平面向量的数量积及运算律、定比分点及平移课时闯关(含答案解析)

平面向量的数量积及运算律

一、选择题

1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )

A ．－32 B.32

C ．2

D ．6

解析：选D.由a·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，

∴m ＝6.

2．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )

A ．一次函数且是奇函数

B ．一次函数但不是奇函数

C ．二次函数且是偶函数

D ．二次函数但不是偶函数

解析：选A.∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，

∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2·a·b ＋(|b |2－|a |2)x －a·b ＝(|b |2－|a |2)·x .

又∵|b |≠|a |，∴f (x )为一次函数，且是奇函数，故选A.

3．(2013·重庆一中高三调研)若向量a 与b 的夹角为75°，|a |＝2sin 150°，|b |＝4cos 15°，则a·b 的值为

A ．－1

B ．1

C ．－ 3 D. 3

解析：选B.|a |＝2sin 150°＝2×12

＝1. a·b ＝1×4cos 15°cos75°＝1×2×2cos 15°sin15°＝1.

4．(2011·高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p 1：|a ＋b |>1?θ∈?

???0，2π3 p 2：|a ＋b |>1?θ∈????2π3，π

p 3：|a －b |>1?θ∈???

?0，π3 p 4：|a －b |>1?θ∈????π3，π

其中的真命题是( )

A ．p 1，p 4

B ．p 1，p 3

C ．p 2，p 3

D ．p 2，p 4

解析：选A.由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，

得2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，∴0≤θ<2π3

. 由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，

得2－2cos θ>1，

∴cos θ<12，∴π3

<θ≤π. ∴p 1，p 4正确．

5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为

A.2－1 B ．1

C. 2 D ．2

解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，

得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，

∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.

∴|a ＋b －c |≤1.

二、填空题

6．已知向量a ，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．

解析：b 在a 上的投影是|b |·cos 60°＝2×12

＝1. 答案：1

7．(2011·高考江西卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．

解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a·b ＝－2

且|a |＝|b |＝2，∴a·b ＝2，

∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12

. 而〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3

. 答案：π3

8．(2012·高考上海卷)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3

，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|

，则AM →·AN →的取值范围是__________． 解析：设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|

＝x (0≤x ≤1)， 则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋xAD →，

AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－x )AB →，

∴AM →·AN →＝(AB →＋xAD →)·[AD →＋(1－x )AB →]

＝xAD →2＋(1－x )AB →2＋(x －x 2＋1)AB →·AD →

＝x |AD →|2＋(1－x )|AB →|2＋(－x 2＋x ＋1)×2×1×12

＝x ＋4(1－x )－x 2＋x ＋1

＝－(x ＋1)2＋6.

∵0≤x ≤1，∴－(x ＋1)2＋6∈[2,5]．

答案：[2,5]

三、解答题

9．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，β＝α－π6

， 求向量OA →与OB →的夹角．

解：设向量OA →与OB →的夹角为θ，

∵cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|

＝－λsin βcos α＋λsin αcos β|λ| ＝λsin (α－β)|λ|

， 又∵α－β＝π6，∴当λ＞0时，cos θ＝12

，θ＝60°， 即向量OA →与OB →的夹角为60°.

当λ＜0时，cos θ＝－12

，θ＝120°，即O A →与O B →的夹角为120°. 10．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时，λ的取值范围．

解：若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角，则(a ＋λb )·(λa ＋b )>0，且λ≠1(即夹角不是0°)．

即λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0且λ≠1.

∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝9，

a ·

b ＝|a |·|b |cos 45°＝2×3×22

＝3， ∴2λ＋(λ2＋1)×3＋9λ>0，

即3λ2＋11λ＋3>0且λ≠1，

解得λ<－11－856或λ>－11＋856

且λ≠1. 11．(探究选做)(2013·重庆调研)在△ABC 中，设B C →·C A →＝C A →·A B →.

(1)求证：△ABC 为等腰三角形；

(2)若|B A →＋B C →|＝2且B ∈[π3，2π3

]，求B A →·B C →的取值范围． 解：(1)证明：因为B C →·C A →＝C A →·A B →，所以C A →·(B C →－A B →)＝0.

又A B →＋B C →＋C A →＝0，所以C A →＝－(A B →＋B C →)，所以－(A B →＋B C →)·(B C →－A B →)＝0，

所以A B →2－B C →2＝0，所以|A B →|2＝|B C →|2，即|A B →|＝|B C →|，

故△ABC 为等腰三角形．

(2)因为B ∈[π3，2π3]，所以cos B ∈[－12，12

]， 设|A B →|＝|B C →|＝a ，因为|B A →＋B C →|＝2，

所以|B A →＋B C →|2＝4，所以a 2＋a 2＋2a 2 cos B ＝4，所以，a 2＝

21＋cos B

，所以B A →·B C →＝|B A →|·|B C →|cos B ＝2 cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈[－2，23]． 定比分点及平移

一、选择题

1．(2012·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4

后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )

A ．(－72，－2)

B ．(－72，2)

C ．(－46，－2)

D ．(－46，2)

解析：选A.画出草图(图略)，可知点Q 落在第三象限，

则可排除B 、D ，代入A ，

cos ∠QOP ＝6×(－72)＋8×(－2)62＋8

2＝－502100＝－22， 所以∠QOP ＝3π4

. 代入C ，cos ∠QOP ＝6×(－46)＋8×(－2)62＋82

＝－246－16100≠－22

，故选A. 2．在△ABC 中，已知点A (2，－1)，B (－5,3)，点G (1，－2)在中线AD 上，且AG →＝2GD →，则点C 的

坐标为( )

A ．(8，－6)

B ．(－6,8)

C ．(－8,6)

D ．(6，－8)

解析：选D.设中点D (x ，y )，AG →＝(－1，－1)，GD →＝(x －1，y ＋2)．∴(－1，－1)＝2(x －1，y ＋2)．

∴????? －1＝2(x －1)－1＝2(y ＋2)，∴???

x ＝12y ＝－52.∴C (6，－8)． 3．(2012·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－

λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )

A.13

B.23

C.43

D ．2 解析：选B.设AB →＝a ，AC →＝b ，

则由已知得a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，

并且AP →＝λa ，AQ →＝(1－λ)b ，

所以BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)b －a ，CP →＝AP →－AC →＝λa －b ，

所以BQ →·CP →＝[(1－λ)b －a ]·(λa －b )

＝[λ(1－λ)＋1]a ·b －λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)

＝3λ－4＝－2，所以λ＝23

. 4．(2013·兰州一中调研)已知O 是平面上的一定点，在△ABC 中，动点P 满足条件O P →＝O A →＋λ(A B →＋A C →)(其中λ∈[0，＋∞))，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A ．内心

B ．重心

C ．垂心

D ．外心

解析：选B.O P →－O A →＝λ(A B →＋A C →)．

即A P →＝λ(A B →＋A C →

)． 设BC 的中点为M .则A B →＋A C →＝2AM →，∴A P →＝2λAM →.

又∵λ>0，∴P 在直线AM 上，过重心．

二、填空题

5．已知函数y ＝1－x 1＋x

，按a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则a ＝________. 解析：y ＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1

，按a ＝(1,1)平移，则将已知函数化为y ＝2x .答案：(1,1) 6．(2013·河北石家庄模拟)F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且???

?0，π2是函数F (x )的单调递增区间，将F (x )的图象按向量a ＝(π，0)平移得到一个新函数G (x )的图象，则它的单调递减区间必定是________．

解析：由题意得F (x )＝f (x )＋f (－x )是偶函数，则????π2，π是F (x )的单调递减区间，将F (x )按向量a ＝(π，

0)平移得到G (x )的图象，就是向右平移π个单位，所以????3π2，2π是所求单调递减区间．

答案：????3π2，2π

7．将函数y ＝f (x )的图象沿向量a ＝(－2,2)平移后，得到函数y ＝2x ＋2＋2的图象，则函数f (x )＝________.

解析：由y ＝2x ＋2＋2按－a ＝(2，－2)平移得到f (x )，向右平移2个单位，向下平移2个单位得f (x )＝

2x .答案：2x

8．(探究选做)如果P 1、P 2、P 3三点在同一直线上，且P 1、P 2、P 3三点坐标分别为(3，y )、(x ，－1)、

(0，－3)，|P 1P 3→|＝3|P 3P 2→|，求点P 1、P 2的坐标．

解：P 1、P 2、P 3三点在同一直线上，|P 1P 3→|＝3|P 3P 2→|，

则P 3分P 1P 2→的定比λ＝3或λ＝－3.

则当λ＝3时，由????? 0＝3＋3x 1＋3

，－3＝y ＋3×(－1)1＋3.得x ＝－1，y ＝－9，故P 1(3，－9)、P 2(－1，－1)； 当λ＝－3时，由????? 0＝3＋(－3)x 1＋(－3)，

－3＝y ＋(－3)(－1)1＋(－3).得x ＝1，y ＝3，故P 1(3,3)、P 2(1，－1)．

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