08-09第1学期07信计概率论试卷卷A及参考答案

概率论试卷

2008-2009学年第一学期A卷

已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=

0.9772≈89.80

一、单项选择题（每小题3分，共12分）

1、设A、B为两个随机事件，则以下等式正确的是（ ）

(AB)(AB)=A；（A）AB=A∪B；（B）A∪B=AB∪B； （C） （D）AB A∪B 2、设A、B为两个随机事件，当B 发生时、A 必发生，则以下等式正确的是（ ） （A）P(A∪B)=P(B)； （B）P(AB)=P(A)P(B)； （C）P(B|A)=1； （D）P(A|B)=1 3、若pk=

c

(k=1,2, )为某一离散随机变量的分布列，则常数c=（ ）

k(k+1)

（A） 2； （B） 1； （C）2； （D） 3 4、设随机变量X

的密度函数为p(x)=

(x+3)2

4

, ∞<x<∞，

则以下随机变量中服从N(0,1)的是（ ） （A） (X+3)2； （B）

(X+二、填空题（每小题4分，共32分）

（C）(X 3)2； （D

）(X

1、设事件A, B的概率为P(A)=3,P(B)=6， 若A与B互不相容， 则P(AB)=P(AB)= 。

2、口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不放回地任取3个，则取到的球的最大号码为5的概率是

0, x< 1,

6, 1≤x<1,

3、设离散随机变量X的分布函数F(x)= 则X的分布列为。

2,1x2,≤< 1, x≥2,b

,x>0, a 2

4、设连续随机变量X的分布函数F(x)= 100+x

0, x≤0,则常数a=_ _，b=_ _；P{ 1<X<10}=_ 。

5、一复杂系统由100个相互独立工作的部件构成，每个部件正常工作的概率为0.9，

概率论试卷

若以X表示100个部件中正常工作的部件数，则X服从

6、设(X, Y) 在以原点为圆心的单位圆上服从均匀分布， 则 (X, Y) 的联合密度函数p(x,y)= 。

7、设X~N(1,2)，Y~N(3,4)，且X和Y相互独立，而Z=2X+Y，则

E(Z)=，Var(Z)=Z~ 。 8、设X1, ,Xn, 相互独立，且都服从参数为2的泊松分布，则

1nP由辛钦大数定律得∑Xi →

ni=1三、计算及应用题（本题共49分）

1、（6分）三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别是5，3，试求此密码被译出的概率。

2、（8分）已知一批产品中96 %是合格品；检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05；试求 （1）任取一产品，经检验是合格品的概率；

（2）在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率。 3、（9分）学生完成一道作业的时间 X (单位：小时)的密度函数

ax2+x,0≤x≤0.5,

试求 (1) 常数a ； (2) 10分钟以上完成一道作业p(x)=

0,其它,的概率； (3) 学生完成一道作业的平均时间。

6x,0≤x≤y≤1,

4、（9分）设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)= 试求

0,其它, （1）P{X+Y≤1}；（2）边际密度pX(x),pY(y),并讨论X与Y的独立性。 5、（9分）设(X, Y)的联合分布列为

试求X与 Y的协方差Cov(X,Y)及相关系数ρXY。

6、（8分）一包装工平均每3分钟完成一件包装，假设他完成一件包装所用的时间服从指数分布，试求他完成100件包装需要5到6小时的概率(利用中心极限定理)。

概率论试卷

四、证明题（本题7分）

试证连续场合下的卷积公式，即：X与Y是独立的连续随机变量，密度函数分别为pX(x)和pY(y)，则Z=X+Y的密度函数为pZ(z)=∫

+∞ ∞

pX(z y)pY(y)dy。

2008-2009A卷参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1、（B）。 2、（D）。 3、（B）。 4、（B）。 二、填空题（每小题4分，共32分）

2C 112 1

1、 2、3=。3、 。4、_1_，100；0.5。 C1020 1/61/31/2 k

5、b(100,0.9)， P(X=k)=C1000.9k0.1100 k,k=0,1, ,100。

122

,x+y≤1,

7、N(5,12)。 8、。 6、 π

0,其它.三、计算及应用题（本题49分）

1、（6分）解: 令Ai={第i人译出密码},i=1,2,3；A1,A2,A3相互独立且

P(A1)=1/5,P(A2)=1/4,P(A3)=1/3，

所求概率为P(A1∪A2∪A3)=1 P(123)=1 P(1)P(2)P(3)=3/5

2、（8分）解：设A={任取一产品，经检验认为是合格品}，B={任取一产品确是合格品}，则A=BA∪，

（1）P(A)=P(B)P(AB)+P()P(A=0.96×0.98+0.04×0.05=0.9428（2）P(BA)=P(B)P(AB)/P(A)=0.9408/0.9428≈0.9979

3、（9分）解:(1)∫

+∞ ∞121p(x)dx=∫

0.50

a1令

(ax+x)dx=+=1, a=21；

248

2

(2) P{X>6}=∫(3)E(X)=∫

+∞ ∞

(21x2+x)dx=103；

0.50

xp(x)dx=∫

x(21x2+x)dx=小时

4、（9分）解: (1) P{X+Y≤1}=

x+y≤

∫∫1p(x,y)dxdy=∫

1

； 4

1/20

dx∫

1 x

x

6xdy

=∫

1/20

6x(1 2x)dx=

概率论试卷

(2) pX(x)=∫

+∞ ∞

16xdy=6x(1 x),0≤x≤1,

p(x,y)dy = ∫x

0,其它.

y

2 +∞ ∫06xdx=3y,0≤y≤1,

pY(y)=∫p(x,y)dx =

∞

0,其它.

在p (x, y) 的非零区域内p(x,y)≠pX(x)pY(y), 故 X 与 Y 不独立。 5、（9分）解：E(X)= 1 0.3+1 0.7=0.4,

E(X2)=1 0.3+1 0.7=1,Var(X)=E(X2) [E(X)]2=0.84; E(Y)= 1 0.4+1 0.6=0.2,E(Y2)=1 0.4+1 0.6=1,

Var(Y)=E(Y2) [E(Y)]2=0.96;

E(XY)=( 1)( 1) 0.1+( 1)(1) 0.2+(1)( 1) 0.3+(1)(1) 0.4=0,

Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=

0.08;ρXY=

≈ 0.089

6、（8分）解：设Y为该包装工完成100件包装需要的时间（单位：分）， Xi 为

该包装工包装第i件所用时间(单位：分)(i=1,…,100)，则 X1 ,…, X100 独立同分布，Xi ~ Exp (1/3) ,

故E(Xi)=3,Var(Xi)=9,E(Y)=300,Var(Y)=900, 由独立同分布的中心极限定理得

Y 300

近似服从N(0,1)， 30

Y 300

≤2}≈Φ(2) Φ(0)=0.4772。 30

所求概率为P{300≤Y≤360}=P{0≤四、证明题（本题7分）

证：由X与Y独立得（X,Y）的联合密度函数为p(x,y)=pX(x)pY(y),

Z=X+Y的分布函数

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=

x+y≤z

∫∫

p(x,y)dxdy

∫

+∞ ∞

z yp(x)p(y)dx dy，

Y ∫ ∞X

′(z)=从而Z=X+Y的密度函数pZ(z)=FZ

∫

+∞ ∞

pX(z y)pY(y)dy

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