2019届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学文试题Word版含答案

2019届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试

数学文试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上经所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共12小题。

1.设集合A?x?Z?x?1?＜0，集合B=?2,3,4?，则A?B= （x-4）A.（2,4） B.{2.4} C.{3} D.{2,3} 2.若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是 A.x2＜y2 B.

??11＜ C.x＞1 D.y＜0 xy3.已知向量a=（x-1,2），b=（x，1），且a∥b，则x的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.若tan??-??π???2，则tan2?? 4?33 D. 44A.-3 B.3 C.-5.某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。

A.13 B.14 C.15 D.16 6. 已知命题p：?x0?R，使得e题的是 A.

p B.?q C.p?q D.p?q

x0?0：命题q：a，b?R,若a-1?b-2，则a-b=-1，下列命题为真命

7. 函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当-1≤x≤1时，f（x）=|x|。若函数y=f（x）的图象与函数g

（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为 A.

（4,5） B.（4,6） C.{5} D.{6}

8. 已知函数f（x）?sin?x?3cos?x（?＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y=f（x）的图象向右平移A.

1个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是 6511x? B.x? C.x? D.x=0

63210. 已知0 ＜a＜b＜1，给出以下结论：

?1??1?①??＞??；②a2＞b3；③log1a＞log1b.则其中正确的结论个数是 ?2??3?23A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

11. 已知x1是函数f（x）=x+1-ln（x+2）的零点，（x）=x-2ax?4a?4的零点，且满足|x1-x2|x2是函数g≤1，则实数a的最小值是 A.

-1 B.-2 C.2-22 D.1-22

222ab1112. 已知a，b，c∈R，且满足b?c?1，如果存在两条相互垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a?2b?3c的取值范围是

A. [-2,2] B.[-5，5] C.[-6，6] D.[-22,22] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项:

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

?x?y?6，?则z?2x?y的最小值是 。 13. 已知变量x，y满足约束条件?x-3y?-2，?x?1，?14. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是 。 15. 在△ABC中，AB=2，AC=4，∠A=

π，且M，N是边BC的两个三等分点，则 3AM?AN= .

16. 已知数列?an??an?是单调递增数列，则实数m的取值范围满足a1?m，且an?1?an?2n?1，如果是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本题满分12分）

-＜?＜）的部分图象如右图所示。 若函数f（x）=Asin（?x??）（A＞0，?＞0，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

π2π2（0，），且f（a）?（Ⅱ）设??

18. （本题满分12分）

π36，sin2?的值。 5设公差大于0的等差数列?an?记数列?的前n项和为Sn,已知S3?15，且a1，a4，a13成等比数列，的前n项和为Tn. （Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若对于任意的n∈N,tTn＜an?11恒成立，求实数t的取值范围。

??1??aa?nn?1?19. （本题满分12分） 在△ABC中，∠B=

2π，D是边BC上一点，且AD?23，BD?2. 3（Ⅰ）求∠ADC的大小；

（Ⅱ）若AC=213,求△ABC的面积。

20. （本题满分12分）

已知函数f（x）=x?x-x?a（a∈R）. （Ⅰ）求f（x）在区间[-1,2]上的最值；

（Ⅱ）若过点P（1,4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围。

21. （本题满分12分） 函数f（x）=-lnx?3212ax?（a-1）x-（2a?R） 23. 2a（Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥-

请考生在第22,23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. （本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]

?x?3?5cos?，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是?（?为参数）。以坐标原点O为极点，x轴正半

y?4?5sin??轴为极轴，建立极坐标系。 （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）设l1：??

23（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+3|. （Ⅰ）解不等式f（x）≥6；

（Ⅱ）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值。

ππ，l2：??，若l1、l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积。 63

2019届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试

数学文试题参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

3120(??，?)?(，??)2213．3 14． 15．3三、解答题：本大题共6小题，共70分．

1316．(2，2)

17．解 ：（Ⅰ）由图得，A?2． …………………………………………………1分

3?5?3?T???43124，解得T??，

2?于是由T=???，得??2．…………………………………………………3分

?2?2?f()?2sin(??)?2sin(??)?133∵ 3，即，

2??????2k????2k??2，k∈Z，即6，k∈Z， ∴ 3又

????(?，)22，所以

????f(x)?2sin(2x?)6． …………………6分 6，即

??6?32sin(2??)?sin(2??)?65，即65， (Ⅱ) 由已知

因为

???(0，)?63，所以

2???6?(??，)62，

45． …………………………………8分

?cos(2??∴

)?1?sin2(2???6)?sin2??sin[(2??)?]?sin(2??)cos?cos(2??)sin666666 ∴

3341???5252 =?4?3310． ………………………………………………………12分

??????18．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，

3?2d2由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，① ………………………2分

又∵ a1，a4，a13成等比数列，

∴ a4=a1a13，即(a1+3d)=a1(a1+12d)，化简3d=2a1，② ………………4分 联立①②解得a1=3，d=2，

∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ……………………………………………………5分

2

2

∴

11111??(?)anan?1(2n?1)(2n?3)22n?12n?3，

∴

1111111111nTn?[(?)?(?)???(?)]?(?)?235572n?12n?3232n?33(2n?3)．

……………………………………………………7分 (Ⅱ) ∵ tTn?an+11，即

tn?2n?123(2n?3)，

3(2n?12)(2n?3)3(4n2?30n?36)9t???12(n?)?90nnn∴ ，………………9分

又

n?9n≥6 ，当且仅当n=3时，等号成立，

912(n?)?90n∴ ≥162， ……………………………………………………11分

∴ t?162．……………………………………………………………………12分

ADBD?19．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理sin?Bsin?BAD，

sin?BAD??BAD?BD?sin?B1?AD2， …………………………………………4分 ，?ADB???2?????366，

得

?6∴

∴

?ADC????6?5?6． ……………………………………………………6分

?(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=6，故AB=BD=2．

222在△ACD中，由余弦定理：AC?AD?CD?2AD?CD?cos?ADC，

即

52?12?CD2?2?23?CD?(?2

3)2， ……………………………………8分

整理得CD+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分 ∴ BC=BD+CD=4+2=6．

113?AB?BC?sin?B??2?6??33222∴ S△ABC=． ……………………12分

20．解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2x?1?(3x?1)(x?1) ， ……………………………1分

??11由f(x)?0解得x?或x??1；由f(x)?0解得?1?x?，

331上单调递减，在12]，于是f(x)在[?1，又x?[?1，[，2]上单调递增． ]33 …………………………………………………………………3分

15∵ f(?1)?a?1，f(2)?10?a，f()???a，

327∴ f(x)最大值是10+a，最小值是?5?a．………………………………5分 27(Ⅱ) 设切点Q(x，x3?x2?x?a)，P(1，4)， 则kPQx3?x2?x?a?4， ?f?(x)?3x?2x?1?x?12整理得2x3?2x2?2x?5?a?0， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令?(x)?2x3?2x2?2x?5?a， ∴ ??(x)?6x2?4x?2?2(3x?1)(x?1)， 由??(x)?0解得x?1或x??1，由??(x)?0解得?1?x?1， 331(??，?)??)上单调递增，在13，(1，即函数?(x)在(?，1)上单调递减．

3 …………………………………………………………………10分 要使得?(x)?0有3个根，则

，且

，

1?(?)?03?(1)?0

解得3?a?145，27

145(3，)27． ………………………………………………12分 即a的取值范围为

1ax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)21．解：（Ⅰ）f?(x)???ax?(a?1)?． …1分 ?xxx??)上单调递减；………………3分 ① 当a≤0时，f?(x)?0，则f(x)在(0，② 当a?0时，由

f?(x)?0解得x?11，由解得0?x?．

f?(x)?0aa11即f(x)在(0，)上单调递减；f(x)在(，??)上单调递增； aa??)；a?0时，f(x)的单调递减区间是(0，1)，f(x)综上，a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，a1的单调递增区间是(，??)． ……………………5分 a11(Ⅱ) 由（Ⅰ）知f(x)在(0，)上单调递减；f(x)在(，??)上单调递增， aa11则f(x)min?f()?lna??1． …………………………………………6分

a2a要证f(x)≥?即证

≥1?13，即证3，即1+?1≥0， lna??1≥?lnaa2a2a2a1．………………………………………………………………8分

a11a?11?1，则??(a)??2?2，

aaaalna构造函数?(a)?lna?由??(a)?0解得a?1，由??(a)?0解得0?a?1，

1)上单调递减；?(a)在(1，??)上单调递增； 即?(a)在(0，1∴ ?(a)min??(1)?ln1??1?0，

1即lna?1?1≥0成立． a3成立．………………………………………………………12分 2a2

2

从而f(x)≥?22．解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)+(y-4)=25，

即x+y-6x-8y=0． ……………………………………………………………2分 ∴ C的极坐标方程为??6cos??8sin?． …………………………………4分 （Ⅱ）把??2

2

?代入??6cos??8sin?，得?1?4?33，

6A(4?33，)6． ……………………………………………………………6分 ∴

把????代入??6cos??8sin?，得?2?3?43，

3B(3?43，)3． ……………………………………………………………8分 ∴

∴ S△AOB??1?1?2sin?AOB2

1???(4?33)(3?43)sin(?)236 ?12?2534． ……………………………………………………10分

323．解：（Ⅰ）当x≤2时，f(x)=-2-4x，

?31?x?2时，由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，………………………………………2分当2f(x)=4，

?1显然f(x)≥6不成立，……………………………3分当x≥2时，f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，

综合得x≥1，……………4分

?2]?[1，??)．…………………………………5分 所以f(x)≥6的解集是(??，(2x?1)?(2x?3)?4（Ⅱ）f(x)=|2x-1|+|2x+3|≥，

即f(x)的最小值m=4． ………………………………………………………7分

a?2b2)∵ a?2b≤， …………………………………………………………8分 2(a?2b2)由2ab?a?2b?4可得4?(a?2b)≤， 2(解得a?2b≥25?2，

∴ a?2b的最小值为25?2．………………………………………………10分

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