917.平面几何中的几个著名定理-奥数精讲与测试（9年级）

知识点、重点、难点

梅内劳斯定理X、Y、Z分别是△ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点，则X、Y、Z共线的充分必要条件是

CXXB?BZZA?AYYC?1. 根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X、Y、Z

三点分别都在三角形三边的延长线上。

证明（1）必要性，即若X、Y、Z三点共线，则

CXXB?BZZA?AYYC?1.

设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c，则

CXXB?cBZbAYab,ZA?a,YC?c 三式相乘即得

CXBZAYXB?ZA?YC?cb?ba?ac?1. （2）充分性，即若

CXXB?BZZA?AYYC?1.则X、Y、Z三点共线。设直线XZ 交AC于Y'，由已证必要性得

CXBZAY'XB?ZA?Y'C?1.又已知CXXB?BZZA?AYYC?1，所以AY'Y'C?AYYC.因为Y'和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y'和Y必重合为一点，也就是X、Y、Z三点共

线。梅内劳斯定理的应用，一是求共线线段的比，即在

CXXB、BZZA、AYYC三个比中，已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。

塞瓦定理 从△ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX、BY、CZ，则AX、BY、CZ共点的充分必要条件是

BXXC?CYYA?AZZB?1. （连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）

证明(1)必要性，即设△ABC中，AX、BY、CZ是三条塞瓦线，如果

BXCYAZXC?YA?ZB?1.则AX、BY、CZ三线共点。（如图） 假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连结CP交AB于Z'，则CZ'也是一条过P点的△ABC的塞瓦线。根据已证充分性命题，可得

BXXC?CYYA?AZ'Z'B?1.但已知BXCYAZXC?YA?ZB?1.比较两式可知AZ'Z'B?AZZB，因此AZ' = AZ.所以Z'点与Z点重合，从而CZ'与CZ重合，于是得出AX、BY、CZ共点。

（2）充分性，即设△ABC的三条塞瓦线AX、BY、CZ共点，则必有设AX、BY、CZ相交于P点（如图），过A作BC边的平行线，分别交BY、CZ的延长线于B'、C'．由平行截割定理得

BXXC?AB'AC',CYYA?BCAB',AZZB?AC'BC,上面三式两边分别相乘得

BXXC?CYYA?AZAB'BCAC'ZB?AC'?AB'?BC?1. 塞瓦定理的应用，一是求线段间的比例式或乘积式，二是证明三线共点问题。

托勒密定理：圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的对角线的乘积，即AB·CD＋BC·DA=AC·BD．

托勒密逆定理：若四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的对角线的乘积，即AB·CD＋BC·DA=AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。

托勒密定理的证明方法很多，一般常采用相似三角

形或面积法进行证明。如图，作∠BAE =∠CAD，交BD于E，则△ABE∽△ACD，得AB：BE=AC：CD，即AB·CD =AC·BE. 又△ABC∽△AED，有BC：AC = DE：DA，即BC·DA=AC·DE.所以AB·CD＋BC·DA =AC·(BE＋DE)＝AC·BD．

托勒密逆定理的证明一般也采用相似三角形来证。在四边形内取一点E，使∠BAE =∠DAC，∠ABE=∠DCA，则△ABE∽△ACD，△ABC∽△AED，从而由前述可以推出AB·CD＋BC·DA = AC·(BE＋DE).于是由已知条件得BD＝BE＋DE，因此E在BD上，∠ABD=∠ABE =∠DCA，故ABCD是圆内接四边形。

托勒密定理可以作如下推广：在凸四边形ABCD中，有 AB·CD＋BC·DA≥AC·BD（托勒密不等式）。 当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立。

例题精讲

例1：若Mt△ABC内任一点，射线AM、BM、CM分别交BC、CA，AB于D、E、F，则有

AMMD?AFFB?AEEC. 证明：如图，对△ABD与截线FMC，由梅内劳斯定理得

AFFB?BCDMAFAMDCCD?MA?1,所以FB?MD?CB. 类似地，对△ACD与截线EMB，由梅内劳斯定理有

AFBCDMAFAMBDFB?CD?MA?1,所以FB?M?D，B两C式相加得AFAEAMFB?E?C(MD?)DCBC? .BDAMBCMD例2：若△ABC与△A1B1C1的对应顶点连线AA1、BB1、CC1相交于一点

O，则对应边BC与B1C1、CA与C1A1、AB与A1B1的交点D、E、F共线。 证明：如图，对△OBC、△OCA、△OAB及相应的截线DB1C1、EC1A1、

FA1B1，由梅内劳斯

定理得

BDCCO1BCE1AD?1C?O?1,B?B??

A11O,C1C11E1AAOCCAFFB?BB1B?OA1A?1.三式相乘化简得

1O1A

BDDC?CEEA?AFFB?1,故对△ABC及D、E、F三点，由梅内劳斯定理的逆定理得D、E、F三点共线。

例3：如图，P为△ABC内一点，连结PA、PB、PC.设∠BPC的平分线交BC于X，∠CPA的平分线交CA于Y，∠APB的平分线交AB于Z，求证：AX、BY、CZ三线共点。

证明 由内角平分线性质定理得

BXPBCYPCAZPAXC?PC,YA?PA,ZB?PB,三式相乘得BXXC?CYYA?AZZB?PBPC?PCPA?PAPB?1，由塞瓦定理的必要性可知AX、BY、CZ三线共点。

例4：如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G.求证：∠GAC=∠EAC.

证明：图中有AC、BE、DG相交于F，可考虑

用塞瓦定理，为此连结BD交AC于H .对△BCD应用 塞瓦定理，根据其充分性可得

CGGB?BHHD?DEEC?1.① 因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理， 可得

BHABHD?CGAD，代入（①），得GB?ABAD?DEEC?1 ② 过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J，则

CG?CIDEADCIGBAB,EC?CJ代入②，有

AB?ABAD?ADCJ?1，从而CI=CJ.又因为CI∥AB，CJ∥AD，故∠ACI = 180°－∠BAC = 180°－∠DAC＝∠ACJ．因此△ACI≌△ACJ，从而∠IAC＝∠JAC，即∠GAC＝∠EAC.

例5：如图，由圆O的AB?的中点C引弦CD、CE，分别与AB相交于F、G，求证：DG·EF=FD·GE＋DE·FG．

证明：连结AC，则∠AFD=∠ACD＋∠CAB，即∠AFD

等于?AD与?BC的度数和的一半。又因为C是?AB的中点，所以?AC??BC．所以∠AFD等于?AD与?AC的度数和的一半，即∠AFD等于?DC度数的一半。而∠DEC等于?DC度数的一半，所以∠AFD =∠DEC，所以F、D、E、G四点共圆。由托勒密定理得DG·EF=FD·GE＋DE·FG.

例6：在△ABC中，A：B：C=1：2：4，求证：111b?c?a.

分析 将待证式改写成a·c＋a·b=b·c，则联想到托勒密定理，于是构造一个圆内接四边形，使a、b是两条对边，a、c是另外两条对边，b、c是两条对角线。

证明：如图，作△ABC的外接圆，由于A：B：C=1：2：4，故A、B、C是该圆的七等分点。取BD=BC=a，连结AD、CD，则AD=AB＝c，CD＝AC=b.由托勒密定理有BC·AD＋

BD·AC＝CD ·AB，即a·b＋b·c，故1b?1c?1a.

A卷

一、填空题

1.如图，△ABC中，AB =AC，D在AB边上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE= 。

2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB =3CD，E为AC中点，BE交AD边于F，交CD的延长线于G，则AF：FD= 。

3.已知△ABC中，D是边BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AFFC? 。

4.已知△ABC的边AB上有一点D，

ADDB?12,在DC上取一点F，使

DFFC?23,BF交AC于E，则BF

FE

? 。

5.如图，已知⊙O外接于等边△ABC， P是?BC上的一点，PB=4，PC= 3，则PA= 。

6.已知△ABC中，Q在AB上，R在AC上，AQ：QB=2：1，AR：RC=1：2，

连结QR交BC的反向延长线于P，则PC

PB

? 。

7.如图，P为正方形ABCD的外接圆的CD?上的任一点，那么

PA?PCPB? 。

8.在平行四边形ABCD中，BC＝6 cm，DC=5 cm，对角线AC、BD交于O，点E在BC的延长线上，CE = 2 cm，OE交DC于F，那么CF= cm.

9.如图，D在BC上，作一直线CF交AD于E，交AB于F.如果将△ABD看作梅氏三角形，直线CEF看作截线，则由梅内劳斯定理可知

AFFB?BCCD?DEEA? 。

10.在△ABC中，BC边上有一点D，设∠ADB、∠ADC的平分线与AB、AC分别交于F、E，则AD、BE、CF的位置关系是 。

二、解答题

11.在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，CF⊥AE于H，交AD于G，F点在AB边上，E点在BC边上，求证：BF=2DG.

12.在△ABC中，AD是BC边上的中线，CF交AD于E，交AB于F. 求证：

AEED?2AFFB.

13.证明：锐角三角形的三条高交于一点。

14.在△ABC中，最大角∠B和最小角∠C之差为90°，BC－AB =AC－

BC，求AC：AB：BC的值。

B卷

一、填空题

1. △ABC中，∠A=60°.若最大边和最小边的长分别是方程

x2?10x?12?的两根，那么△0ABC的外接圆半径等于 。

2.在△ABC中，AC= 24，BC=10，AB =26，则它的内切圆半径等于 。

3.凸多边形的几个内角与某个外角的总和等于1350°，则n＝ 。

4.如图，在△ABC中，AB>AC，过BC的中点作直线垂直于∠A的平分线交AB于E，交AC的延长线于F，则BE和CF的大小关系是 。

5.在三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形中，锐角三角形的个数是 。

6.设△ABC中的三边长分别是a、b、c，且(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)=2：3：4，则sinA：sin B：sin C= 。

7. △ABC中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一点，

BDEA?2,CEFB?3,则AFDC等于 。

8.在△ABC中，边BC上有一点D，BD=3，DC=6，AB=12，AC=8，则AD= 。

9.已知四边形ABCD内接于⊙O，且AC=BD，四边长依次为1、4、12、6，则对角线AC= 。

10. △ABC的三边BC、AB、AC的中点分别为D、E、F，设AD与EF交于P，连结CP交AB于Q， AQ=3，则AB= 。 二、解答题

11.在△ABC中，AB >AC，过BC的中点D作直线垂直于∠A的平分线，交AB于E，交AC的延长线于F，求证：BE=CF=

12(AB?AC).

12.证明：三角形的三条角平分线交于一点。

13.如图，MA、MB切⊙O于A、B，直线MCD交于C、D.

求证：2AC·BD=AB ·CD.

14.在△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC＝3：2，CE：EA＝4：1，AD与BE交于F，求△ABF和△ABC的面积比值。

C卷

一、填空题

1.设AD是△ABC的边BC上的中线，G是AD上一点，BG交AC于E，CG交AB于F，那么FE和BC的位置关系是 。

2.设不等边三角形的各边之长都是整数，周长小于13，那么这种三角形共有是 个。

3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，△DCE与△DCB的面积之比为1：3，则△DCE的面积与△ABD的面积之比是 。

4.等腰梯形ABCD内接于⊙O，中位线长是4，腰长等于6，对角线长为43，则梯形的两底长分别是 。

5.在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，AD⊥BC于D，则AD＝ 。

6.△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于O，且BD= 2DC，CE=2EA，则AF：AB= 。

7.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，DC＝3，BC＝7，DA＝8，则AB= ，BD= ，AC= 。

8. △ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于D、E、F，则

BDDC?CEEA?AFFB? 。

9.在△ABC中，G是△ABC的重心，M是平面内另一点，MG=2，GA=3， GB=4，GC=1，则MA2＋MB2＋MC2= 。

10.已知P点是正五边形ABCDE的外接圆?AE上任一点，PB=2，PD=4，则PA＋PC＋PE= 。

二、解答题

11.如图，已知圆内接正五边形ABCDE，若P为劣弧?AB上任一点。 求证：PA＋PD＋PB = PE＋PC.

12. △ABC中，AB＝16，BC＝14，CA＝10，BD、CE是△ABC的两条高，请用两种方法求DE的长。

13.如图，已知△ABC的∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P，∠B的平分线与边CA交于Q，∠C的平分线与边AB交于R． 求证：P、Q、R三点共线。

222214.设a、b、c、d都是正实数，且a?b?1,c?d?1,，求证：ac＋bd≤1.

二、解答题

11.如图，已知圆内接正五边形ABCDE，若P为劣弧?AB上任一点。 求证：PA＋PD＋PB = PE＋PC.

12. △ABC中，AB＝16，BC＝14，CA＝10，BD、CE是△ABC的两条高，请用两种方法求DE的长。

13.如图，已知△ABC的∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P，∠B的平分线与边CA交于Q，∠C的平分线与边AB交于R． 求证：P、Q、R三点共线。

222214.设a、b、c、d都是正实数，且a?b?1,c?d?1,，求证：ac＋bd≤1.

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