（可修改打印）2017年贵州省黔东南州中考数学试卷（详

2017年 贵州省黔东南州中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分， 共40分） 1．（4分）|﹣2|的值是（ ） A．﹣2 B．2

C．﹣ D．

2．（4分）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）

A．120° B．90° C．100° D．30°

3．（4分）下列运算结果正确的是（ ） A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2

C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b

4．（4分）如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ）

A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱

5．（4分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）

A．2 B．﹣1 C． D．4

+

的值

6．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则为（ ） A．2

B．﹣1 C．

D．﹣2

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7．（4分）分式方程A．﹣1或3 B．﹣1 C．3

=1﹣的根为（ ）

D．1或﹣3

8．（4分）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）

A．60° B．67.5° C．75° D．54°

9．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：

①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ） A．2017

B．2016 C．191 D．190

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二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A的坐标为 ．

12．（4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 使得△ABC≌△DEF．

13．（4分）在实数范围内因式分解：x5﹣4x= ．

14．（4分）黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是 kg．

15．（4分）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 ．

16．（4分）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…

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按此规律继续下去，则点B2017的坐标为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．（8分）计算：﹣1﹣2+|﹣

﹣

|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+

）÷

，其中x=

． +1．

18．（8分）先化简，再求值：（x﹣1﹣

19．（8分）解不等式组

，并把解集在数轴上表示出来．

20．（12分）某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表． 身高分组 152≤x＜155 155≤x＜158 158≤x＜161 161≤x＜164 164≤x＜167 167≤x＜170 170≤x＜173 频数 频率 3 7 m 13 9 3 1 0.06 0.14 0.28 n 0.18 0.06 0.02 根据以上统计图表完成下列问题：

（1）统计表中m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整；

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（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内；

（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．

21．（12分）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．

（1）求证：PT2=PA?PB； （2）若PT=TB=

，求图中阴影部分的面积．

22．（12分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数） （参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈2.24）

≈1.41，

≈1.73，

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23．（12分）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成． （1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？

（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．

24．（14分）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

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2017年贵州省黔东南州中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）（2017?黔东南州）|﹣2|的值是（ ） A．﹣2 B．2

C．﹣ D．

【分析】根据绝对值的性质作答． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴|﹣2|=2． 故选B．

【点评】本题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（4分）（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）

A．120° B．90° C．100° D．30°

【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

3．（4分）（2017?黔东南州）下列运算结果正确的是（ ） A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2

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C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=2a，不符合题意； B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意； C、原式=﹣3b，符合题意； D、原式=a2+ab，不符合题意， 故选C

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（4分）（2017?黔东南州）如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ）

A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱

【分析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据主视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱．

【解答】解：∵左视图和俯视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵主视图是一个三角形， ∴此几何体为正三棱柱． 故选：D．

【点评】考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由左视图和俯视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由主视图可确定几何体的具体形状．

5．（4分）（2017?黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）

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A．2 B．﹣1 C． D．4

【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论． 【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，∠CEO=90°， ∵∠A=15°， ∴∠COE=30°， ∵OC=2， ∴CE=OC=1， ∴CD=2CE=2， 故选A．

【点评】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．

6．（4分）（2017?黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则A．2

+

的值为（ ）

D．﹣2

B．﹣1 C．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+

=

，然后利用整体代入的方法计算

【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1， 所以

+

=

=

=﹣2．

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

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7．（4分）（2017?黔东南州）分式方程A．﹣1或3 B．﹣1 C．3

D．1或﹣3

=1﹣的根为（ ）

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x， 解得：x=﹣1或x=3，

经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3， 故选C

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

8．（4分）（2017?黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）

A．60° B．67.5° C．75° D．54°

【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB=∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，连接DF、BF．

∵FE⊥AB，AE=EB， ∴FA=FB，

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∵AF=2AE， ∴AF=AB=FB，

∴△AFB是等边三角形， ∵AF=AD=AB，

∴点A是△DBF的外接圆的圆心， ∴∠FDB=∠FAB=30°， ∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠FAD=∠FBC， ∴△FAD≌△FBC， ∴∠ADF=∠FCB=15°，

∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°． 故选A．

解法二：连接BF．易知∠FCB=15°，∠DOC=∠OBC+∠FCB=45°+15°=60°

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

9．（4分）（2017?黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：

①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断； ②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y

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轴交点位置得到c＞0，则可作判断；

③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；

④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．

【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， 所以①错误；

②∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b同号， ∴b＞0，

∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0， 所以②正确；

③∵x=﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0，

∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣

=﹣1，

∴b=2a，

∴a﹣2a+c＜0，即a＞c， 所以③正确；

④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 所以④正确．

所以本题正确的有：②③④，三个， 故选C．

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【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），要熟练掌握以下几点：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；

③常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；

④抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

10．（4分）（2017?黔东南州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ） A．2017

B．2016

C．191 D．190

【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数； 【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2； （a+b）4的第三项系数为6=1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；

不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）， ∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190， 故选 D．

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【点评】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2017?黔东南州）在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A的坐标为 （1，﹣1） ． 【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：A的横坐标+3，纵坐标﹣2，即可求出平移后的坐标， ∴平移后A的坐标为（1，﹣1） 故答案为：（1，﹣1）

【点评】本题考查坐标平移规律，解题的关键是根据题意进行坐标变换即可，本题属于基础题型．

12．（4分）（2017?黔东南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 ∠A=∠D 使得△ABC≌△DEF．

【分析】根据全等三角形的判定定理填空． 【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下： ∵FB=CE， ∴BC=EF． 又∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∴在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）． 故答案是：∠A=∠D．

第14页（共27页）

，

【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．

13．（4分）（2017?黔东南州）在实数范围内因式分解：x5﹣4x= x（x2+2）（x+（x﹣） ．

）【分析】先提取公因式x，再把4写成22的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．

【解答】解：原式=x（x4﹣22）， =x（x2+2）（x2﹣2） =x（x2+2）（x+

）（x﹣

）， ）（x﹣

）．

的形式继续分

故答案是：x（x2+2）（x+

【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，注意把2写成解因式，分解因式一定要彻底．

14．（4分）（2017?黔东南州）黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是 560 kg．

【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质蓝莓”产量． 【解答】解：由题意可得，

该果农今年的“优质蓝莓”产量约是：800×0.7=560kg， 故答案为：560．

第15页（共27页）

【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率估计出所求问题的答案．

15．（4分）（2017?黔东南州）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 ﹣8 ．

【分析】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．

【解答】解：设A（a，b），则B（2a，2b）， ∵点A在反比例函数y1=﹣的图象上， ∴ab=﹣2；

∵B点在反比例函数y2=的图象上， ∴k=2a?2b=4ab=﹣8． 故答案是：﹣8．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

16．（4分）（2017?黔东南州）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为 （0，﹣31009） ．

第16页（共27页）

【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B2017的坐标．

【解答】解：由题意可得， OB=OA?tan60°=1×OB1=OB?tan60°=OB2=OB1?tan60°=（…

∵2017÷4=506…1， ∴点B2017的坐标为（0，﹣故答案为：（0，﹣31009）．

【点评】本题考查规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．

三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．（8分）（2017?黔东南州）计算：﹣12+|﹣

﹣

=， =（

）2=3，

）3，

）即（0，﹣31009），

﹣

0

|+（π﹣3.14）﹣tan60°+

．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣1+（=3

）+1﹣

【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角

第17页（共27页）

函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（8分）（2017?黔东南州）先化简，再求值：（x﹣1﹣x=

+1．

）÷

，其中

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=当x=

+1时，原式=

．

?

=

?

=x﹣1，

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（8分）（2017?黔东南州）解不等式组示出来．

，并把解集在数轴上表

【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来． 【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1， 由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7， 所以﹣7＜x≤1． 在数轴上表示为：

【点评】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．

20．（12分）（2017?黔东南州）某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表． 身高分组 152≤x＜155

频数 频率 3 0.06 第18页（共27页）

155≤x＜158 158≤x＜161 161≤x＜164 164≤x＜167 167≤x＜170 170≤x＜173 7 m 13 9 3 1 0.14 0.28 n 0.18 0.06 0.02 根据以上统计图表完成下列问题：

（1）统计表中m= 14 ，n= 0.26 ，并将频数分布直方图补充完整； （2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 161≤x＜164 范围内； （3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．

【分析】（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；

（2）根据中位数的定义即可判断； （3）画出树状图即可解决问题；

【解答】解：（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50， ∴m=50×0.28=14，n=故答案为14，0.26． 频数分布直方图：

第19页（共27页）

=0.26．

（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内， 故答案为 161≤x＜164．

（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：

所以P（两学生来自同一所班级）==．

【点评】本题考查列表法和树状图法、频率分布表、频率分布直方图等知识，解题的关键是理解题意，学会画树状图解决问题，属于中考常考题型．

21．（12分）（2017?黔东南州）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．

第20页（共27页）

（1）求证：PT2=PA?PB； （2）若PT=TB=

，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得题；

=，由此即可解决问

（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可； 【解答】（1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线， ∴PT⊥OT， ∴∠PTO=90°， ∴∠PTA+∠OTA=90°， ∵AB是直径， ∴∠ATB=90°， ∴∠TAB+∠B=90°， ∵OT=OA， ∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P， ∴△PTA∽△PBT， ∴

=

，

∴PT2=PA?PB．

（2）∵TP=TB=

，

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∴∠P=∠B=∠PTA， ∵∠TAB=∠P+∠PTA， ∴∠TAB=2∠B， ∵∠TAB+∠B=90°， ∴∠TAB=60°，∠B=30°， ∴tanB=∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°， ∴△AOT是等边三角形， ∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=

﹣

?12=

﹣

．

=

，

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、扇形的面积等计算等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是证明△AOT的等边三角形．

22．（12分）（2017?黔东南州）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈2.24）

≈1.41，

≈1.73，

【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．

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【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′， ∵CD=12米，∠DCE=60°， ∴DE=CD?sin60°=12×

=6

米，CE=CD?cos60°=12×=6米．

∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形， ∴DE=D′E′=6

米．

∵∠D′CE′=39°， ∴CE′=

≈

≈12.8，

∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

23．（12分）（2017?黔东南州）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．

（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？

（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．

【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程

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组即可解决问题；

（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则

+

=1，解得x=6．由

此可得m的范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．

由题意，解得，

经检验是分式方程组的解，

和

．

∴甲、乙两队工作效率分别是

（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成． 则

+

=1，解得x=6．

∴甲工作6天， ∵甲12天完成任务， ∴6≤m≤12．

∵完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天， ∴

+

=1，

∴n=24﹣2m，

∴w=3000m+1400（24﹣2m）=200m+33600， ∵200＞0，

∴m=6时，此时费用最小，

∴w的最小值为200×6+33600=34800元．

【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程组的应用等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

24．（14分）（2017?黔东南州）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．

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（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB； （3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+

：2：1．则△PEF的面积=PF2，

），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x

的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+

．

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．

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把x=0代入y=﹣x+4得：y=4， ∴A（0，4）．

将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8， ∴B（8，0）． ∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4）， ∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO=． ∴∠MAG=∠ABO． ∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°． ∴l是⊙M的切线．

（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD． ∴tan∠FPE=． ∴PF：PE：EF=

：2：1．

PF?

PF=PF2．

∴△PEF的面积=PE?EF=×

∴当PF最小时，△PEF的面积最小． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+（x﹣）2+

），则F（x，﹣x+4）． ）=﹣x+4+x2+x﹣

=x2﹣

x+

=

．

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∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为∴P（，

）．

）2=

．

∴△PEF的面积的最小值为=×（

．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、锐角三角函数的定义，列出PF与x的函数关系式是解题的关键．

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