八年级丁保荣数学培优带答案 第六章课堂学习一

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6—6徐君家有一块如图3形状的木板，突出的一角是一个小正方形，边长5cm，同它相连的一个中正方形，其

面积是400cm2，这个中正方形又同面积为1600cm2的大正方形相连接，合计面积正好是2025cm2.徐君的爸爸打算把它做成一个边长为45cm的正方形挡风板，应怎样来锯木板才能使锯出的块数最少？ 解：看书本P203页第12 题的答案。

6—13

6—14

如图6－8，过正方形内某一点，先作出两条与正方形平行的直线，再作两条与正方形对角线平行的直线，把正方形分割成8块。求证：图中阴影部分的四块面积总和与其余四块面积总和相等 答案见P204

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6—19平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一

组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接（1）若平面上恰好有九个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2、3、4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点

满意答案

蝶舞·沧海 1级 2012-11-20

（1）设分成的三组为A组、B组、C组，九个点平均分成三组，那么A组、B组、C组内都含有三个点，组与组的组合共有三种:A与B,B与C,C与A。每对组合都可以连成3*3=9条线段，所以此时平面上共有3*9=27条线段。（A与B、B与A这种交换顺序的组合对所连成的线段每有任何不同）

（2）假设A组、B组、C组的点数分别是2、3、4（只是为了陈述的方便，其实至于哪个组对应什么点数对答案没有任何影响）。那么A与B、B与C、C与A的组合分别可以连成的线段数为2*3、3*4、4*2，所以此时平面上有2*3+3*4+4*2=6+12+8=26条线段。

（3）平面上至少有24个点。 下面是我对这个问题的证明：

一、为了更简易的理解这个问题，首先我们来证明一个简单的命题：将上面的问题中的点数改成8个点，分成的组数改成两组，证明只有当两组的点数相等时，连成的线段数最多。

设分成的这两组的点数为a、b，那么a+b=8,由这两组的点连成的线段条数为a*b(简称ab),因为(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0 即a^2+b^2≥2ab(a^2 表示a的平方）

并且只有当a-b=0即a=b时,上面的不等式中的等号才成立。 因为a^2+b^2≥2ab，所以ab≤（a^2+b^2）/2 所以ab的最大值为（a^2+b^2）/2

并且只有当a=b时, ab达到这个最大值（a^2+b^2）/2

也就是在这个问题中要只有当a=b=4时,连成的线段条数ab有最大值（4^2+4^2）/2=16(或者就是4*4=16)。 二、下面就来证明本题的结论.

首先我们来证明这样一个命题：当a=b=c时，ab+bc+ca达到最大值a^2+b^2+c^2 因为a^2+b^2≥2ab① 同理b^2+c^2≥2bc② c^2+a^2≥2ca③

①+②+③得到a^2+b^2 +b^2+c^2+ c^2+a^2≥2ab+2bc+2ca，并且要此不等式的等号成立必须在①②③的等号全部成立，而①②③的等号全部成立就必须a=b，b=c，c=a。 即2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca 即a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca

即ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2，并且只有当a=b，b=c，c=a时，该不等式的等号才成立。也就是只有当a=b，b=c，c=a时，ab+bc+ca才达到最大值a^2+b^2+c^2。

现在假设有24个点，分成三组，三组的点数依次为a、b、c，连成的线段条数就为ab+bc+ca，根据以上证明，只有当a=b=c=8时，连成的线段条数达到最大值a^2+b^2+c^2＝8^2+8^2+8^2＝192。所以当平面上有24点时，连成的线段条数的最大值为192，也就是说如果平面如果平面上的点数如果低于24的话，那么连成的线段条数也就肯定小于192。所以得到本题的结论是平面的点数至少为24。

6—20-------6-21-------------6-22见P205

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