安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考数学（理）试题（含答案

安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考

数学（理科）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z2，其中i是虚数单位，则复数z的模为（ ） 1?i2（A）2 （B） （C）3 （D） 2

2?2i?a；命题q：“存?2”的充分必要条件”

x开始 S?0,n?1 S?S?n n?2n 否 2．已知命题p：“a?1是x?0,x+2在x0?R，使得x0?x0?2?0”，下列命题正确的是（ ） (A)命题“p?q”是真命题 (B)命题“??p??q”是真命题 (C)命题“p???q?”是真命题 (D)命题“??p????q?”是真命题

3．执行如图所示的程序框图．若输出S?15， 则框图中① 处可以填入（ ） (A) n?4？ (B) n?8？ (C) n?16？ (D) n?16？ 4．在极坐标系中，点(2,)和圆??2cos?的圆心的距离为( )

① 是 输出S 结束 第3题图

π3(A)

3

π2 (B) 2 (C) 1? (D)

9π2 4?95．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与

????????????CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）

(A)

11112112a?b (B) a?b (C) a?b (D) a?b 422433336．数列?an?的首项为3，?bn?为等差数列且bn?an?1?an(n?N?)， 若b3??2,b10?12,则a8?（ ）

第7题图

(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11

7．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中， 最大的是（ ）

（A）43 （B） 8 (C) 83 (D) 47 8．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ） （A）

（C）

5 21 （B）

2 71 3 （D）

8 21x2y29．设F1，F2分别为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，A为双曲线的左

ab顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足?MAN?120?，则该双曲线的离心率为（ ） (A)

21 3 (B)

19737 (C) (D) 33310．若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为（ ）

(A) 2 (B) 2 (C) 22 (D) 8

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

11．已知a???0?a?sinxdx,则二项式?1??的展开式中x?3的系数为 ．

x??512．如图所示，第n个图形是由正n?2边形拓展而来（n?1,2,?），则第n?2个图形共有____ 个顶点．

?x?y?5?0,?13．若不等式组?y?kx?5,表示的平面区域是一个锐角三角形，则

?0?x?2?实数k的取值范是 .

14．抛物线y?x(?3?x?3)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ． 15．对于函数f(x)，若存在区间M??a,b?，使得

第14题图

2?y|y?数：

f(x),x?M??M，则称区间M为函数f(x)的一个“好区间”．给出下列4个函

3①f(x)?sinx；②f(x)?2?1；③f(x)?x?3x；④f(x)?lgx?1．

x其中存在“好区间”的函数是 ． （填入所有满足条件函数的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 16．（本小题满分12分）

??????33已知向量m?(sinx,cosx),n?(,)，x?R，函数f(x)?m?n,

22（Ⅰ）求f(x)的最大值；

（Ⅱ）在?ABC中，设角A，B的对边分别为a,b，若B?2A，且b?2af?A?角C的大小．

17.（本小题满分12分）

等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足

?????，求6?ADCE1??(如图1).将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角DBEA2A1?DE?B为直二面角,连结A1B、AC1 (如图2).

（Ⅰ）求证:A1D?平面BCED;

（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60??若存在,求出

PB的长,若不存在,请说明理由.

18．（本小题满分12分）

2?设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足an?1?4Sn?4n?1,n?N,且

a2,a5,a14恰好是等比数列?bn?的前三项．

（Ⅰ）求数列?an?、?bn?的通项公式；

（Ⅱ）记数列?bn?的前n项和为Tn,若对任意的n?N*，(Tn?)k?3n?6恒成立，求

2

实数k的取值范围． 19．（本小题满分12分） 生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为 次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标 元件A 元件B 3?70,76? 8 7 ?76,82? 12 18 ?82,88? 40 40 ?88,94? 32 ?94,100? 8 6 29 （Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，

若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；

（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分13分）

已知P?x,y?为函数y?1?lnx图象上一点，记直线OP的斜率k?f?x?． O为坐标原点，(Ⅰ)若函数f?x?在区间?a,a???1???a?0?上存在极值，求实数a的取值范围； 3?2e??，有f(x1)?f(x2)?m?（Ⅱ）如果对任意的x1，x2??，求实数m的取?，x1x2?11值范围．

21．（本小题满分14分）

x2y2在平面直角坐标系xoy中，已知F1,F2分别是椭圆G:2?2?1(a?b?0)的左、右焦

ab点，椭圆G与抛物线y??4x有一个公共的焦点，且过点(?(Ⅰ)求椭圆G的方程;

(Ⅱ) 设点P是椭圆G在第一象限上的任一点,连接PF1,PF2,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆G有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为

26,1). 2k1,k2,试证明

11?为定值,并求出这个定值； kk1kk2（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作F2Q?F2P，设F2Q交l于点Q， 证明:当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上.

安徽省六校教育研究会2014届高三联考

数学（理科）答案

一、 选择题(5'×10=50')

题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 D 9 A 10 D 二、填空题(5'×5=25') 11）、-80； 12）、n2?n； 三、解答题（75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)?13)、(?1,0)； 14）、1、②③④。 91?； 15）

33?（注：sinx?cosx ………………2分?3sin(x?)…………4分

226也可以化为3cos(x??）所以

f(x)的最大值为3．……6分（注：没有化简或化简过)3程不全正确，但结论正确，给4分） （Ⅱ）因为b?2af(A??622又B?2A，所以sin2A?23sinA，即sinAcosA?3sinA， ……9分

而A是三角形的内角，所以sinA?0，故cosA?3sinA，tanA?所以A?)，由（1）和正弦定理，得sinB?23sin2A．……7分

3， ……11分 3?6，B?2A??3，C???A?B??2． …………12

分

17.（本小题满分12分）

证明:(1)因为等边△ABC的边长为3,且

ADCE1??, DBEA2所以AD?1,AE?2. 在△ADE中,?DAE?60?, 由余弦定理得DE?1?2?2?1?2?cos60?3. 因为

22?AD2?DE2?AE2,

所以AD?DE. ?????????3分

折叠后有A1D?DE,因为二面角A1?DE?B是直二面角, 所以平面A1DE?平面BCED ,又平面A1DE?平面

BCED?DE,

A1D?平面A1DE,A1D?DE, 所以A1D?平面BCED.????6分

(2)解法1:假设在线段BC上存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?. 如图,作PH?BD于点H,连结A1H、A1P ， 由(1)有A1D?平面BCED,而PH?平面BCED,

所以A1D?PH,又A1D?BD?D, 所以PH?平面A1BD

,

所以?PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角 , ?????????8分 设PB?x?0?x?3?,则BH?以A1H?23x,PH?x,在Rt△PA1H中,?PA1H?60?,所

2211x ,在Rt△A1DH中,A1D?1,DH?2?x ,由A1D2?DH2?A1H2, 222251??1??得1??2?x???x? ,解得x?,满足0?x?3,符合题意 所以在线段BC22??2??上存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?,此时

PB?5 ?????????12分 2解法2:由(1)的证明,可知ED?DB,A1D?平面BCED.

以D为坐标原点,以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D?xyz如图 ,设PB?2a?0?2a?3?, 则

BH?a,PH?3a,DH?2?a ,所以A1?0,0,1?,P2?a,3a,0,E0,3,0,

????所以PA1?a?2,?3a,1 ,因为ED?平面A1BD, 所以平面A1BD的一个法向量

??????????为DE?0,3,0 , ?????????9分

??因为直线

PA1与平面A1BD所成的角为60?, 所以

????????PA1?DE3a355?, 解得a? ,即PB?2a?,?sin60????????? ,?422PA1DE4a2?4a?5?3满足0?2a?3,符合题意,所以在线段BC上存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成

的角为60?,此时PB?5 . ?????????12分 2218．（本小题满分12分）

22（Ⅰ）当n?2时，4Sn?1?an?4?n?1??1，4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4 22an?1?an?4an?4??an?2?,?an?0?an?1?an?2??????2分

22?a2?a14，?当n?2时，?an?是公差d?2的等差数列.?a2,a5,a14构成等比数列，?a5?a2?8?2?a2??a2?24?，解得a2?3,????3分

2由条件可知，4a1?a2?5=4,?a1?1??????4分

?a2?a1?3?1?2? ?an?是首项a1?1,公差d?2的等差数列.

?数列?an?的通项公式为an?2n?1.??????5分,

数列{bn}的通项公式为bn?3………………6分

nb1(1?qn)3(1?3n)3n?1?33n?1?33???)k?3n?6对n?N*恒成 (Ⅱ) Tn?， ?(1?q1?3222立， ?k?

2n?4*对恒成立，----9分， n?Nn32n?42n?42n?6?2(2n?7)cn?cn?1，，，当n?3时，当n?4c?c??n?1?nn?13n3n33n22时，cn?cn?1?(cn)max?c3?，k?．????12分

2727令cn?19（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题可知 元件A为正品的概率为

43，元件B为正品的概率为。?????2分 54（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5?x件，由题意知

100x?20(5?x)?300得到x?4,5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”

4为事件C，则P(C)?C5()4?34181535。???????????6分 ?C5()?44128（ii）随机变量X的所有取值为150,90,30，-30，

433133411，P(X?30)???， ??，P(X?90)???5455420545111， P(X??30)???5420所以X的分布列为： 150 90 30 -30 X 则P(X?150)?P 3 53 201 5 1 20???????10分

3311E(X)?150??90??30??30??108??????????12分

520520（20）（本小题满分13分）

1?lnx??lnx1?lnxx?0? ， ???解：（1）由题意k?f?x??，所以f??x??????2xx?x?2分

当0?x?1时，f??x??0；当x?1时，f??x??0．所以f?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减，故f?x?在x?1处取得极大值． ????????3分

?0?a?11???因为函数f?x?在区间?a,a??（其中?a?0?）上存在极值，所以?，得13?a??1??3?2?2?． ?????6分

1??a?1．即实数a的取值范围是?，33??2（Ⅱ）由(Ⅰ)知， f(x)在?e2，???上单调递减，不妨设x1?x2?e，则

?f(x1)?f(x2)?m

1111mm??f(x2)?f(x1)?m(?)?f(x2)??f(x1)? x1x2x2x1x2x1?函数F(x)?f(x)?由F(x)?f(x)?m在?e2，???上单调递减。?????8分 ?xm1?lnxmlnxm??,x?[e2,??)，则F?(x)??2?2?0在xxxxx[e2,??)上恒成立，所以m?lnx在[e2,??)上恒成立，所以，故m?2 .??????

13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）解(Ⅰ)由题意得c?1 ，又

31+?1，?????????2分 222ab1消去b可得，2a4?7a2?3?0，解得a2?3或a2?（舍去），则b2?2， 2yPlxy求椭圆G的方程为C:??1．????????4分

32(Ⅱ)设直线l方程为y?kx?m，并设点P(x0,y0)，

22QxF1OF2第19题图 ?2x2?3y2?6?0?(3k2?2)x2?6kmx?3m2?6?0. 由??y?kx?m???0?m2?2?3k2，?????????6分

x0??3km3k???0，当k?0时,m?0，直线与椭圆相交，所以k?0,m?0，2m2?3k6， 23?x0m2?2?3k2?m?2xx02y022(3?x02)22由得m?，?k??0，???????8分 ??1?y0?3y0y0323y??2x0x2xxyyyy11??，整理得：0?0?1.而k1?0,k2?0,代入中得 3y0y0kk1kk232x?1x?1

3yx?1x0?111???0(0?)??3为定值. ????????10分 kk1kk22x0y0y0（用导数求解也可，若直接用切线公式扣4分，只得2分） （III）PF2的斜率为：kPF2?y0x?1，又由PF2?F2Q?kF2Q??0, x0?1y0x0?1?y??(x0?1)?x?1y0?(x0?1),联立方程?从而得直线F2Q的方程为：y??0, y0?x0x?y0y?1?2?3消去y得方程(x0?3)(x?3)?0，因为x0?3， 所以x?3 ，

即点Q在直线x?3上. ?????????14分

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