2008矩阵分析试题答案090105
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……太原理工大学 矩阵分析 试卷(A) ……
…适用专业: 08级硕士研究生 考试日期: 09. 1.5 时间: 120 分钟 共 7 页 ……题 号 一 二 11 12 13 14 15 16 总 分 ……得 分 ……
……线一.填空题(每小题3分,共15分)
……1.设矩阵A?0,并且(E?A)?1?E?A,则A的最小多项式m(?)? ?2 .
……?10……2.设A??0??0?20???,A(?)??E?A,则A(?)的Smith标准形为?1?1?……??????.
?201?(??1)2(??2)??……3.若A?Om?n,则A的加号逆A?? On?m .
……?123?…?0…4.若矩阵A??3012?封??1?,则矩阵A的谱半径?(A)? 6 . …?230…??1230???……?……5.设A??200??cos2??0?10??,则矩阵函数cosA=??cos1?? .
…?…?01?1????sin1cos1??……二.单项选择题(每小题3分,共15分)
密6.矩阵A与对角矩阵酉相似的充分必要条件是( C ) ……(A)A为正定矩阵; (B)A为正交矩阵; ……(C)A为正规矩阵; (D)A为元素全为正的矩阵. ……7.设x?Cn ,则( A ) …(A)…x1?x2?x?; (B)x1?x??x2;
……(C)x2?x??x1; (D)x??x2?x1.
……8.设矩阵A的谱半径?(A)?1,则下列命题不正确的是( D ) ……(A)(E?A)?1?1…E?A; (B)limkk??A?0;
…?(C)
?Ak?(E?A)?1; (D)?m,使Am?0.
k?0A第 1 页 共 7 页
9.设A是实的反对称矩阵(A??A),则下列命题正确的是( B )
(A)e是实的反对称矩阵; (B)e是正交矩阵; (C)cosA是实的反对称矩阵; (D)sinA是实的对称矩阵. 10.设T是线性空间V上的一个线性变换,则下列命题正确的是( A )
(A)dim(R(T))?dim(ker((B)R(T)?ker(T))?dimV;T)?V;
(C)R(T)?ker(T)?{0}; (D)R(T)?ker(T)?R(T)?ker(T). 三.证明与计算题(共70分)
11.(10分)设V?{p(x)|p(x)是次数?n的实系数多项式,并且p(0)?0}, (1)验证V是Rn[x]上的一个n维线性子空间;
AATk?1,2,3,(2)当n?3时,设pk(x)?(x?1)k?1,求V中由基x,x2,x3到基p1(x),p2(x),p3(x)的过渡矩阵.
解:假设p(x),q(x)是次数?n的实系数多项式,并且p(0)?0,q(0)?0,c?R为常数,则
p(x)?q(x)与cp(x)也是次数?n的实系数多项式,并且p(0)?q(0)?0,cp(0)?0,所以V是
Rn[x]上的一个线性子空间;
有因为x,x2,?,xn是V的一组基,所以V是n维线性子空间。 由于p1(x)?(x?1)?1?x;
p2(x)?(x?1)2?1?x2?2x;
p3(x)?(x?1)3?1?x3?3x2?3x;
?123???23所以,(p1(x),p2(x),p3(x))?(x,x,x)?013?,即由基x,x2,x3到基p1(x),p2(x),p3(x)的
?001????123???过渡矩阵为?013?。
?001???
A第 2 页 共 7 页
12.(12分) 在R中定义变换T为
3T(x1,x2,x3)?(4x1?2x2,?3x1?2x2?x3,?3x1?x2?x3),
(1)证明T是R上的线性变换;
(2)求T在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵; (3)求T的像空间的一组基及其维数.
解:显然T(x1,x2,x3)?R3,所以T是R上的变换。
任取x?(x1,x2,x3)?R3,y?(y1,y2,y3)?R3,任取k?R,则
33T(x?y)?T(x1?y1,x2?y2,x3?y3)
?(4x1?4y1?2x2?2y2,?3x1?3y1?2x2?2y2?x3?y3,?3x1?3y1?x2?y2?x3?y3) ?(4x1?2x2,?3x1?2x2?x3,?3x1?x2?x3)?(4y1?2y2,?3y1?2y2?y3,?3y1?y2?y3)?T(x)?T(y);
T(kx)?T(kx1,kx2,kx3)?(4kx1?2kx2,?3kx1?2kx2?kx3,?3kx1?kx2?kx3)
?k(4x1?2x2,?3x1?2x2?x3,?3x1?x2?x3)?kT(x),
所以,T是R上的线性变换。
T(e1)?T(1,0,0)?(4,?3,?3)
3T(e2)?T(0,1,0)?(2,?2,?1)
T(e3)?T(0,0,1)?(0,1,?1)
20??4??所以,T(e1,e2,e3)?(e1,e2,e3)??3?21?,即T在基e1,e2,e3下的矩阵为
??3?1?1???20??4??A???3?21?。
??3?1?1???20??101??101??4?????? 由于(Te1,Te2,Te3)???3?21????3?21???01?2?,所以,T的像空
??3?1?1??0??1?2??????000?间R(T)?span(Te1,Te2,Te3)?span(Te1,Te2),其中Te1,Te2为一组基,维数为2。
A第 3 页 共 7 页
13.(12分) 给定n阶正定矩阵A,对任意的列向量x,y?Rn,定义(x,y)?xTAy. (1)验证(x,y)是R中的一种内积;
n?111???n(2)当n?3,A??120?时,求R在上述内积意义下的一组标准正交基。
?103???
解:因为对任意的x,y,z?Rn,k?R,有
(x,y)?xTAy?(xTAy)T?yTATx?yTAx?(y,x)(A为对称矩阵); (kx,y)?(kx)TAy?k(xTAy)?k(x,y);
(x?z,y)?(x?z)TAy?xTAy?zTAy?(x,y)?(z,y);
(x,x)?xTAx?0,且(x,x)?xTAx?0当且仅当x?0(A为正定矩阵) 所以,(x,y)是R中的一种内积。
n?111???n 当n?3,A??120?时,取R的一组基为:e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)。
?103???将其正交化得:
?1?e1;
?2?e2??3?e3?(e2,?1)1?1?e2??1?(?1,1,0);
(?1,?1)1(e3,?1)(e,?)1?1?1?32?2?e3??1??2?(?2,1,1)。
(?1,?1)(?2,?2)11
由于(?1,?1)?(?2,?2)?(?3,?3)?1,所以?1?(1,0,0),在上述内积意义下的一组标准正交基。
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?2?(?1,1,0),?3?(?2,1,1)是Rn
14.(12分) 设A是n阶可逆矩阵,E是n阶单位矩阵. (1)证明:||E||?1;
(2)利用(1)的结论证明:||A?1||?||A||?1; (3)如果||?||是矩阵的算子范数;证明:||E||?1.
解:对任意的x?0,则||x||?0,由范数的相容性||x||?||Ex||?||E||?||x||,所以 ||E||?1。 由于AA?1?E,且||E||?||AA?1||?||A||?||A?1||,根据(1)得||A?1||?||A||?1。
||x||?1||x||?1 由矩阵的算子范数定义,||E||?max||Ex||?max||x||?1。
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