2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第三章 3.1数系的扩充和复数的概念 Word版含答案

第1课时 数系的扩充和复数的概念

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P50～P51的内容，回答下列问题． (1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有．

(2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？

提示：引入了新数i，使i·i＝－1.

(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？ 提示：分别得到a＋i，bi.

(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？ 提示：得到a＋bi. 2．归纳总结，核心必记 (1)复数的概念及代数表示

①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．

②表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

(2)复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.

(3)复数的分类

??实数?b＝0?，

①复数a＋bi(a，b∈R)?

?虚数?b≠0??当a＝0时为纯虚数?.?

②集合表示：

[问题思考]

(1)复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？

提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m， n才是该复数的实部、虚部． (2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虚部是b还是bi? 提示：虚部为b.

(3)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0.

(4)复数集C与实数集R之间有什么关系？ 提示：RC.

(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是0.

(6)a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的充要条件吗？

提示：不是．因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．

1

(7)z1＝3＋2i，z2＝－3i，z3＝－0.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1>z2?

21

提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为，虚部为－3；z3的实部为0，虚部为－

20.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1>z2.

(8)若(a－2)＋bi>0，则a，b应满足什么条件？

提示：要使(a－2)＋bi>0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－2>0，即?

??a>2，? ?b＝0.?

?b＝0，?

??a－2>0，

故

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)复数的定义是什么？ ；

(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？ ；

(3)复数相等的充要条件是什么？ ；

(4)复数的分类是什么？复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？ .

讲一讲

1．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

[尝试解答] 对(1)，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以(1)为假命题；对(2)，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，(2)为假命题；对(3)，2i＝0＋2i，其实部是0，(3)为真命题．故选B.

[答案] B

(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．

(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．

(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．

练一练 1．下列命题中：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②复数z＝0的实部和虚部均为0；

③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A．① B．②④ C．②③ D．③④

解析：选B 在①中，若a＝－1， 则(a＋1)i不是纯虚数， 故①错误；

在③中，若x＝－1，

则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0为实数， 故③错误；②、④正确．

[思考] 当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？ 名师指津：当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．

讲一讲

x2－x－62．实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)

x＋3纯虚数．

?x2－2x－15＝0，?

[尝试解答] (1)当x满足?

?x＋3≠0，?

即x＝5时，z是实数．

2

??x－2x－15≠0，

(2)当x满足?

??x＋3≠0，

即x≠－3且x≠5时，z是虚数．

x－x－6??＝0，x＋3(3)当x满足?即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． ??x2－2x－15≠0，

判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．

练一练

2．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)若z为实数，则

2

???m＋2m＋1>0，?m≠－1，?2即? ?m＋3m＋2＝0，???m＝－2或m＝－1，

2

解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．

2

??m＋2m＋1>0，

(2)若z是虚数，则?2

?m＋3m＋2≠0，?

??m≠－1，

即? ?m≠－2且m≠－1，?

解得m≠－2且m≠－1.

∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．

?lg?m＋2m＋1?＝0，(3)若z为纯虚数，则?2

?m＋3m＋2≠0，?m＋2m＋1＝1，?m＝0或m＝－2，即?2即?

m＋3m＋2≠0，m≠－1且m≠－2.??

解得m＝0.

∴当m＝0时，z为纯虚数．

[思考] 若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则z1＝z2的充要条件是什么？

名师指津：z1＝z2?a＝c且b＝d. 讲一讲

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cz22.html