2010-2015年高考全国卷1理科数学试题及答案-（word版） - 图文

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6页。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题。

1+z（1）设复数z满足=i，则|z|=

1?z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 （2）sin20?cos10??cos160?sin10??

1133（A）? （B） （C）? （D）

2222（3）设命题P：?n?N，n2>2n，则?P为

（A）?n?N, n2>2n （B）? n?N, n2≤2n （C）?n?N, n2≤2n （D）? n?N, n2=2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

x2（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：?y2?1 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，

2????????????若MF1?MF2＜0，则y0的取值范围是

333322222323，）（B）（-，）（C）（?，） （D）（?，）

33333366（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

（7）设D为错误！未找到引用源。ABC所在平面内一点（A）（-BC?3BC，则

?1?4?（A）AD??AB?AC 错误！未找到引用源。

33?1?4?(B)AD?AB?AC

33??4?1?4?1?（C）AD?AB?AC (D)AD?AB?AC

3333

(8)函数f(x)=错误！未找到引用源。的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为

??1313(A)(k??,k??),k?Z (B)(2k??,2k??),k?Z

44441313(C)(k?,k?),k?Z (D)(2k?,2k?),k?Z

4444（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

5（10）错误！未找到引用源。的展开式中，x5y2的系数为 （x2?x?y）（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ） ?3?33??33??3A.??,1? B.??,? C.?,? D. ?,1? ?2e?2e4??2e?2e4?第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f(x)?xln(x?a?x2)为偶函数，则a= x2y2?1错误！未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x轴上，（14）一个圆经过椭圆?164则该圆的标准方程为 。

?x?1?0?（15）若x,y满足约束条件?x?y?0错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。

?x?y?4?0?x的最大值为 . y（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an?2an?4Sn?3错误！未找到引用源。

（Ⅰ）求{an}的通项公式，

1（Ⅱ）设bn?错误！未找到引用源。 ,求数列?bn?错误！未找到引用源。}的前n

anan?1项和。

（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

?x ??y ??w ?x?11?2（x1-x） ?x?11??2（w1-w） ?x?11?（x1-x） ?x?11??（w1-w）??(y-y) 1469 ??(y-y) 108.8 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 ??1表中w1 =x1, ，w =

8?w1

x?11（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）??.. （un vn）,其回归线v=???u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点，

4（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

1已知函数f（x）=x3?ax?,g(x)??lnx

4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；

（Ⅱ）用min ?m,n? 表示m,n中的最小值，设函数h(x)?min?f(x),g(x)论h（x）零点的个数

?(x?0) ，讨

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E (1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； (2)若OA=3CE，求∠ACB的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系?O?中。直线C1:?=?2，圆C2：???1?????2??1,以坐标原点为极点，

22?轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为?? 求?C2MN的面积

?4???R?，设C2与C3的交点为M,N ,

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数错误！未找到引用源。=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

附：150≈12.2.

若Z～N(?,?2)，则P(????Z????)=0.6826，P(??2??Z???2?)=0.9544. 19. （本小题满分12分）如图三棱锥ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C.

（Ⅰ） 证明：AC?AB1；

（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60o，

AB=Bc，求二面角A?A1B1?C1的余弦值.

x2y2320.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是

ab2椭圆的焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程.

23，O为坐标原点. 3bex?121.（本小题满分12分）设函数f(x0?aelnx?，曲线y?f(x)在点（1，f(1)处的切线为

xxy?e(x?1)?2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)?1.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD

是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，

证明：△ADE为等边三角形.

?x?2?tx2y2?1，23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：?直线l：?49?y?2?2t（t为参数）.

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若a?0,b?0，且

（Ⅰ）求a?b的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.

33o11??ab. ab参考答案

一、选择题

1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B 二、填空题

13. -20 14. A 15.

? 16. 3 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 解：

（Ⅰ）由题设，anan?1??Sn?1,an?1an?2??Sn?1?1

两式相减得an?1(an?2?an)??an?1，而an?1?0，?an?2?an?? （Ⅱ）a1a2??S1?1??a1?1，而a1?1，解得 a2???1，又{an}

令2a2?a1?a3，解得??4。此时a1?1,a2?3,a5,an?4 3?2?an??{an}是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在??4，使得{an}为等差数列。 18.（本小题满分12分） 解：

（Ⅰ）x?170?0.02+180?0.09+190?0.22+200?0.33+210?0.24+220?0.08+230?0.02=200

（Ⅱ）

19. （本小题满分12分）

解：

20.（本小题满分12分）

21.（本小题满分12分）

22.（本小题满分10分）

（1）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，?D??CBE

又?CB?CE，??CBE??E 所以?D??E

23.（本小题满分10分）

24. （本小题满分10分）

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．

答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：

样本数据x1,x2,?xn的标准差

(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2s?n球的面积公式

其中x为样本平均数

S?4?R2

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1.复数

1?2i（i是虚数单位）的虚部是 (B ) 1?iA．

31 B． C．3 D．1 222.已知R是实数集，M??xA．(1,2)

B．?0,2?

?2??1?,N?yy?x?1?1，则N?CRM?( D) x?? C.? D．?1,2?

??3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是(B) A．1 B．2 C．3 D．4 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0，则

S4?( A) S2A．5 B．8 C．?8 D．15 5.已知函数f(x)?sin(2x? A．

?6)，若存在a?(0,?)，使得f(x?a)?f(x?a)恒成立，则a的值是(D)

???? B． C． D． 6342( B )

6.已知m、n表示直线，?,?,?表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）????m,n??,n?m,则??? （2）???,????m,????n,则n?m （3）m??,m??,则?∥? （4）m??,n??,m?n,则??? A．（1）、（2）

B．（3）、（4）

C．（2）、（3）

D．（2）、（4）

7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若OA?3OB?2OC,则|AB||BC|等于(B)

A．1 B．2 C．3 D．4

8.已知三角形?ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为

3，则这个2三角形的周长是(D)

A．18 B．21 C．24 D．15 9.函数f(x)?lgx?

1的零点所在的区间是(B) x,??) A．?0,1? B．?1,10? C．?10,100? D．(10010.过直线y?x上一点P引圆x2?y2?6x?7?0的切线，则切线长的最小值为(C)

23210 B． C． D．2

222211.已知函数f(x)?x?ax?2b.若a,b都是区间?0,4?内的数，则使f(1)?0成立的概率是 (C)

A．

A．

5313 B． C． D．

8844x2y2??1，F为其右焦点，A1,A2是实轴的两端点，设P 为双曲线12.已知双曲线的标准方程为

916上不同于A1,A2的任意一点，直线A1P,A2P与直线x?a分别交于两点M,N,若FM?FN?0,则a的值为(B)

A．

9162516 B． C． D．

5995双曲线 x^2/9-y^2/16=1,

右焦点F(5.0)，A1(-3,0)，A2(3,0) 设P(x,y) M (a,m),N(a,n) ∵P,A1,M三点共线， ∴m/(a+3)=y/(x+3) ∴m=y(a+3)/(x+3) ∵P,A2,N三点共线， ∴n/(a-3)=y/(x-3) ∴n=y(a-3)/(x-3) ∵x^2/9-y^2/16=1 ∴(x^2-9)/9=y^2/16 ∴y^2/(x^2-9)=16/9

FM向量=(a-5,y(a+3)/(x+3)) FN向量=(a-5,y(a-3)/(x-3)) FM向量*FN向量

=(a-5)^2+y^2(a^2-9)/(x^2-9) =(a-5)^2+16(a^2-9)/9 ∵FM向量*FN向量=0 ∴(a-5)^2+16(a^2-9)/9=0 25a^2-90a+81=0 ∴a=9/5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需

改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.如图所示的程序框图输出的结果为____2______. 14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其球面上，则该球的表面积为_

1 1 第14题图

i?i?1 结束 开始 a?2,i?1 否 顶点都在一个 19? _________. 31 i?10 是 a?1 1?a输出 a 如图。F,H是上下底的中心，O是FH中点。则： AB＝2 AE＝√3, AF＝2√3/3 OF＝1/2 OA＝√﹙AF2+OF2﹚＝√﹙19/12﹚

球的表面积＝4π﹙19/12﹚＝19π/3≈19.89675﹙面积单位﹚ 向左转|向右转

第13题图

15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R?2(lgE?11.4)．2011年3月11日，日本东海岸3发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 10 倍． 16.给出下列命题： ①已知a,b都是正数，且,m32a?1a?，则a?b； b?1b②已知f?(x)是f(x)的导函数，若?x?R,f?(x)?0，则f(1)?f(2)一定成立； ③命题“?x?R，使得x?2x?1?0”的否定是真命题； ④“x?1,且y?1”是“x?y?2”的充要条件.

其中正确命题的序号是 ①③ .(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

?xxx已知向量a?(1,cos)与b?(3sin?cos,y)共线，且有函数y?f(x)．

222?2（Ⅰ）若f(x)?1，求cos(2??2x)的值； 3（Ⅱ）在?ABC中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c，且满足2acosC?c?2b，求函数f(B)的

取值范围.

解：（Ⅰ）∵a与b共线

??∴

1?xx3sin?cos22cosyx2

xxx31?1y?3sincos?cos2?sinx?(1?cosx)?sin(x?)?????3分

2222262∴f(x)?sin(x??6)??11?1，即sin(x?)? ????????????????4分

622cos(2????1?2x)?cos2(?x)?2cos2(?x)?1?2sin2(x?)?1?? 33362 ????????????????6分 （Ⅱ）已知2acosC?c?2b

由正弦定理得：

2sinAcosC?sinC?2sinB?2sin(A?C)2sinAcosC?sinC?2sinAcosC?2cosAsinC∴cosA?

1?，∴在?ABC中 ∠A? ????????????????8分

32f(B)?sin(B?∵∠A??6)?1 22???5?,?B?? ????????????????10分 3666?3 ∴0?B?∴

1?3?sin(B?)?1,1?f(B)? 2623] ????????????????12 2∴函数f(B)的取值范围为(1,18．（本小题满分12分）

已知等差数列?an?的前n项和为Sn，公差d?0,且S3?S5?50,a1,a4,a13成等比数列． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设??bn??是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的前n项和Tn. a?n?解：（Ⅰ）依题意得

3?24?5?3a?d?5a?d?50?11 ????????????????2分 22??(a?3d)2?a(a?12d)11?1解得??a1?3， ????????????????4分

?d?2?an?a1?(n?1)d?3?2(n?1)?2n?1，即an?2n?1．???????????6分

(Ⅱ)

bn?3n?1，bn?an?3n?1?(2n?1)?3n?1 ????????????????7分 anTn?3?5?3?7?32???(2n?1)?3n?1

3Tn?3?3?5?32?7?33???(2n?1)?3n?1?(2n?1)?3n????????9分

?2Tn?3?2?3?2?32???2?3n?1?(2n?1)3n

3(1?3n?1)?3?2??(2n?1)3n 1?3??2n?3n∴

Tn?n?3n ??????

??????????12分

19.（本小题满分12分）

CD?2，CD?面ABC，BE∥CD，已知四棱锥A?BCDE，其中AB?BC?AC?BE?1，

F为AD的中点.

（Ⅰ）求证：EF∥面ABC； （Ⅱ）求证：面ADE?面ACD； （III）求四棱锥A?BCDE的体积. 解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG， ∵F,G分别是AD,AC的中点

D B A D

F

E

C

A 1∴FG∥CD,且FG=DC=1 ．

2∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等

∴EF∥BG． ???????????2分

F EF?面ABC,BG?面ABC

∴EF∥面ABC ???????????4分 （Ⅱ）∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC,BG?面ABC ∴DC⊥BG ∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，

∴BG⊥面ADC ． ????????????????6分 ∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC

C

E G

A B A

∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC ． ????????????????8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ．

1313333．?????????12分 VA?BCDE?VE?ABC?VE?ACD???1??1????34321264另法：取BC的中点为O，连结AO，则AO?BC，又CD?平面ABC,

E∴AO为VA?BCDE的高，∴CD?AO,BC?CD?C , ∴AO?平面BCD，

AO?3,SB2C(1?2)?13??,?VA?BDE22C1333????． DE322420.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

时间x（秒） 深度y（微米） 5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；

（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方程

??y4139x?，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过13262微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．

解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种． ????????????????3分

所以P(A)?1022?．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是． ?????????6分

3153??(Ⅱ) 当x?10时，y?? 当x?30时，y4139219219?10??,|?10|?2; ??????????????9分 132626264139379379?30??,|?16|?2; 13262626所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． ????????????????12分 21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?b在点(?1,f(?1))的切线方程为x?y?3?0. x2?1（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设g(x)?lnx，求证：g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立. 解：（Ⅰ）将x??1代入切线方程得y??2

b?a??2，化简得b?a??4． ????????????????2分 1?1a(x2?1)?(ax?b)?2x f?(x)?22(1?x)2a?2(b?a)2bbf?(?1)?????1 ． ????????????????4分

442解得：a?2,b??2

2x?2∴f(x)?2 ． ????????????????6分

x?12x?2（Ⅱ）由已知得lnx?2在[1,??)上恒成立

x?1∴f(?1)?化简得(x2?1)lnx?2x?2

即xlnx?lnx?2x?2?0在[1,??)上恒成立 ． ????????????????8分 设h(x)?x2lnx?lnx?2x?2，

2h?(x)?2xlnx?x?1?2 xx?1?2，即h?(x)?0． ????????????????10分 x∴h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)?h(1)?0

∴g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立 ． ????????????????12分

∵x?1 ∴2xlnx?0,

22.（本小题满分14分）

O，实轴长为43的椭圆的中心在原点，其焦点F对称轴为y1,,F2在x轴上.抛物线的顶点在原点

3轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1?AF2，△AF1F2的面积为.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若AC?2AB,求直线l的斜率k. y x2y2解（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，AF1?m,AF2?n ab

A ?m2?n2?4c2??由题意知?m?n?43 ????????????????2分 ?mn?6B o F2 F1 ??解得c?9，∴b?12?9?3．

2x 2C x2y2??1 ????????????????4分 ∴椭圆的方程为

123∵yA?c?3，∴yA?1,代入椭圆的方程得xA?22，

将点A坐标代入得抛物线方程为

x2?8y． ????????????????6分

（2）设直线l的方程为y?1?k(x?22)，B(x1,y1),C(x2,y2) 由AC?2AB 得x2?22?2(x1?22)，

化简得2x1?x2?22 ????????????????8分

??y?1?k(x?22)联立直线与抛物线的方程?，

2??x?8y2得x?8kx?162k?8?0

∴x1?22?8k① ????????????????10分 ??y?1?k(x?22)联立直线与椭圆的方程?

22??x?4y?12得(1?4k2)x2?(8k?162k2)x?32k2?162k?8?0

162k2?8k∴x2?22?② ????????????????12分

1?4k2162k2?8k∴2x1?x2?2(8k?22)??22?22 21?4k2k整理得：(16k?42)(1?)?0

1?4k222∴k? ，所以直线l的斜率为 ． ????????????????14分

4

4

2012高考理科数学全国卷1试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题 （1）复数

?1?3i? 1?i（A）2?i （B）2?i （C）1?2i （D）1?2i （2）已知集合A?{1,3,m}，B?{1,m}，A?B?A，则m?

（A）0或3 （B）0或3 （C）1或3 （D）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 （A）

161212884124（4）已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中 ，AB?2，CC1?22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5?5，S5?15，则数列{1}的前100项和为 anan?1（A）

1009999101 （B） （C） （D） 101100100101??????????????????（6）?ABC中，AB边的高为CD，若CB?a，CA?b，a?b?0，|a|?1，|b|?2，则AD?

1?1?2?2?3?3?4?4?（A）a?b （B）a?b （C）a?b （D）a?b

33335555（7）已知?为第二象限角，sin??cos??3，则cos2?? 3（A）?5555 （B）? （C） （D） 399322（8）已知F1、F2为双曲线C:x?y?2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|?2|PF2|，则

cos?F1PF2?

（A）

1334 （B） （C） （D） 4545?12（9）已知x?ln?，y?log52，z?e，则

（A）x?y?z （B）z?x?y （C）z?y?x （D）y?z?x （10）已知函数y?x3?3x?c的图像与x恰有两个公共点，则c?

（A）?2或2 （B）?9或3 （C）?1或1 （D）?3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE?BF?3。动点P从E7出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题．．卷上作答无效。 ．．．．．．

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

?x?y?1?0?（13）若x,y满足约束条件?x?y?3?0，则z?3x?y的最小值为__________。

?x?3y?3?0?（14）当函数y?sinx?3cosx(0?x?2?)取得最大值时，x?___________。

n（15）若(x?)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中

1x1的系数为x2_________。

?（16）三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，?BAA，则异面直线AB1??CAA?6011与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．

?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A?C)?cosB?1，a?2c，求C。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

?EBCAD（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）?表示开始第4次发球时乙的得分，求?的期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)?ax?cosx，x?[0,?]。 （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设f(x)?1?sinx，求a的取值范围。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．

222已知抛物线C:y?(x?1)2与圆M:(x?1)?(y?)?r(r?0)有一个公共点A，且在点A处

12两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．

函数f(x)?x?2x?3，定义数列{xn}如下：x1?2，xn?1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2?xn?xn?1?3； （Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

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