湖北省黄冈市2011届高三交流试卷(5)（数学理）

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黄冈市2011届高三理科数学交流试卷5

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）。

11、若(a?2i)i?b?i，其中a,b?R，i是虚数单位，设z?a?bi，则的模为（ ）

zA. 5 B.

1 5C. 5 D.

5 52、已知集合A?{x|3x?1|?2}，则使(B?A)?(A?B)的集合B=（ ） 1A. {x|?x?1|}

31B. {x|??x?1}

3C. {x|0?x?1}

1D. {x|??x?0}

33、设等差数列{an}的前n项和为Sn，（n?N*），a3?1,a15??1，则Sn?Sn?13的最小值为（ ） A. 0

B. 13 4C.

7 2D.

13 24、设随机变量?~N(2,p)，随机变量?~N(3,p)，若P(??1)?A.

23 275，则P(??1)=（ ） 9B.

20 27C.

19 27D.

16 275、a、b、c、d是空间四条直线，如果a?c,b?c,a?d,b?d，那么（ ） A. a//b或c//d

B. a//b且c//d

C. a、b、c、d中至多有一对直线互相平行 D. a、b、c、d任何两条直线都不平行 6、在△ABC中，BC=1，?B?A. 23

?3,且S??3,则tanC?（ ）

C.

13

B. ?23 D. ?23 137、用某种方法来选取不超过100的正整数n，若n?50，那么选取n的概率为P，若n>50，那么选取n的概率为3P，则选取到一个完全平方数的概率是（ ） A. 0.075

B. 0.008

C. 0.08

D. 与P有关

18、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在（0,??）上是减函数，若f()?0?f(2)，

3则方程f(x)=0的根的个数是（ ） A. 2

B. 2或1

C. 3

D. 2或3

9、定义一个法则f:(m,n)?(m,n),(n?0)在法则f作用下，点M（m,n）对应点M'(m,n)，

现有A(?1,2),B(1,0)两点，当点M在线段AB上运动，其对应点M’的轨迹为G，则轨迹

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G与线段AB的公共点个数为（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

10、平面向量的集合A到A的映射f(x)?x?(x?a)?a，其中a为常向量，若f满足f(x)?f(y)?x.y对任意x,y?A成立，则a的坐标可以是（ ）

312271B. (,) C. (,) ,)

442244二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共计25分）

A.(13D. (?,)

2211、设实数x、y满足x2?2xy?1?0，则x?y的取值范围是 ；

12、已知函数f(x)?log2x，正项等比数列{an}的公比为2，若f(a2?a4?a6)?4，则

2f(a1)?f(a2)?f(a)f(4a?)f(5a?)3?f(6a)= ；

13、已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则四面体A1－C1BD在面A1B1C1D1上的正投影的面积与

该四面体表面积之比是 ； 14、在(x?1110)的展开式中，系数最大的项是 ； 23x15、对于函数f(x)，若存在区间D=[a,b],(a?b)使得{y|y?f(x),x?D}?D，则称区间D 为函数f(x)的一个“稳定区间”。

请你写出一个具有“稳定区间”的函数 。 给出下列四个函数：①y?ex；②y?x3；③y?cos?2x；④y?lnx?1

其中存在“稳定区间”的函数有 （填上正确的序号）。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者不得分，比赛进行到一方比另一方多2分或打满6局时停止，设每局中甲获胜的概率为1获胜概率为，且各局胜负相互独立。

32，乙3（1）求两局结束时，比赛还要继续的概率 （2）求比赛停止时已打局数?的分布列及期望E?

17、（本小题12分）如图，中国在索马里海域值勤的A船接到B处一货船遇险求救信号，A船立即前往营救，同时把消息告知在A船东偏北60°相距10nmil的C船，此时C船在B

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的正西方，相距20nmil处。 （1）求A船与B船间的距离

（2）设A船沿直线方向前往B处，其方向与AB成?角

?求f(x)?7sin2?·cos2x?23cos2(x?)的值域及单调减区间

4

18、（本小题12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PCD的重心G在底面ABCD上的射影恰好是△ACD的重心N，且GN?（1）求证：AN⊥PB

（2）求点B到平面PCD的距离 （3）求二面角B－PC－A的大小

19、（本小题12分）

在数列?an?中，a1?0,a2?2,an?1?an?1?2(an?1),n?2 （1）求数列?an?的通项公式 （2）若不等式(x2?x)(

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11AB?PA?1 33111求x的取值范围。 ????)?1对任意的正整数n都成立，

a2a3an?1www.gaokao100.com.cn 您身边的志愿填报指导专家

x2y220、（本小题13分）椭圆G：2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1(?c,0)F2(c,0)，M是

ab椭圆上一点，且满足F1M?F2M=0 （1）求离心率e的取值范围

（2）当离心率取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52

①求此时椭圆G的方程

②设斜率为k(k?0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问：A、B两点能否关于过点P(0,?若不能，请说明理由

21、（本小题14分）已知f(x)?ax?lnx,x??0,e],g(x)?（1）讨论a?1时，f(x)的单调性，并求极值 1（2）求证：在（1）的条件下，证明 f(x)?g(x)?

2lnx，其中e是自然常数，a?R x3),Q的直线对称？若能，求k的取值范围；3（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明

理由。

参 考 答 案

一、选择题 ： D B B C A B C D C B 二、填空题：

10533x 15、y?x；② ③ 11、(??,?1] 12、2 13、 14、T5?68三、解答题

16、（1）设甲获胜的概率记作P甲，乙获胜的概率为P乙，依题，两局结束时，还要进行比赛的概率为

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P?p甲?p乙?p乙?p甲?21124·································································· 4分 ???? ·

33339（2）依题，?的可能取值为2、4、6

2154520 P(??2)?()2?()2? P(??4)???3399981416，故?的分布列为 P(??6)?()2?981? 2 5 94 20 816 16 81P ······································································································································ 10分 52016266?的期望 E??2??4??6?? ····························································· 12分

981818117、（1）在△ABC中，已知∠BCA=120°，BC=20 AC=10由余弦定理得： AB2?BC2?AC2?2BC?AC?cos20??700?AB?107

即A船与B船间的距离为107nmil ······································································· 4分 （2）在△ABC中，由正弦定理得

BCAB?sim?sim120?即20107? sim?sim120??sim??21 ··············································································································· 7分 73f(x)?7?cos2x?23?71?cos(2x?2?)2

=3cos2x?3?3sin2x?23cos(2x?)?3 ·············································· 9分

6故值域[?3,33]，单调减区间为[k????12,k??5?·································· 12分 ]k?z ·

1218、（1）∵N是G在面ABCD上的射影，

∴GN⊥面ABCD，又G、N分别为△PCD和△ACD的重心， ∴GN//PA ∴PA⊥平面ABCD

∴AB为PB在平面ABCD内射影，连PG交CD于点M，则点M 为CD的中点，且AN过点M

∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AN⊥CD，又AB//CD，∴AN⊥AB，∴AN⊥PB ······································································································································ 4分 （2）∵AB//CD ∴AB//平面PCD， ∴点B到面PCD的距离等于点A到面PCD的距离，

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过点A作AE⊥PM ∴AN⊥CD 又PA⊥平面ABCD ∴CD⊥PM

∴CD⊥平面PAM ∴CD⊥AE

∴AE上平面PCD ∴AE为点A到平面PCD的距离 11∵GN=AB?PA?133?PA?AB?3AM?3337 ?PM22∴AE?321321，即点B到平面PCD的距离为 ················································ 8分 77（3）连结BD，过B作BK⊥PC交PC于K，AC与BD交于点O，连KO，易知PC⊥平面KO ∴PC⊥KO，则∠BKO为二面角B－PC－A的平面角 32 4OB在Rt△BKO中，tan?BKO??6

KO∵AB=3 ∴BO=

332?KO?∴二面角B－PC－A的大小为arttan6 ···································································· 12分 另：用坐标系求解，酌情评分。

19、（1）由已知得，an?1?an?an?an?1?2(n?2)????????1分

∴数列?an?1?an?是以首项为a2?a1?2，公差为2的等差数列

∴an?1?an?2n??????????????????????????3分 当n?2时，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?n(n?1)

又a1?0?1?(1?1)适合，∴an?n(n?1)??????????????6分 （2）由（1）得，an?n2?n，∴∴

1an?1?11? nn?111111????????????????????????9分 a2a3an?1nn?1n?1 n?1由已知得(x2?x)即x2?x?n?11?1?对任意的正整数n均成立 nn∴x2?x?2 ∴x??1或x?2

即所求x的范围为(??,?1)?(2,??)??????????????????12分 20、（1）设点M的坐标为(x,y)，则F1M?(x?c,y)，F2M?(x?c,y) 由F1M?F1M?0得x2?c2??y2 ①

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a2b2b22b2222222又点M在椭圆上，得y?b?2x，代入x?c?2x?b而x?a?2

aaca2b22∵0?x?a ∴0?a?2?a2 ∴?e?1又0?e?1

2c222∴

2?e?1????????????????????????????4分 2x2y22（2）①e?，设此时椭圆方程为2?2?1，H(x,y)则

22bb|HM|2?x2?(y?3)2??(y?3)2?2b2?18(?b?y?b)

若0?b?3则0??b??3 ∴y??b时，|HN|2max?b2?6b?9?50得

b??52?3，与0?b?3矛盾

若b?3，则?b?3，当y??3时，|HN|2有最大值2b2?18?50，∴b2?16 x2y2符合题意，即所求椭圆方程为??1????????????????8分

3216x2y2②设直线l的方程为y?kx?m，代入??1中，得

3216(1?2k2)x2?4kmx?(2m2?32)?0

由Δ?0得m2?32k2?16 ② 1要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，即KPQ??

k设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则xQ?x1?x22kmm， ??y?kx?m?QQ2221?2k1?2k∵KPQm15?21?2k231?2k ∴m? ③ ?2km3?1?2k247(1?2k2)2由②、③得 ?32k2?16 ∴0?k2?23故当k?(?9494,0)?(0,)时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称??13分 22x?1 x21、（1）∵a?1，f(x)?x?lnx，∴f'(x)?∴当f(x)在(0,1)上递减，在(1,e]上递增

f(x)极小值?f(1)?1

（2）证明：∵f(x)在(0,e)上的极小值为1，∴f(x)min?1 令h(x)?g(x)?11?lnx ∴h'(x)? 22x 第 - 7 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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当0?x?e时，h'(x)?0且只在x?e时，h1(x)?0，∴h(x)在(0,e]上递增 ∴(lnx)max?h(e)?即f(x)?g(x)?1 2ax?1 x111?2???1?f(x)min e22（3）解：假设存在实数a，使f(x)?ax?lnx，x?(0,e]有最小值3，f'(x)?①当a?0时，f(x)在(0,e)上递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3 ∴a?4?0矛盾，此时不存在a e②当0?111?e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,0)上单增 aaa1∴f(x)min?f()?1?lna?3 ∴a?e2满足条件

a③当

1?e时，f(x)在(0,e]上单减 a∴f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?4舍，此时不存在a e综上，存在实数a?e2，使得当x?(0,e)时，f(x)有最小值3??????14分

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