数字信号处理 第六章 无限冲击响应数字滤波器设计(白底)

无限冲击响应数字滤波器设计(白底)

第六章

IIR DF

无限脉冲响应数字滤波器的设计

无限冲击响应数字滤波器设计(白底)

§6-1

数字滤波器的基本概念

数字滤波器：输入、输出： 数字滤波器：输入、输出：数字信号 运算关系改变输入信号频率成分的比例，滤出某些频率成分。 运算关系改变输入信号频率成分的比例，滤出某些频率成分。 一、数字滤波器的分类 1. 经典滤波器 处理信号和噪声的频谱不交叠情况 经典滤波器(处理信号和噪声的频谱不交叠情况 处理信号和噪声的频谱不交叠情况) 按频带分：低通、高通、带通、带阻和全通。( 。(注意数 按频带分：低通、高通、带通、带阻和全通。(注意数 字频率) 字频率) 按单位脉冲响应分类： 、 按单位脉冲响应分类：IIR、FIR

H(z) =

b z r ∑r 1+∑ k z k ak= 1 r=0 N

M

;

H(z) = ∑ (n)z n hn=0

1 N

2. 现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等 从混有随机噪声的记录中估计出所关心的信号。 从混有随机噪声的记录中估计出所关心的信号。

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滤波器设计的步骤 数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。 数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。 1. 根据任务，确定性能指标。 根据任务，确定性能指标。 2. 用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。 用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。 3. 用有限精度算法实现这个系统函数。(包括 用有限精度算法实现这个系统函数。(包括 。( 选择运算结构、选择合适的字长、 选择运算结构、选择合适的字长、有效数字 处理方法 处理方法) 4. 用适当的软、硬件技术实现 用适当的软、 包括采用：通用计算机软件、 包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬 或者二者结合。 件、或者二者结合。

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二 数字滤波器的技术要求1.数字滤波器的传递函数 数字滤波器的传递函数

H(ejω ) = H(ejω ) ejQ(ω)H(ejω ) 称为幅频特性，Q(ω) 称为相频特性 称为幅频特性，2、DF的技术要求(低通为例) 、 的技术要求 低通为例) 的技术要求(H (e jω )1 δ1

滤波器设计应满足技术要求： 滤波器设计应满足技术要求：

通 ： ≤ω ≤ωp , (1 δ1) < H(ejω ) ≤1 带0阻 ： s ≤ω ≤π, H(ejω ) ≤δ2 带 ω

δ2

ω p ωc ωs通带截止频率

ω

过 带 ωp ≤ω ≤ωs 曲 单 下 渡 ： 线 调 降

ωp

ω s

阻带截止频率

δ1 通 容 误 带 许 差

δ2 阻 容 误 带 许 差

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H (e jω )1

αp

αs0

ωp

ωsH(ej0) ) H(ejωp )

ωdB

一般幅频特性用dB 表示，若通 一般幅频特性用 表示， 带内允许的最大衰减为αp ,阻 带内允许的最小衰减为 αs 。幅 频特性应满足的关系为： 频特性应满足的关系为：

αp ≤ 20lg

as ≥ 20lg

H(ej0) ) H

(ejωs )

dB

若H(ej0) 归 化 1 则 一 为， :

αp = 20lg H(e )

jωp

dB

αp = 20lg H(ejω )s

dB

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三、数字滤波器的设计方法概述 1、IIR滤波器的设计方法 (第6章) 、 滤波器的设计方法 章 (1)借助于模拟滤波器的设计方法进行设计 ) Ha(s)- H(z) - (2)直接在频域或者时域中进行设计 ) 2、FIR滤波器的设计方法(第7章) 、 滤波器的设计方法( 滤波器的设计方法 章 (1)窗函数和频率采样法 ) (2)切比雪夫等波纹逼近法 )

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6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器常见的几种形式

Ha ( j )低通

Ha ( j )

高通

Ha ( j )带通

Ha ( j )带阻

各种理想滤波器的幅频特性

我们一般只需设计低通 其它形式可以通过变换得到。 只需设计低通， 我们一般只需设计低通，其它形式可以通过变换得到。

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一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 1. 模拟滤波器的设计指标

给 指 p和 s , 及 应 αp和 s, 定 标 对 的 α 其 计 标 满 ： 设 指 应 足

ap ≤10lg

Ha ( j0)

2 2

Ha ( j p )

as ≥10lg

Ha ( j0)

2 2

Ha ( j s )

设H ( j =0 =1 得 ) , : a

ap ≤ 10lg Ha ( j p )

2

as ≥ 10lg Ha ( j ) s

2

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2、逼近方法 、 寻找一个传输函数 标 αp和 s ,即： α

Ha (s) 使其幅度平方函数满足给定指2

ap ≤ 10lg Ha ( j p )

as ≥ 10lg Ha ( j ) s

2

根据上式求出幅度平方函数 根据上式求出幅度平方函数

Ha ( j )

2

由于一般滤波器的单位脉冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位脉冲响应为实数，其传递函数是对 称的， 称的，有：* Ha ( j ) = Ha (s)Ha ( s) s= j = Ha ( j )Ha ( j ) 2

确定 Ha ( j ) 极、零点，并将左半S平面极点分配给 Ha (s) , 零点，并将左半 平面极点分配给 此系统是因果稳定的。 得到滤波器的传递函数 Ha (s) ,此系统是因果稳定的。

2

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二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法1、幅度平方函数 、) Ha ( j =2

1 1+ c2N

其中， 为整数 是滤波器的阶数； 为整数， 截止频率。 其中，N为整数，是滤波器的阶数； c 为3dB 截止频率。 当 = 0时，则

Ha ( j0) =1当 = c 则

Ha ( j ) = 1 2 = 0.707 c

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2、幅频特性 、(1)通带内有最大平坦的幅度特性； )通带内有最大平坦的幅度特性； (2)通带和阻带内幅度特性单调变化 ) 愈大通带内幅度愈接近1, (3)N愈大通带内幅度愈接近 ，过 ) 愈大通带内幅度愈接近 渡带幅度下降愈快， 渡带幅度下降愈快，愈接近理 想曲线。 想曲线。 N=2 (2)不管N为多少，都通过 )不管 为多少， 为多少 N=4 点。 N=8

Ha ( j )11 2

c巴特沃斯幅度特性和N的关系 巴特沃斯幅度特性和 的关系

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3、巴特沃斯滤波器

的极、零点分布 、巴特沃斯滤波器的极、 1 由于 H (s)H ( s) = 所以其零点全部 a a 2N s 1+ 在 s =∞ ; 处 j c令分母= ,得极点： 令分母=0,得极点：

sk = ( 1 ( j ) = e ) c c例如，N=3时， 例如， 时

1 2N

1 2k+ 1 jπ[ + ] 2 2N

, k = 0,1 L N 1 ,2 ,2j

s0 = ces3 = ce

j 2π 3

s0

s5

s1 = c s2 = ce

j 2π 3

s1s2

s4s3

j 1π 3

s4 = c

s5 = ce

j 1π 3

c

σ

也就是说，这些极点也是呈象限对称的。 也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布 在巴特沃斯圆上( 共有2N点 在巴特沃斯圆上(半径为 c), 共有 点。

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j

s0

s5

s1Ha (s)Ha ( s) 极、零点分布特征： 零点分布特征：1. 2. 3. 4.

s4s2s3

c

σ

零点在S平面无穷远处。 零点在 平面无穷远处。 平面无穷远处 虚轴无极点。 虚轴无极点。 极点分布关于虚轴对称， 极点分布关于虚轴对称，分布在半径为 的圆上 c 极点个数为2N个 极点个数为 个。

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4、巴特沃斯滤波器的系统函数 、Ha (s)Ha ( s) = 1 1+ s j c 2N

Ha (s)

将S平面左半平面的极点 平面左半平面的极点

sk = ce

+ jπ ( 1 +2kN1) 2 2

,

k = 0,1 ,2....N 1

分 给 a (s), Butterw 滤 器 统 数 配 H 得 orth 波 系 函 ：

Ha (s) = N 1k=0

N c

∏(s s )k

其 c 为 度 一 因 。 中 N 幅 归 化 子

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5、归一化的Butterworth滤波器的系统函数 、归一化的 滤波器的系统函数 实际各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一, 实际各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频 率归一化,归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系 率归一化,归一化的 滤波器的极点分布以及相应系 数都有现成表可查( 数都有现成表可查(P157)。 )。 N c 由 Ha (s) = N 1 : ∏(s sk )k=0

分 分 同 ,得 Ha (s) = N 1 子 母 除 ：N c

1

因为

令 = c 称 归 化 率 p = jλ 称 归 化 变 λ 为 一 频 ； 为 一 复 量 1 归一化巴特沃斯的传输函数为 Ha ( p) = N 1 ∏( p pk )k=0

s = j c c

s sk ) ∏( c c k=0

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Ha ( p) = N 1k=0

1k

∏( p p )

1 = b0 +b p +b2 p2 +L+bN 1 pN 1 + pN 1

式中的

pk 为归一化极点，可查表得到 为归一化极点，可查表得到.也可用下式计算： 也可用下式计算：

pk = e

1 2k+1 jπ ( + ) 2 2N

,

k = 0,1L N 1 , ,

bk , k = 0,1L N 1 分 多 式 数 可 表 到 p157) , , 为 母 项 系 ， 查 得 ( 阶 N、 k或 k被 定 ， 一 传 函 Ha ( p)被 一 定 数 p b 确 后归 化 递 数 唯 确 。

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6、 给 参 p , s ,αp ,αs确 阶 N和 c 由 定 数 定 数 根据： 根据：

α p = 10lg Ha ( j p )

2

2 αs = 10lg Ha ( j ) s

式 ： a ( j = 中H )2

1 1+ c2N

得 1

+ :

( ) cN

p 2N

=10ap 10

ap 10

1+

( )

s 2N c

=10 1

as

10

p 10 1 即 : = as 10 10 1 s

有 N = lg :

10

ap 10 as

10 10 1

lg

p s

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计算3dB截止频率 c 截止频率 计算

Q 1+

( ) c

p 2N

=10 1 )

ap 10

1+

( )

s 2N c

=10

as

10

= p (10 c

0.1ap

1 2N

或 = s (10 c

0.1as

1 )

1 2N

低通巴特沃斯filter的设计步骤 的设计步骤 低通巴特沃斯( 根 技 指 p , ,αp ,αs计 阶 N和 c 1 ) 据 术 标 算 数 s () N查 得 k或 k 归 化 递 数 a ( p) 2 由 表 p b 一 传 函 H s (3 令 = ) p 将 a ( p)去 一 得 Ha (s) H 归 化 到 c

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低通巴特沃斯filter的设计举例 的设计举例 低通巴特沃斯

z 已通带截止频率 fs =12kH ,通带最大衰减 αp = 2dB z 阻带截止频率 f p = 5kH ,阻带最小衰减 αs = 30dB 设计巴特沃斯低通滤波器。 设计巴特沃斯低通滤波器。解： (1) 确定阶数 确定阶数N.αp10

p 1 10 1 N = lg lg s 2π fs s 10 1 λsp = = = 2.4 p 2π f p

ksp =

10

1

10

αs

=0.0242

10

ap 10 as

10

lg0.0242 = = 4.25 N = lgλsp lg2.4

lgksp

取N=5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/czui.html