正方形中对角互补结构

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可编辑 正方形专题课----对角互补四边形

一、【知识精析】

四个结论中知2求2

1、∠1=∠2，

2、∠C+∠D=180°，

3、BD=CD,

4、

AE=2

1(AB+AC) 拓展1

1,若∠A=∠CDB=90°，AC=AB,求证（1）∠ADC=45°，（2）DC+DB=2DA.

2,若∠A=90°,AC=AB,∠ADC=45°求证：DC+DB=2DA.

二、例题讲解

例1、已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ．E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，若AE=4cm ，CF=3cm ，且OE⊥OF，则EF 的长为 _________ cm ．

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可编辑 图3E D C

B A 图2E D

C B A 图1E

D C B A

1、如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =α.

⑴如图1，当α=60°时，∠BCE = ；

（图1） （图2） （图3） ⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；

⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE = ；

例2、在图1到图3中，点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点，△MPN 为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD 保持不动，△MPN 沿射线AC 向右平移，平移过程中P 点始终在射线AC 上，且保持PM 垂直于直线AB 于点E ，PN 垂直于直线BC 于点F ．

（1）如图1，当点P 与点O 重合时，OE 与OF 的数量关系为 _________ ；

（2）如图2，当P 在线段OC 上时，猜想OE 与OF 有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；

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可编辑 （3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，OE 与OF 的数量关系为

_________ ；位置关系为 _________ ．

例3、如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q ．

（1）如图1，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明；

（2）如图

2，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想．

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例4、如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ，过P 作PQ⊥BP，PQ 交CD 于Q ，连接BQ 交AC 于G ，若AP=，Q 为CD 中点，则下列结论：

①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD 的面积是16；

其中正确结论的个数是（ ）

A ．

4

B ． 3

C ． 2

D ．

1

例5、如图1，直角∠EPF 的顶点和正方形ABCD 的顶点C 重合，两直角边PE ，PF 分别和AB ，AD 所在的直线交于点E 和F ．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；

（1）如图2，若点P 在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；

（2）如图（3）将（2）中正方形ABCD 改为矩形ABCD 其他条件不变，若AB=m ，BC=n ，直接写出的值．

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例6、如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN⊥AQ 交BC 于点N ，作NP⊥BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD ；③BN+DQ=NQ；④

为定值．其中一定成立的是（ ）

A ．

①②③

B ． ①②④

C ． ②③④

D ． ①②③④

例7、已知，四边形ABCD 是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM 、AN 分别交CB 、DC 与点M 、N ，连接MN ，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH 与AB 有什么数量关系？并证明；

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（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

例8、（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．

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