2016学年四川省自贡市田家炳中学九年级（下）第一次月考数学试卷

2015-2016学年四川省自贡市田家炳中学九年级（下）第一次月

考数学试卷

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）﹣6的倒数是（ ） A．6

B．﹣6 C．

D．﹣

2．（4分）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）

A．x≥1 B．x≥1且x≠2 C．x≠2 D．x＞1且x≠2 3．（4分）已知x1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根，则A．﹣6 B．6

C．10

D．﹣10

的图象上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那么（ ）

2

的值等于（ ）

4．（4分）若反比例函数

A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0 5．（4分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对我市中学生心理健康现状的调查 B．调查我市冷饮市场雪糕质量情况

C．调查我国网民对日本因地震引发的福岛核事故的看法 D．对我国首架大陆民用飞机各零部件质量的检查

6．（4分）已知⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，圆心O1，O2的距离为4cm，则两圆的位置关系是（ ）

A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 7．（4分）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ） A．45° B．90° C．l35° D．270°

8．（4分）有下列函数：①y=﹣3x②y=x﹣1③

④y=x+2x+1，其中函数值

2

y随自变量x增大而增大的函数有（ ）

A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 9．（4分）李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为（ ）

A．37 B．33 C．24 D．21 10．（4分）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记

甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对（x，y）对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）某市为解决低收人群众住房难问题，预计在近五年内建成316万平方米的廉租房，数据316万用科学记数法表示并保留两个有效数字是 ． 12．（4分）如图，△ABC中，AB=BC=6，AC=10，分别以AB，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．

13．（4分）在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ． 14．（4分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．

15．（4分）如图，一根木棒（AB）长为2a，斜靠在与地面（OM）垂直的墙壁（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°，当木棒A端沿N0向下滑动到A′，AA′=，B端沿直线OM向右滑动到B′，则木棒中点从P随之运动到P′所经过的路径长为 ．

三、解答题（共4个题，每题8分，共32分） 16．（8分）计算：

+

．

17．（8分）已知a=，求代数式的值．

18．（8分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．

求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）

（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？ 19．（8分）我市某校九年级一班学生参加毕业体考的成绩统计如图所示，请根据统计图中提供的信息完成后面的填空题（将答案填写在相应的横线上）

（1）该班共有 名学生；

（2）该班学生体考成绩的众数是 ；男生体考成绩的中位数是 ；

（3）若女生体考成绩在37分及其以上，男生体考成绩在38分及其以上被认定为体尖生，则该班共有 名体尖生．

四、解答题：（共2个题，每小题10分） 20．（10分）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

21．（10分）如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1．A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F． （1）试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （2）求ED的长．

五、解答题：（共2个题，每小题12分）

22．（12分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程． 例：解方程x﹣|x﹣1|﹣1=0 解：（1）当x﹣1≥0即x≥1时．|x﹣1|=x﹣1，

22

原方程化为x﹣（x﹣1）﹣1=0，即x﹣x=0， 解得x1=0，x2=1．

∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解

（2）当x﹣1＜0即x＜1时．|x﹣1|=﹣（x﹣1），

原方程化为x+（x﹣1）﹣1=0，即x+x﹣2=0， 解得x1=1，x2=﹣2．

∵x＜1，故x=1舍去，x=﹣2是原方程的解． 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣2．

2

解方程：x+2|x+2|﹣4=0． 23．（12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

2

2

2

六、解答题（本题满分14分） 24．（14分）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1． （1）求l1的解析式；

（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

2015-2016学年四川省自贡市田家炳中学九年级（下）第

一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）（2013?荆门）﹣6的倒数是（ ） A．6

B．﹣6 C．

D．﹣

【分析】根据倒数的定义求解． 【解答】解：﹣6的倒数是﹣．

故选D．

【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（4分）（2011?自贡）函数y=

的自变量x的取值范围是（ ）

A．x≥1 B．x≥1且x≠2 C．x≠2 D．x＞1且x≠2

【分析】让分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数列式求值即可． 【解答】解：由题意得：

，

解得x≥1且x≠2． 故选B．

【点评】考查函数的自变量的取值范围；用到的知识点为：分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数．

3．（4分）（2011?自贡）已知x1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根，则（ ）

A．﹣6 B．6

2

的值等于

C．10 D．﹣10

2

【分析】由x1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求的式子通分后，再利用完全平方公式将两根的平方和变形为完全平方公式与两根之积2倍之差，将求出的两根之和与两根之积代入即可求出值．

2

【解答】解：∵x1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣=﹣6，x1x2==3，

则====10．

故选：C．

【点评】此题考查了根与系数的关系，当一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有解，即b﹣4ac≥0时，可设方程的两解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．

4．（4分）（2012?自贡）若反比例函数

的图象上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那

2

2

么（ ） A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0

【分析】把两点P1（1，y1）和P2（2，y2）分别代入反比例函数y=求出y2、y1的值即可作出判断．

【解答】解：把点P1（1，y1）代入反比例函数y=得，y1=1； 点P2（2，y2）代入反比例函数y=求得，y2=， ∵1＞＞0，

∴y1＞y2＞0． 故选D．

【点评】本题比较简单，考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式． 5．（4分）（2011?自贡）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对我市中学生心理健康现状的调查 B．调查我市冷饮市场雪糕质量情况

C．调查我国网民对日本因地震引发的福岛核事故的看法 D．对我国首架大陆民用飞机各零部件质量的检查 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．

【解答】解：A、对我市中学生心理健康现状的调查，由于人数多，故应当采用抽样调查； B、对我市冷饮市场雪糕质量情况的调查，由于市场上雪糕数量数量众多，普查破坏性较强，应当采用抽样调查的方式；

C、对我国网民对日本困地震引发的福岛核事故的看法的调查，由于人数多，普查耗时长，故应当采用抽样调查；

D、对我国首架大型民用飞机零部件的检查，由于零部件数量有限，而且是首架民用飞机，每一个零部件都关系到飞行安全，故应当采用全面调查； 故选D．

【点评】此题主要考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

6．（4分）（2011?自贡）已知⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，圆心O1，O2的距离为4cm，则两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切

【分析】两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．

若d＞R+r，则两圆相离；若d=R+r，则两圆外切；若d=R﹣r，则两圆内切；若R﹣r＜d＜R+r，则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况． 【解答】解：∵R+r=3+2=5，R﹣r=3﹣2=1， ∴1＜4＜5． ∴两圆相交． 故选B．

【点评】本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系． 7．（4分）（2011?自贡）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）

A．45° B．90° C．l35° D．270°

【分析】因为弧的度数就是它所对圆心角的度数，所以弧的比就是圆心角的比，据此即可求出圆周角的度数．

【解答】解：∵圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧， ∴∠AOB：大角∠AOB=1：3， ∴大角∠AOB=360°×=270°． ∴优弧所对的圆周角为：270÷2=135°， 故选C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，要知道，弧的度数就是它所对圆心角的度数．

8．（4分）（2011?自贡）有下列函数：①y=﹣3x②y=x﹣1③

其中函数值y随自变量x增大而增大的函数有（ ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④

【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，逐一判断． 【解答】解：①y=﹣3x为正比例函数，k＜0，故y随着x的增大而减小； ②y=x﹣1为一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大； ③

为反比例函数，k＜0，故当x＞0时，函数值在第四象限内y随x的增大

④y=x+2x+1，

2

而增大；

22

④y=x+2x+1=（x+1）为二次函数，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小． 只有②③符合题意． 故选C．

【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），应熟练掌握其性质． 9．（4分）（2011?自贡）李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为（ ）

A．37 B．33 C．24 D．21

【分析】此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加． 【解答】解：根据题意得：

第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1=5；

第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13=11； 第，三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37=17． 所以红色部分的面积为：5+11+17=33． 故选B． 【点评】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积． 10．（4分）（2011?自贡）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对（x，y）对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据已知列表得出所有结果，进而得出满足条件的点的个数为：8个，即可求出点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率． 【解答】解：根据题意列表得出： 0 1 2 3 4 5 0 （0，0） （0，1） （0，2） （0，3） （0，4） （0，5） 1 （1，0） （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，0） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，0） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，0） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） ∵数对（x，y）对应平面直角坐标系内的点Q，点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的坐标横纵坐标绝对值都必须小于等于2， ∴满足条件的点的个数为：8个， ∴点Q落在以原点为圆心，半径为故选：A．

的圆上或圆内的概率为：．

【点评】此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）（2011?自贡）某市为解决低收人群众住房难问题，预计在近五年内建成316万平方米的廉租房，数据316万用科学记数法表示并保留两个有效数字是 3.2×10 ．

n

【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将316万用科学记数法表示保留两个有效数字为：3.2×10．

6

故答案为：3.2×10． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法以及有效数字的确定方法．科学记数法的表示形

n

式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（4分）（2011?自贡）如图，△ABC中，AB=BC=6，AC=10，分别以AB，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．

6

6

【分析】根据等腰三角形的性质推知BD是边AC上的中垂线，所以根据勾股定理求得AD=5；通过图形知S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积，所以由圆的面积公式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积． 【解答】解：连接BD， ∵AB=BC=6，AC=10， ∴AD=CD=5， ∴BD=

=

=

，

S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积， =π×3+π×3﹣×10×故答案为：9π﹣5

．

2

2

=9π﹣5．

【点评】本题考查了扇形面积的计算、勾股定理．解题的关键是推知S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积．

13．（4分）（2011?自贡）在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 相切 ．

【分析】根据题意画出相应的图形，然后过C作CD与AB垂直，垂足为D，在直角三角形ACD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边AC的长求出CD的长，即为圆心到直线的距离，与圆C的半径相等，可得圆C与直线AB相切． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：

过C作CD⊥AB，交AB于点D， 在Rt△ACD中，AC=6cm，∠A=30°， ∴CD=AC=3cm，

又∵圆C的半径为3，

则⊙C与AB的位置关系是相切． 故答案为：相切．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系有三种，分别为相切，相交，相离，可以利用d与r比较大小来决定，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当0≤d＜r时，直线与圆相交． 14．（4分）（2011?自贡）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 4 个．

【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故答案为：4．

【点评】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法． 15．（4分）（2011?自贡）如图，一根木棒（AB）长为2a，斜靠在与地面（OM）垂直的墙壁（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°，当木棒A端沿N0向下滑动到A′，

AA′=的路径长为

，B端沿直线OM向右滑动到B′，则木棒中点从P随之运动到P′所经过 ．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=AB=A′B′=OP′，即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=a，则易求出OA′=OA﹣AA′=a，即可得到△A′OB′为等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′﹣∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．

【解答】解：连接OP、OP′，如图， ∵ON⊥OM，P为AB中点， ∴OP=AB=A′B′=OP′，

∵AB=2a ∴OP=a，

当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a， ∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧， ∵∠ABO=60°，

∴∠AOP=30°，OA=a，

∵AA′=（﹣）a，OA′=OA﹣AA′=a， ∴sin∠A′B′O=

=

，

∴∠A′B′O=45°， ∴∠A′OP'=45°

∴∠POP′=∠A′OP′﹣∠AOP=15°， ∴弧PP′的长=

=

πa，

πa．

即P点运动到P′所经过路线PP′的长为故答案为：

．

【点评】本题考查了弧长公式：l=（n为弧所对的圆心角的度数，R为半径）．也考

查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰

直角三角形的性质．

三、解答题（共4个题，每题8分，共32分） 16．（8分）（2016春?自贡校级月考）计算：

+

．

【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：原式=4+1﹣3﹣（+1） =5﹣3﹣﹣1 =4﹣4．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．

17．（8分）（2012?自贡）已知a=

，求代数式

的值．

【分析】在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先把括号里式子通分，再进行分式的乘除． 【解答】解：原式=当a=原式=

时， =

．

×

=，

【点评】本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值． 18．（8分）（2012?自贡）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个． 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）

（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？ 【分析】（1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解； （2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解． 【解答】解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结． 依题意得：

，

解得：2＜x＜4． ∵x取正整数， ∴x=3；x+2=5，

答：弟弟每天编3个中国结，哥哥每天编5个中国结．

（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同， 依题意得：3（m+2）=5m， 解得：m=3．

答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同．

【点评】本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 19．（8分）（2011?自贡）我市某校九年级一班学生参加毕业体考的成绩统计如图所示，请根据统计图中提供的信息完成后面的填空题（将答案填写在相应的横线上）

（1）该班共有 56 名学生；

（2）该班学生体考成绩的众数是 36 ；男生体考成绩的中位数是 36 ；

（3）若女生体考成绩在37分及其以上，男生体考成绩在38分及其以上被认定为体尖生，则该班共有 19 名体尖生． 【分析】（1）根据直方图上所给的数据即可求出总人数；

（2）根据众数：一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，可得到答案．

（3）根据直方图和男女生体尖生的标准分别计算出男女生的人数，再相加即可． 【解答】解：（1）2+2+1+1+3+3+3+5+8+6+5+3+3+4+2+3+1+1=56；

（2）众数是出现次数最多的数，36出现的次数最多，故众数是36；

男生考试的分数分别是：32，32，33，34，34，34，35，35，35，35，35，36，36，36，36，36，36，37，37，37，38，38，38，38，39，39，39，40， 位置处于中间的数是36，36，故中位数是：（36+36）÷2=36；

（3）女生体考成绩在37分及其以上的人数有：5+3+2+1=11（人）， 男生体考成绩在38分及其以上的人数有：4+3+1=8（人） ∴11+8=19．

故答案为：56；36；36；19．

【点评】此题主要考查了看直方图，中位数，众数，关键是正确读图，能从图中获取正确信息．

四、解答题：（共2个题，每小题10分） 20．（10分）（2012?自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；

（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP=90°；

又∵AB=2，∠P=30°， ∴AP=

=

=2

，即AP=2

；

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC． ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠ACP=90°；

又∵D为AP的中点，

∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）； 又∵AP是⊙O的切线，A是切点， ∴AB⊥AP， ∴∠OAD=90°，

∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．

【点评】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． 21．（10分）（2011?自贡）如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1．A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F． （1）试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （2）求ED的长．

【分析】（1）先根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出∠A1=∠A=30°，再根据旋转角为30°得到∠ABA1=30°，从而得到∠A1=∠ABA1，然后根据内错角相等，两直线平行可得A1C1∥AB，同理AC∥BC1，最后根据平行四边形的定义以及菱形的定义即可证明；

（2）过点E作EG⊥AB于点G，根据等腰三角形三线合一的性质可得AG=AB=，再利用锐角三角形函数求出AE的长度，然后根据ED=AD﹣AE代入数据进行计算即可求解． 【解答】解：（1）四边形BC1DA是菱形．理由如下： ∵∠ABC=120°，AB=BC， ∴∠A=（180°﹣120°）=30°， 由题意可知∠A1=∠A=30°， ∵旋转角为30° ∴∠ABA1=30°， ∴∠A1=∠ABA1， ∴A1C1∥AB， 同理AC∥BC1，

∴四边形BC1DA是平行四边形， ∵AB=BC1，

∴四边形BC1DA是菱形；

（2）过点E作EG⊥AB于点G， ∵∠A=∠ABE=30°，AB=1， ∴AG=GB=，

∵cos∠A=，AE=

．

==，

∴ED=AD﹣AE=1﹣

【点评】本题考查了旋转变换的性质，等角对等边的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质以及锐角三角形函数值，经过角度的计算得到相等的角是解题的关键．

五、解答题：（共2个题，每小题12分） 22．（12分）（2011?自贡）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．

2

例：解方程x﹣|x﹣1|﹣1=0 解：（1）当x﹣1≥0即x≥1时．|x﹣1|=x﹣1，

22

原方程化为x﹣（x﹣1）﹣1=0，即x﹣x=0， 解得x1=0，x2=1．

∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解

（2）当x﹣1＜0即x＜1时．|x﹣1|=﹣（x﹣1），

22

原方程化为x+（x﹣1）﹣1=0，即x+x﹣2=0， 解得x1=1，x2=﹣2．

∵x＜1，故x=1舍去，x=﹣2是原方程的解． 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣2．

2

解方程：x+2|x+2|﹣4=0．

【分析】由于x+2的符号不能确定，故应分x+2≥0和x+2＜0两种情况，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，再解关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：（1）当x+2≥0即x≥﹣2时．|x+2|=x+2，

22

原方程化为x+2（x+2）﹣4=0，即x+2x=0， 解得x1=0，x2=﹣2． ∵x≥﹣2，

故原方程的解为x1=0，x2=﹣2；

（2）当x+2＜0即x＜﹣2时．|x+2|=﹣（x+2）， 原方程化为x﹣2（x+2）﹣4=0，即x﹣2x﹣8=0， 解得x1=4，x2=﹣2． ∵x＜﹣2，

故x1=4（不是原方程的解，舍去），x2=﹣2（不是原方程的解，舍去） 综上所述，原方程的解为x=0，x=﹣2． 【点评】本题考查的是含绝对值符号的一元二次方程，在解答此类题目时一定要注意分类讨论．

2

2

23．（12分）（2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

【分析】（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．

（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．

（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可． 【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°， ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°， ∵在△B1CQ和△BCP1中，

：1，设AP1=x，则BE=

x，得

，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）， ∴CQ=CP1；

（2）作P1D⊥CA于D，

∵∠A=30°， ∴P1D=AP1=1， ∵∠P1CD=45°，

∴=sin45°=， ，

∴CP1=P1D=又∵CP1=CQ， ∴CQ=；

（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=∠CBE=30°， ∴AC=BC，

由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE， ∴△AP1C∽△BEC，

∴AP1：BE=AC：BC=：1， 设AP1=x，则BE=

x，

在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴AB=2BC=2， ∴S△P1BE=×=﹣

2

x（2﹣x）=﹣

，

．

x+

2

x

（x﹣1）+

故当x=1时，S△P1BE（max）=

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．

六、解答题（本题满分14分） 24．（14分）（2012?自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1． （1）求l1的解析式；

（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

【分析】（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线l1的解析式；

（2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；

（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径． 【解答】解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1， 依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（﹣1，0），C点坐标不变， 因此，抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三点，

2

设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c，则有：

，

解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，

2

故抛物线l1的解析式为：y=x﹣2x﹣3．

（2）抛物线l1的对称轴为：x=

=1，

如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求． 此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C．

设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：

|P′A1﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边）， 故|P′B1﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大． 设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：

，解得k=b=﹣3，

故直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3． 令x=1，得y=﹣6， 故P（1，﹣6）．

（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况． ①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，

由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上， 则D（1，r），F（1+r，r）． ∵点F（1+r，r）在抛物线y=x﹣2x﹣3上，

22

∴r=（1+r）﹣2（1+r）﹣3，化简得：r﹣r﹣4=0 解得r1=∴此圆的半径为

，r2=

；

（舍去），

2

②当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为综上所述，此圆的半径为

或

．

．

【点评】本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，

而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径．

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