高数考研大一下6

第六讲 几类常微分方程的求解方法7-1 一阶微分方程的解法 (P411) 一. 方法指导1. 标准类型方程的解法

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤(1) 可分离变量方程

解法: 分离变量 , 两边积分(2) 齐次方程

解法: 令

化成可分离变量型

(3) 一阶线性方程 解法: 常数变易法或代公式

(4) 贝努力方程 解法: 令 化成线性方程 .

(5) 全微分方程

解法: 求

Q P x y通解为

的原函数

二. 非标准类型方程的解法1、 变量代换法 转化为标准类型求解

例如, 方程

a b a x b y c 0 的根 (h , k ) , 若 , 先求 a1 b1 a1 x b1 y c 1 0 作变换 x X h , y Y k , 则原方程化为 dY a X bY (齐次方程) d X a1 X b1Y a b 若 , 作变换 v a x b y , 化成可分离变量 a1 b1方程.4

2、 积分因子法

不是全微分方程选择积分因子

( x, y)

P d x Q d y 0 为全微分方程常用的微分倒推式有

1) d x d y d ( x y ) 2) x d y y d x d ( x y ) 1 2 2 3) x d x y d y d ( ( x y ) ) 2 x y y d x xd y y d x xd y 4) d( ) 5) d( ) 2 2 y x y x 5

y d x xd y x 6) d ( ln ) xy y y d x xd y x 7) d ( arctan ) y x 2 y 2 xd x y d y 8) d ( x2 y2 ) x 2 y 23. 解微分方程应用问题的方法步骤 利用物理规律 建立微分方程 利用几何关系 ( 共性 ) 建立方程问题 初始条件 (数学模型) (衔接条件) 确定定解条件 边界条件 6 ( 个性 )

二. 实例分析 例1. 分别求出以下列各函数为通解的微分方程 (1) y x tan( x C ); (2) x y C 1 e x C 2 e x 解: (1) y tan( x C ) x sec 2 ( x C ) 2

(2) 通解两边对 x 求导 , 再求导 , 得

tan( x C ) x tan ( x C ) x y tan( x C ) 2 x y y y x 即 x y y y 2 x 2 x x

C 1 e x C 2 e x y xy x y C 1 e x C 2 e x 2y

x y 2 y x y7

例2. 变下列方程为标准形式

(1) y sin( x y) sin( x y) ; dy dy x2 y (2) x y (ln y ln x) ; (3) ; dx d x x3 y 4 (4) ( y 2 x3 ) d x 2 x d y 0 .解: (1) 利用三角公式得

y 2sin y cos x

sin sin 2 sin cos 2 2分离变 量型

dy y y (2) ln 齐次方程 dx x x dx 1 贝努里方程 (3) x y3x 2 dy y dy 1 2 线性方程 (4) y x d x 2x

x, y 有 y x f ( x y) e f ( x) e f ( y) , 且 f (0) e , 求 f (x) .例3. 设函数 f (x) 可导, 且对任意实数

( x y) e y f ( x) e x f ( y) 解: 等式两边对 y 求导 f

即

f ( x) f ( x) e f (0) f ( x) e x 1 f ( x) f ( x) e x 1 (线性非齐次方程)

令y=0 x

d x e x 1e d x d

x C e x [e x C ] f ( x) e 在原等式中令 x 0 , y 0 , 得 f (0) f (0) f (0) ,因此初始条件为 f (0) 0 , 由此得 C = 0 , 故所求函数为 x 1

f ( x) x e

例4. 设 f (1) 4 且对任意实数 x , y 有

f ( xy) xf ( y) yf ( x), 求 f (x) . 解: 等式两边对 y 求导 xf ( xy) xf ( y) f ( x)令 y = 1,则有 xf ( x) xf (1) f ( x)

1 即 f ( x) f ( x) 4 x dx dx x f ( x) e 4e x dx C x[4ln x C ] 当 x 1, 时 f (1) C , 当x 1, y 1 时，

f (1) f (1) f (1), 得 f (1) 0, 由此得 C = 0 ,故所求函数为 f ( x) 4 x ln x.10

例5. 用不同的方法求解方程 y

6 x 3x y

3

2

y 6 3 x . 解法1 . 因方程为齐次方程 , y 3 y y 3 2 x x 令 y xu , 则方程变为2

3x 2 y 2 y23

.

(P345 例1(4))

3u 2u 3 dx du 6 3u du x u 2 4 x 2(3 3u u ) dx 3u 2u 3 2 4 1 d (3 3u u ) dx 2 4 3 (3 3u u ) 6u 4u 2 4 4 3 3u u x C 2 4 两边积分, 得 3 3u u x4 11 故原方程通解为 3x 4 3x 2 y 2 y 4 C

例5. 用不同的方法求解方程 y

6 x3 3x y 2 3x y 2 y2 3

.

(P345 例1(4))

x (6 x 2 3 y 2 ) 解法2 . y y (3x 2 2 y 2 )

ydy 6 x2 3 y 2 2 2 xdx 3x 2 y方程可变形为

d(y ) 6x 3y 2 2 d (x ) 3x 2 y 22 2 2

令 y 2 x 2 u , 将原方程化为可分离变量方程求解.12

解法3.3

将原方程变为微分形式2 2 3

(6 x 3x y ) d x (3x y 2 y ) d y 0 P Q 6x y , 故为全微分方程 y xu ( x, y )

0

(6 x3 3x y 2 ) d x (3x 2 y 2 y 3 ) d y (0,0) ( x, y )x

( x, y )

6x d x

3

0

y

(3x 2 y 2 y 3 ) d y

3 4 3 2 2 1 4 x x y y 2 2 2通解为 3x 4 3x 2 y 2 y 4 C

(x 0 (0,6 x 3 3x y,2 ) 0) y 2 3 3x y 2 y13

u 则 6 x3 3x y 2 ① x u 2 3 ② 3x y 2 y y 由① 3 4 3 2 2 u ( x, y ) x x y ( y ) 2 2 ( y ) 2 y 3 与 ② 式比较 , 得

解法4. 用待定函数法求原函数 设 d u (6 x3 3x y 2 ) d x (3x 2 y 2 y 3 ) d y

u 3x 2 y ( y ) y 1 4 ( y) y 2 1 4 (63 3 3x3 2 )2 x2 (3x 2 y 2 y 3 ) d y 0 x 4 y d 因此 u ( x, y ) x x y y 2 2 2 14 通解为 3x 4 3x 2 y 2 y 4 C

解法5. 用凑微分法求通解原方程

(6 x 3x y ) d x (3x y 2 y ) d y 0

3

2

2

3

3x y ( y d x x d y ) 2 y 3 d y 0 6x d x3

即

3 4 3 1 4 2 d x d ( x y ) d ( y ) 0 2 2 2

因此通解为 3x 4 3x 2 y 2 y 4 C

例6. 求一连续可导函数

使其满足下列方程 : 令 u x t

提示:

f ( x) sin x f (u ) du0

x

f ( x) f ( x) cos x 则有 f (0) 0 1 利用公式可求出 f ( x) (cos x sin x e x ) 216

例7 求一连续函数 f ( t ) 使其满足方程

f (t ) f ( x y z )dxdydz t2 2 2

3

,

其中 : x 2 y 2 z 2 t 2 .

提示:

( 答案: f (t ) 1 ( e 4 t 4

3

1) )17

例8. 设D

求

使其满足:

f (t ) 2 (x 2 y 2 ) f ( x 2 y 2 ) d x d y t 4解: 显然 无妨设

y

4

t 3 4 r f (r ) d r t 0

o

tx

(t ) 4 t 3 f (t ) 4t 3 及 f (0) 0 , 故有 f解此关于 f ( t ) 的一阶微分方程定解问题 ,

f (0) 0C 1

f ( x)

1

e

x4

1 , x ( , 18 )

例9. 设 f ( x) C[0, ) 且满足方程f (t ) e4 t 2

2

求 f (t ). 解： 2x y 4 t2

x y 2 4 t 2

1 2 f( x y 2 )dxdy 2

2

1 2 f( x y 2 )dxdy 2 24 t 2

2t

0

即 f (t ) e

2

2t

0

求导得： f (t ) 8 te 即

4 t 2

1 rf ( r )dr 24 t 2

1 rf ( r )dr 2

4 2tf (t )从而求得通解4 t 2

f (t ) 8 tf (t ) 8 te

f (t ) e e4 t 2

8 tdt

(8 te4 t 2

(4 t 2 c) 又

dt c) f (0) 1 0 故 c 1 e(4 t 1)219

8 tdt

所以

f (t ) e

例10. 已知曲线积分 F ( x, y ) [ y sin x d x cos x d y ] 与路径无关, 其中 F C1, F (0 ,1) 0 , 求由 F ( x, y ) 0 确定的隐函数 y f (x) . 解: 因与路径无关 , 故有

L

Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x y y tan x Fx y tan x 因此 Fy y x 0 1 1 dy sin x y sec x dx cos x y cos x

例11 求 x解

2cos y d y 3x 2 d x 0 的通解。 1 2 x cos y x 2 原方程整理得： x 3 33

此为伯努利方程 原方程的通解：3

n 2, 1 n 3 dy

[2 cos ye d y d y c] x e

sin y cos y ce

y

由公式

y

1 n

e

( n 1) P ( x ) dx

(1 n) Q( x) e

(1 n ) P ( x ) dx

dx C

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