小学奥数5-4-5 完全平方数及应用（二）.教师版

5-4-5.完全平方数及应用（二）

1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。

教学目标

知识点拨

一、完全平方数常用性质 1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因

数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n?1|N，则p2n|N．

性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个

位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)

例题精讲

模块一、平方差公式运用

【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045？ 【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设这两个数分别是a和b，那么有ab(a-b)=45045,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到

45045。

【答案】不能得到这样的数

【例 2】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设这个数减去63为A2，减去100为B2，则A2?B2??A?B??A?B??100?63?37?37?1， 可知A?B?37，且A?B?1，所以A?19，B?18，这样这个数为182?100?424． 【答案】424

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为

54??A?B??A?B?，由于?A?B?和?A?B?的奇偶性质相同，所以?A?B??A?B?不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．

【答案】不存在这样的数

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为

54??A?B??A?B?，由于?A?B?和?A?B?的奇偶性质相同，所以?A?B??A?B?不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到．

【答案】不存在这样的数

【巩固】 一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该正整数为a，根据题意得a?132?m2，a?231?n2两式相减得?n?m??n?m??99,注意到n?m和n?m的奇偶性相同，都是奇数．因为99?99?1?33?3?11?9，所以n?m?99，n?m?1或

n?m?33，n?m?3或n?m?11，n?m?9．解得n?50，m?49或n?18，m?15或n?10，m?1，但是n?10，m?1不符合是正整数的条件．因此a?492?132?2269，或者152?132?97．所以这个正整数是2269或97．

【答案】2269或97

【例 3】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这两个完全平方数分别是A2和B2，且A2?B2?77，则两个完全平方数的和可以表示为77?2B2，

所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而?A?B??A?B??77，77?7?11?1?77，当

A?B?77，A?B?1时，B取得最大值38，此时两个完全平方数的和最大，为2965；当A?B?11，A?B?7时，B取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．

【答案】最小85，最大2965

【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的

数的差为60，求这三个数．

【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这三个数从大到小分别为A2、B2、C2，那么有?A?B??A?B??80，?A?C??A?C??140，因

为140?2?2?5?7，A?C、A?C同奇同偶，所以有A?C?14，A?C?10或A?C?70，A?C?2，

C?2，分别解得A?12，C?2和A?36，C?34，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，

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