高中数学选修2-1圆锥曲线与方程知识点复习小结

第二章《圆锥曲线与方程》复习小结

【自主学习】

【学习目标】

1.了解圆锥曲线的实际背景，感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.经历从具体情境抽象出模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质； 3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；

4.进一步体会数形结合的思想，了解曲线与方程的关系.

【本章知识结构框图】

求曲线的方程 曲线与方程曲线的方程 画方程的曲线 求曲线的交点 几何背景圆锥曲线的概念椭圆定义 双曲线定义 抛物线定义 应用 圆锥曲线共同特征统一定义 应用 焦半径公式 圆锥曲线的方程椭圆的标准方程 双曲线的标准方程 抛物线的标准方程 应用 相离相切相交【本章知识与方法导析】

一、根据本章知识框图构建立体几何知识系统

1.曲线与方程 （1）概念： .

几何背景 圆锥曲线的性质椭圆几何性质 双曲线几何性质 抛物线几何性质 应用 圆锥曲线的弦 （2）轨迹与轨迹方程的区别 .

2．熟练掌握求轨迹方程的常见方法 试说明以下几种方法的用法及适用题型

（1）五步法（直译法）求轨迹方程，你能说出是哪五步吗？ .

（2）待定系数法 .

（3）相关点法（代入法） .

（4）定义法 .

（5）参数法 .

3．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质 椭圆 双曲线 定义 图形 标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 离心率 渐近线 准线 4.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）判断方法 代数方法：. 几何方法：.

（2）弦长的求法（弦长公式） .

抛物线 ……

5．体会本章蕴含的解析思想

（1）坐标法——研究几何问题的有力工具

几何图形（定量）——建立坐标系（定位）——用坐标运算研究几何性质，这是本章研究圆锥曲线的基本思路，也是坐标法用法的具体体现. （2）数形结合思想

圆锥曲线与方程，一个是几何图形，一个是代数方程，坐标法建立起了它们的关系，必然在研究过程中，数与形的结合是非常重要的手段，也是解决问题的重要途径. （3）“设而不求”思想

研究直线与圆锥曲线位置关系，用韦达定理“设而不求”，能简化运算. （4）“形散神聚” ——圆锥曲线的统一

椭圆、双曲线、抛物线是三种外型上差异很大的几何图形，本质上却有统一的背景和定义——都是平面截圆锥得到的截口曲线；都是平面内到一定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值不同就形成了不同的曲线. 6.需要注意的问题

（1）研究圆锥曲线，注意“位”和“量”两个方面，比如求标准方程，除需要基本量之外，还要注意焦点的位置；

（2）解决直线与圆锥曲线的交点问题时，用代数方法注意对消元后一元二次方程二次项系数是否为0的讨论；用数形结合法时注意特殊情况，如与双曲线渐近线平行，与抛物线对称轴平行等特殊情况；

（3）运用定义的意识，回归定义是一种重要的解题策略，如：求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；涉及椭圆、双曲线上的点与焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决.

【课堂点金】

【重难点突破】

1.轨迹问题

x2y2【例1】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是

ab椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0. 求点T的轨迹C的方程.

【解析】法一：设点T的坐标为(x,y).

当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

F1OyPQxF2????????当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2.又|PQ|?|PF2|，

所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a， 2所以有x2?y2?a2.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.

法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点.

x??c?x?,?2，则? y?）??y?y?.?2?

设点Q的坐标为（x?, 因此??x??2x?c, ①

?y?2y.?

由|F1Q|?2a得(x??c)2?y?2?4a2. ②, 将①代入②，可得x?y?a. 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.

222【评析】（1）法一是直译法，法二是相关点法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；

（2）注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.

【变式1】已知A(?,0),B是圆F:(x?)2?y2?4(F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.

【解析】设线段AB的中点为C，如图，则|PA|=|PB|， 故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2>|AF|，

由椭圆定义知点P的轨迹是以A、F为焦点、长轴为2的椭圆， 所以轨迹方程为x2?42y?1. 312BCPAF12122.圆锥曲线的定义及标准方程

【例2】?ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BC?4，且sinC?sinB?sinA，求顶点A的轨迹方程． 【解析】取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，

因为BC?4，所以B(?2,0)，c(2,0)．

利用正弦定理，从条件得c?b??4?2，即AB?AC?2．

由双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23y2的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为x??1(x?1)．

3212【评析】（1）本题用定义法求轨迹方程，最后一个环节“查漏补缺”是画龙点睛之笔，注意x的范围限制；

（2）熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识.一般说来，涉及到曲线上的点与焦点（定点）的距离，很有可能使用定义；

（3）注意圆锥曲线的第二定义，它能很好的将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，达到简化运算的目的.焦半径公式，会推导即可，不必死记硬背.

x2y2【变式2】（复习参考题B组第2题）如图，从椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P向x轴

ab作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交

点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP，

|F1A|?10?5，求椭圆的方程.

【解析】由题意PF1?x轴，把x??c代入椭圆方程，解得

b2b2y??.所以，点的坐标是P(?c,).

aabb2直线OP的斜率k1??,直线OP的斜率k2??.

aacb2b?所以，b?c,a?2c. 由题意，得

aca由已知|F1A|?a?c，得a?c?10?5. 所以(1?2)c?10?5.解得c?5,所以a?10,b?5. x2y2??1. 因此，椭圆的标准方程为

1053.焦点三角形问题

【例3】已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1,F2为左右焦点， P是双曲线上一点，且?F1PF2?60?,S?PF1F2?123，求双曲线的标准方程.

x2y2【解析】设双曲线方程为2?2?1?a?0,b?0?

ab?e?2,?c?2a

令|PF1|?r1,|PF2|?r2，在?PF1F2中，由余弦定理，

4c2?r12?r22?2r1r2cos?F1PF2?r12?r22?r1r2?(r1?r2)2+r1r2 即4c2?4a2+r1r2?r1r2?12a2

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