2008矩阵分析试题答案090105

号学 ) 计 分 零 按 者 违名，姓题 答 准 不 内 线 封 密 、 级 班 级、班号业学专、名 姓系写 要 不 外 线 封 密( 院学 考试方式： 闭卷

……太原理工大学 矩阵分析 试卷(A) ……

…适用专业： 08级硕士研究生 考试日期： 09. 1.5 时间： 120 分钟 共 7 页 ……题 号 一 二 11 12 13 14 15 16 总 分 ……得 分 ……

……线一．填空题(每小题3分，共15分)

……1．设矩阵A?0，并且(E?A)?1?E?A，则A的最小多项式m(?)? ?2 .

……?10……2．设A??0??0?20???，A(?)??E?A，则A(?)的Smith标准形为?1?1?……??????.

?201?(??1)2(??2)??……3．若A?Om?n，则A的加号逆A?? On?m .

……?123?…?0…4．若矩阵A??3012?封??1?，则矩阵A的谱半径?(A)? 6 . …?230…??1230???……?……5．设A??200??cos2??0?10??，则矩阵函数cosA=??cos1?? .

…?…?01?1????sin1cos1??……二．单项选择题(每小题3分，共15分)

密6．矩阵A与对角矩阵酉相似的充分必要条件是（ C ） ……（A）A为正定矩阵； （B）A为正交矩阵； ……（C）A为正规矩阵； （D）A为元素全为正的矩阵. ……7．设x?Cn ，则（ A ） …（A）…x1?x2?x?； （B）x1?x??x2；

……（C）x2?x??x1； （D）x??x2?x1.

……8．设矩阵A的谱半径?(A)?1，则下列命题不正确的是（ D ） ……（A）(E?A)?1?1…E?A； （B）limkk??A?0；

…?（C）

?Ak?(E?A)?1； （D）?m，使Am?0．

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9.设A是实的反对称矩阵（A??A），则下列命题正确的是（ B ）

（A）e是实的反对称矩阵； （B）e是正交矩阵； （C）cosA是实的反对称矩阵； （D）sinA是实的对称矩阵． 10．设T是线性空间V上的一个线性变换，则下列命题正确的是（ A ）

（A）dim(R(T))?dim(ker(（B）R(T)?ker(T))?dimV；T)?V；

（C）R(T)?ker(T)?{0}； （D）R(T)?ker(T)?R(T)?ker(T). 三．证明与计算题(共70分)

11．（10分）设V?{p(x)|p(x)是次数?n的实系数多项式，并且p(0)?0}， （1）验证V是Rn[x]上的一个n维线性子空间；

AATk?1,2,3，（2）当n?3时，设pk(x)?(x?1)k?1，求V中由基x,x2,x3到基p1(x),p2(x),p3(x)的过渡矩阵.

解：假设p(x),q(x)是次数?n的实系数多项式，并且p(0)?0，q(0)?0，c?R为常数，则

p(x)?q(x)与cp(x)也是次数?n的实系数多项式，并且p(0)?q(0)?0，cp(0)?0，所以V是

Rn[x]上的一个线性子空间；

有因为x,x2,?,xn是V的一组基，所以V是n维线性子空间。 由于p1(x)?(x?1)?1?x；

p2(x)?(x?1)2?1?x2?2x；

p3(x)?(x?1)3?1?x3?3x2?3x；

?123???23所以，(p1(x),p2(x),p3(x))?(x,x,x)?013?，即由基x,x2,x3到基p1(x),p2(x),p3(x)的

?001????123???过渡矩阵为?013?。

?001???

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12．(12分) 在R中定义变换T为

3T(x1,x2,x3)?(4x1?2x2,?3x1?2x2?x3,?3x1?x2?x3)，

（1）证明T是R上的线性变换；

（2）求T在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵； （3）求T的像空间的一组基及其维数.

解：显然T(x1,x2,x3)?R3，所以T是R上的变换。

任取x?(x1,x2,x3)?R3，y?(y1,y2,y3)?R3，任取k?R，则

33T(x?y)?T(x1?y1,x2?y2,x3?y3)

?(4x1?4y1?2x2?2y2,?3x1?3y1?2x2?2y2?x3?y3,?3x1?3y1?x2?y2?x3?y3) ?(4x1?2x2,?3x1?2x2?x3,?3x1?x2?x3)?(4y1?2y2,?3y1?2y2?y3,?3y1?y2?y3)?T(x)?T(y)；

T(kx)?T(kx1,kx2,kx3)?(4kx1?2kx2,?3kx1?2kx2?kx3,?3kx1?kx2?kx3)

?k(4x1?2x2,?3x1?2x2?x3,?3x1?x2?x3)?kT(x)，

所以，T是R上的线性变换。

T(e1)?T(1,0,0)?(4,?3,?3)

3T(e2)?T(0,1,0)?(2,?2,?1)

T(e3)?T(0,0,1)?(0,1,?1)

20??4??所以，T(e1,e2,e3)?(e1,e2,e3)??3?21?，即T在基e1,e2,e3下的矩阵为

??3?1?1???20??4??A???3?21?。

??3?1?1???20??101??101??4?????? 由于(Te1,Te2,Te3)???3?21????3?21???01?2?，所以，T的像空

??3?1?1??0??1?2??????000?间R(T)?span(Te1,Te2,Te3)?span(Te1,Te2)，其中Te1,Te2为一组基，维数为2。

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13．(12分) 给定n阶正定矩阵A，对任意的列向量x,y?Rn，定义(x,y)?xTAy. （1）验证(x,y)是R中的一种内积；

n?111???n（2）当n?3，A??120?时，求R在上述内积意义下的一组标准正交基。

?103???

解：因为对任意的x,y,z?Rn，k?R，有

(x,y)?xTAy?(xTAy)T?yTATx?yTAx?(y,x)（A为对称矩阵）； (kx,y)?(kx)TAy?k(xTAy)?k(x,y)；

(x?z,y)?(x?z)TAy?xTAy?zTAy?(x,y)?(z,y)；

(x,x)?xTAx?0，且(x,x)?xTAx?0当且仅当x?0（A为正定矩阵） 所以，(x,y)是R中的一种内积。

n?111???n 当n?3，A??120?时，取R的一组基为：e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)。

?103???将其正交化得：

?1?e1；

?2?e2??3?e3?(e2,?1)1?1?e2??1?(?1,1,0)；

(?1,?1)1(e3,?1)(e,?)1?1?1?32?2?e3??1??2?(?2,1,1)。

(?1,?1)(?2,?2)11

由于(?1,?1)?(?2,?2)?(?3,?3)?1，所以?1?(1,0,0),在上述内积意义下的一组标准正交基。

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?2?(?1,1,0),?3?(?2,1,1)是Rn

14．(12分) 设A是n阶可逆矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）证明：||E||?1；

（2）利用（1）的结论证明：||A?1||?||A||?1； （3）如果||?||是矩阵的算子范数；证明：||E||?1.

解：对任意的x?0，则||x||?0，由范数的相容性||x||?||Ex||?||E||?||x||，所以 ||E||?1。 由于AA?1?E，且||E||?||AA?1||?||A||?||A?1||，根据（1）得||A?1||?||A||?1。

||x||?1||x||?1 由矩阵的算子范数定义，||E||?max||Ex||?max||x||?1。

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