(新课标版)备战2018高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数
更新时间:2024-03-11 16:33:01 阅读量: 综合文库 文档下载
利用导数探求参数的范围问题
利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点,由于导数是高等数学的基础,对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点,成为每年高考的压轴题,因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题,究其原因,其一,基础知识掌握不够到位(导数的几何意义、导数的应用),其二,没有形成具体的解题格式和套路,从而导致学生产生恐惧心理,成为考试一大障碍,本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.
1. 与函数零点有关的参数范围问题
函数f(x)的零点,即f(x)?0的根,亦即函数f(x)的图象与x轴交点横坐标,与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题),进而确定参数的取值范围. 例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数(1)当
在
处取得极值时,若关于的方程
为常数, 在
.
上恰有两个不相等的实数根,
求实数的取值范围. (2)若对任意的围.
思路分析:(1)对函数
,令
,可得的值,利用导数研究
在
的单调性,然后求得
的最值,,不等式
的单
,总存在
,使不等式
成立,求实数 的取值范
即可得到的取值范围;(2)利用导数求出上的最大值,则问题等价于对对任意
,再对
求导,然后讨论,得出
成立,然后构造新函数
调性,即可求出的取值范围.
1
点评:本题主要考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度较大,属于难题.在处理导数大题时,注意分层得分的原则,一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后含参数的问题注意分类讨论,对于恒成立的问题,一般要构造新函数,再利用导数求出函数单调性及最值,涉及到的技巧较多,需多加体会.
2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题
函数y?f(x)在点x?x0处的导数f'(x0)就是相应曲线在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即k?f'(x0),此类试题能与切斜角的范围,切线斜率范围,以及与其他知识综合,往往先求导数,然后转化为关于自变量x0的函数,通过求值域,从而得到切线斜率k的取值范围,或者切斜角范围问题. 例2.已知函数f?x??ex?ax2?bx.
b??1时,求f?x?的单调区间; (1)当a?0 ,(2)设函数f?x?在点P?t , f?t???0?t?1?处的切线为l,直线l与y轴相交于点Q,若点Q的纵坐标恒小于1,求实数a的取值范围.
x思路分析:(Ⅰ)先明确函数定义域,再求函数导数 f'?x??e?1,根据导函数零点进行分类讨论:当
0?,当x??0 ,x???? , 0?时,f'?x??0,因此减区间为??? , ???时,f'?x??0递增区间为
,递
???(Ⅱ)根据导数几何意义得切线的斜率k?f'?t??et?2at?b,再根据点斜式写出切线减区间为?0 ,t2t2t方程y?e?at?bt?e?2at?b?x?t?,得点Q的纵坐标y??1?t?e?at?0?t?1?,即不等式
????(1?t)et?1,?0?t?1?的?1?t?e?at?1恒成立,而不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题::a?t2t2 2
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