基本不等式说课稿

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一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B．能力目标：通过实例探究基本不等式；

C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；

2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，基本不等式ab?等号成立条件

2

4、教材处理

本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解重要不等式a2?b2?2ab和基本不等式

a?b(a?0,b?0)及它们的几何解释，掌握应用基本不等式解决某些数学问题．第二课时讲解2利用基本不等式：ab?a?b(a?0,b?0)来解决实际问题．

2ab?二． 教法分析 1、教学方法

本节内容从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。这样安排是为了体现数学知识的产生与发展过程，体现数学的应用价值。新课标中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的探究能力。本节课学生通过多种证法经历和感受了式子的来历，又通过探索不等式的成立，加强了学生主动探索，敢于质疑的能力。

认真贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思”的八字方针。 2、教学手段

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设计制作教学课件，直观形象地展示变换过程。化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。 三． 学法指导

在教学中，以教师为主导，以学生为主体，在教学中引导学生去提出、分析和解决问题。课堂上从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求基本不等式，发现基本不等式的实质，利用基本不等式解决实际问题的过程。使学生从代数证明和几何证明两方面理解并掌握基本不等式。 四． 教学过程

（一）、创设情景，引入课题

从古至今中国人有很多发明创造推动了和推动着世界的前进，在这璀璨的星空里，最耀眼的一颗就是被奉为20XX年北京国际数学家大会会徽的《赵爽弦图》（动画打出）。如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

这就是公元前1000多年前我国数学家赵爽发现并记录在《周脾算经》中的发现和证明勾股定理的《赵爽弦图》；它比欧洲毕达哥拉斯学派的发现早了500多年。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

设计意图：勾起学生强烈的民族自豪感和强烈的求知欲，并对学生渗透爱国主义教育，同时告诉学生记住我国光辉而灿烂的历史。

（二）、讲授新课

1、探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为

a2?b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面

a2?b2。

积为

由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积， 我们就得到了一个不等式：a2?b2?2ab。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时， 正方形EFGH缩为一个点，这时有a2?b2?2ab。

得到结论：重要不等式：如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 2、 证明重要不等式

因为 a2?b2?2ab?(a?b)2

当a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,

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所以，(a?b)2?0，即a2?b2?2ab. (当且仅当a?b时取\?\号) 说明“当且仅当”的含义

4、特别的，如果a>0,b>0,我们用a、b分别代替a、b ，可得a?b?2ab， 通常我们把上 式写作：ab?5、证明基本不等式

点评，强调“当且仅当”的重要作用；

a?b的几何意义 2探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连

a?b接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式ab?的几何解释吗？

2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB a?b(a>0,b>0)——基本不等式 26、基本不等式ab?即ＣD＝ab.

a?ba?b，显然，它大于或等于CD，即?ab， 22其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 结论：半径不小于半弦

7、评述：①.比较重要不等式与基本不等式(强调它们的限制条件)

a?b②.在数学中，我们称为正数a 、b的算术平均数，

2称ab为正数a 、b的几何平均数.

基本不等式还可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

③.基本不等式可推广为：n个正数的几何平均数不大于这n个数的算术平均数。

a?a2??an即：na1a2?an?1（当且仅当a1=a2=...=an时取“=”号）

n这个圆的半径为

设计意图：探索发现，观察归纳，形成概念，加深对重要不等式和基本不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．让学生积极的参与到学习中来，激发学生的学习兴趣。

(三)、教学运用

教师引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建解题思路．学生与教师一道完成问题。 例1（1）用篱笆围一个面积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?

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设计意图：这个例题体现了基本不等式的实用价值。随着高考综合科目的确定，联系各个学科的试题将会不断出现，数学作为工具性的学科，学好数学，也增强了攻读好其他学科的信心。

反思：基本不等式成立的条件：（一正，二定，三相等） ① x,y必须是正数

② x与y的积或和必须是常数（定值） ③ 等号成立的条件必须存在

例2（1）若x>0,求f(x)?12?3x的最小值。 （2）若x<0,求f(x)?12?3x的最大值。

xx设计意图：求最值问题是在实际运用中的亮点，而学生往往会在这个环节中出错，忽略了前面强调的“一正，二定，三相等”。本例可以由学生先动手解决，，再点评。

练习：课本 第100页练习1.2.3.4

设计意图：巩固对基本不等式的理解，并会解决某些实际问题。 （四）、小结（教师引导学生小结本节课所学的知识要点）

1．本节课学习了重要不等式和基本不等式及它们在解决实际问题中的应用． 2．注意：①两个不等式使用的条件；

②基本不等式成立的条件（一正，二定，三相等）．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（五）、作业

作业：课本 第100页A组 1.2

研究题：设正数a、b,试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

五． 板书设计 3.4 基本不等式

重要不等式 例1 例2 练习 基本不等式

证 解 解 作业

明 答 答 研究

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