2,L3无限拉长。则三角形的三条边线段AB,BC,AC作为直线的一部分，其在直线中所占的比例将被

无限缩小。）

直到当我们离平面无限远时，我们可以得到下图。

此时我们的⊿ABC的相对面积X近似于零，而⊿ABC的A,B,C三点近似聚焦变成了点O。

2∠a′+ 2∠ b′+ 2∠c′=360° ∠a′+ ∠ b′+ ∠c′=180° ∠a + ∠ b+ ∠c =180°

从而证明三角形内角和为180°

于是我们可以看到第五公设可以转化为。

在一个平面内，若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于小于180°（两个直角），则这两条直线在这一边必定构成一个三角形（相交）。 证明完毕。

首先，我没有用任何有关平行的概念，其次我也没有用任何有关几何体系中的上层概念。突破点仅仅只是无限与有限的概念在几何中的一种运用。 如果非要说我的证明是错的，那我也无话可说。

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