《概率论与数理统计》复习题

《概率论与数理统计》复习题

第一章：随机事件及其概率

1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（ ）

A．A1A B．A1A2 C．A1A2 D．A1A2 2．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（ ） ．．A．P(AB)=0 C．P(AB)=P(A)P(B)

B．P(A∪B)=P(A)+P(B) D．P(B-A)=P(B)

13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=( )

3A．

1141 B． C． D． 1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A?B，则P(A|B)=（ ）

A．0 B．0.4 C．0.8 D．1

5.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件 产品是一等品的概率为（ ）

A．0.20 B．0.30 C．0.38 D．0.57

3126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)?，则P（B）=（ ）

335A.

1234 B. C. D. 55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)= ________.

8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________. 9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的 条件下，第二次取得次品的概率是________.

10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________

11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则 这2个棋子颜色相同的概率为_________.

12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。 ①求病人能够痊愈的概率；

②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？

第二章：随机变量及其分布

1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ ） ?100?,x?100,A．?x2

?x?100?0,?10?,x?0,B．?x

??0,x?013?1?，?x?, D．?222

?其他?0,?1,0?x?2,C．? ?0,其他?2．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f (x)为 ( )

?1?,?1?x?2;A．f(x)??3

?0,其他.??1,?1?x?2;C．f(x)??

0,其他.??3,?1?x?2;B．f(x)??

0,其他.??1??,?1?x?2;D． f(x)??3

?0,其他.??1?3．设随机变量X ~ B?3,?，则P{X ?1}=( )

?3?A．

181926 B． C． D． 272727274.设随机变量X在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2

C．P{2.5

5．设离散型随机变量X的分布律如右，

B．P{1.5

X -1 0 1 则常数C =_________.

P 2C 0.4 C ?Ax2,0?x?1;6．设随机变量X的概率密度f(x)?? 则常数A=_________.

其他,?0,x??1;?0,?0.2,?1?x?0;??7．设离散型随机变量X的分布函数为F (x)=?0.3,0?x?1;?0.6,1?x?2;??x?2,?1,8.设连续型随机变量X的分布函数为

则P{X >1}=_________.

??0，x?0，?π?πF(x)??sinx，0?x?, 其概率密度为f (x)，则f ()=________.

62?π?1,x?,?2?9.设随机变量X~N（2，22），则P{X≤0}=___________。（附：?(1)?0.8413） 10.抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X，则P{X ≥1}=____________. 11.设连续型随机变量X的分布函数为

?1?e?3x,x?0; ， 则X的概率密度f (x)=___________。 F(x)??x?0,?0,12．设随机变量X～U (0, 5)，且Y=2X，则当0≤ y≤10时，Y的概率密度fY (y)=________. 13.设连续型随机变量X的密度函数为

0?x?1?x?f(x)??2?x1?x?2 ，

?0其它?求X的分布函数F (x)。

14.设某种晶体管的寿命X（以小时计）的概率密度为

?100?,f (x)=?x2??0,x?100,x?100.

（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？

（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？

15.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分钟）具有概率密度

x?1?3? f（x）??3e，x?0；??0，其他.某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开. （1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；

（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，写 出Y的分布律，并求P{Y=0}.

第三章：多维随机变量及其分布

1．设二维随机变量(X，Y)的分布律为 Y X 1 2 1 1 102 2 103 2 103 101 101 10则P{XY=2}=( ) 1313A． B． C． D．

510252．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

?4xy,0?x?1,0?y?1;f(x,y)??

0,其他,?则当0?y?1时，(X，Y)关于Y的边缘概率密度为fY ( y )= ( )

11A． B．2x C． D．2y

2y2x3.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(3,4),Y~N(2,9)，，则Z?3X?Y~（ ） A．N(7,21)

,45) B．N(7,27) C．N(7,45) D．N(114.设二维随机变量(X, Y)服从区域G：?1?x?1,?1?y?1上的二维均匀分布，则 P{0?X?1,0?Y?1}=___________.

5.设相互独立的随机变量X，Y均服从参数为1的指数分布，则当x>0，y>0时，(X，Y)的概 率密度f (x，y)=________.

?axy，0?x?1,0?y?1,6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y)= ?则常数a=_______.

0,其他，??1，0?x?1,0?y?1,7. 设二维随机变量(X，Y)的概率密度f (x,y)=?则P{X+Y ≤1}=________.

0,其他，?1?2(x2?y2)e8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度f(x,y)?，则(X，Y)关于X的边缘概率 2π密度fX(x)? ________.

9.设随机变量X，Y相互独立，且P{X≤1}=10.设随机变量X和Y的联合密度为

11，P{Y≤1}=，则P{X≤1,Y≤1}=___________. 231

?2e?2x?y,0?x?y?1,f(x,y)= ? 则P{X>1,Y>1}=___________.

其它,?0,11.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)= ?度为___________.

112.设二维随机变量(X，Y)只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，），（2，0），

3?6x,x?0,y?0,则Y的边缘概率密

其它,?0,且取这些值的概率依次为

1115，，，. 631212（1）写出(X，Y)的分布律；

（2）分别求(X，Y)关于X，Y的边缘分布律.

13.设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为 X P 0 1 41 3 4

Y P 1 2 52 3 5试求二维随机变量（X，Y）的分布律。

?e?(x?y)，x?0,y?014.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x)?? ，

其它?0，（1）分别求(X，Y)关于X和Y的边缘概率密度； （2）问：X与Y是否相互独立，为什么？

第四章：随机变量的数字特征

1.设随机变量X的分布律如下，则D(X)=____________.

X P -1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4 2.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 Y X 0 1 0 1 31 31 1 30 则E(XY)=( )

111A．? B．0 C． D．

99313.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y~B（8，），且X，Y相互独立，

3则D(X-3Y-4)=（ ）

A．-13 B．15 C．19 D．23 4.已知D（X）=1，D（Y）=25，ρ

XY=0.4，则

D（X-Y）=（ ）

A．6 B．22 C．30 D．46

15.设随机变量X与Y相互独立，X ～e(2)，Y～B(6，)，则E(X-Y)=（ ）

2A．?51 B． C．2 D．5 226.设?n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率， 则对于任意的??0，均有limP{|n???p|??}（ ）

nA．=0 B．=1 C．> 0 D．不存在 ?2x,0?x?1;7.设随机变量X的概率密度为f(x)??则E(X)=________.

0,其他,??n8.设随机变量X服从参数为3的指数分布，则D（2X+1）=____________. 9.设E（X）=2，E（Y）=3，E（XY）=7，则Cov（X，Y）=___________. 10.设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为

，则E(XY)=________.

11.设随机变量X～U(0，1)，用切比雪夫不等式估计P(x?11?)?_________． 2312．设随机变量X ~ B(100，0.2)，应用中心极限定理计算P{16?X?24}=__________. (附：Φ(1)=0.8413)

13.设随机变量序列X1，X2，?，Xn，?独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,?, 则?n?X?n???i?i?1?对任意实数x，limP??x??____________.

n??n????????14．设随机变量X的概率密度为

?cx2,?2?x?2；f（x）??

其他.?0试求：（1）常数c；（2）E（X），D（X）；（3）P{|X-E（X）| < D（X）}.

15.设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次

测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975. (1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p; (2)问Y服从何种分布，并写出其分布律； (3)求E(Y).

16.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X服从参数为?的泊松分布。若已知

1P(X=1)=P(X=2)，且该柜台销售情况记为Y（千元），满足Y=X2+2.

2试求：（1）参数?的值；

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率； （3）该柜台每小时的平均销售情况E(Y).

17.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分

布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

第五章：数理统计的基础知识

1.设X1，X2，?，X10为来自总体X～N(?,?2)的样本，则样本均值X~（ ）

?2?2) A．N(?，10?) B．N(?，?) C．N(?，) D．N(?，1010222.设X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则样本方差S2=（ ） 1A．

n?(Xi?1ni?X)

21B．

n?1?(Xi?1ni?X)2

1C．

n?1(Xi?X) D．

n?1i?12n?(Xi?1ni?X)2

3．设x1,x2，?，xn1与y1,y2，?，yn2分别是来自总体N(?1,?2)与N(?2,?2)的两个样本，它们相互独立，且x，y分别为两个样本的样本均值，则x?y所服从的分布为（ ）

1111A．N(?1??2,(?)?2) B．N(?1??2,(?)?2)

n1n2n1n2C．N(?1??2,(12n1?1n2)?2) 2 D．N(?1??2,(12n1?12n2)?2)

4.设随机变量F~F(n1,n2)，则

1~_______. F122Y ~?(2)。 C5.设随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，22)相互独立，则当C=_____时，Z=X 2+

n26.设总体X~N(1,?)，X1, X2,?, Xn为来自该总体的样本，X?1?Xi,则E(X)=_____。

ni?1X??n，则T服从自由度为______的t分布．7.设随机变量X～N(?，22),Y～?2(n)，T=

2Y?32?x,|x|?1;8.设总体X的概率密度为f(x)??2，X1, X2,?, Xn为来自总体X的一个样本，X

?0,其他.?为样本均值，则E(X)=____________.

2

9.设X1, X2, X3, X4为来自总体X~N(μ,σ)的样本，且X?1?xi,则i?14i?1?24?(x4i?x)2~______。

210.设总体X～N (?1,?1)，X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为其样本均值；设总 2体Y～N (?2,?2)，Y1，Y2，?，Yn为来自总体Y的样本，Y为其样本均值，且X与Y相互

独立，则D(X?Y)=________.

第六章：参数估计

1.设总体X ~ N(?,?2)，其中?未知，X1, X2, X3, X4为来自总体X的一个样本，则以下关

121111于?的四个估计：? ?3?X1?X2，?1?(X1?X2?X3?X4)，??2?X1?X2?X3，?664555?4??1X1中，哪一个是?的无偏估计？( ) 7?1 B．??2 C．??3 D．??4 A．?2.设X1,X2,?,Xn为来自正态总体X~N(?,?2)的样本，其中?,?2未知，则?的无偏估计是（ ）

21nA．(Xi?X)2 ?n?1i?11n B．(Xi??)2． ?n?1i?11n1n2C．?(Xi?X) D．?(Xi??)2

ni?1ni?1?1, ??2是总体参数?的两个估3.设总体是X～N（?,2），X1, X2, X3是总体的简单随机样本,??1=计量，且?111?2=1X1?1X2?1X3,其中较有效的估计量是_________. ?X1?X2?X3，

24433342114.设总体X~N(μ,σ2)，X1, X2, X3为来自X的样本，则当常数a=______时，??X1?aX2?X3 ?是未知参数μ的无偏估计。

5.设总体X服从参数为?(?>0)的泊松分布，X1, X2, ?, Xn为X的一个样本，其样本均值 ?=__________. X?2，则?的矩估计值?6.设总体X服从参数为?(??0)的指数分布，X1, X2, ?, Xn为来自总体X的一个样本，

??______. 若X?9，则参数?的矩估计?7.设X1, X2, ?, X25来自总体X的一个样本，X ~ N(?,52)，则?的置信度为0.90的置信区间 长度为____________.(附：u0.05=1.645)

8．设总体X~N(?,?2)，其中?未知，现由来自总体X的一个样本X1, X2, ?, X9，且样本均值X?10，样本标准差s?3，并查得t0.025(8)=2.3，则?的置信度为95%置信区间是_______.

2

?1?x?e?,x?0,9.设总体X的概率密度为f(x,?)???其中??0，X1，X2，?，Xn为来自总体X

?0,x?0,?的样本.（1）求E(X);（2）求未知参数?的矩估计?.

^??e??x,x?010.设总体X服从指数分布，其概率密度为fX(x)??，其中??0为未知

x?0?0,参数，X1，X2，?，Xn为样本，求?的极大似然估计。

11.某生产车间随机抽取9件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下：

21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48

根据长期经验，该产品的直径服从正态分布N（?，0.92），试求出该产品的直径?的置信度 为0.95的置信区间.(?0.025=1.96, ?0.05=1.645)(精确到小数点后三位)

12.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（μ,σ），从该车床加工

2的零件中随机抽取4个，测得样本方差s2?，试求：总体方差σ2的置信度为95%的置信

152222区间.（附：?0,?0,?0.025(3)?9.348.975(3)?0.216,?0.025(4)?11.143.975(4)?0.484）

2

第七章：假设检验

1.设总体X服从正态分布N（μ，1），x1，x2，?，xn为来自该总体的样本，x为样本均值，s为样本标准差，欲检验假设H0∶μ=μ0，H1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.x??0s/n

B.n(x??0)

C.

x??0s/n?1

D.n?1(x??0)

1n2.设总体X~N(?,?)，?未知，X1，X2，…，Xn为样本，s?(xi?x)2，检验?n?1i?12222假设H0∶?2=?0时采用的统计量是（ ）

A.t?x??s/n2~t(n?1) B. t?x??s/n~t(n)

C.

??(n?1)s2?20~?(n?1)

2D.

??2(n?1)s2?20~?2(n)

3.设总体X~N(μ, σ2)，X1，X2，?，Xn为来自该总体的一个样本, 对假设检验问题

22H0:?2??0?H1:?2??0，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________.

4.在假设检验中，在原假设H0不成立的情况下，样本值未落入拒绝域W，从而接受H0，称这种错误为第___________类错误.

5.设样本x1，x2，?，xn来自正态总体N（μ，9），假设检验问题为H0∶μ=0，H1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。

6.设两个正态总体X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),其中?1??2??未知，检验H0： H1：分别从X，Y两个总体中取出9个和16个样本，其中，计算得x=572.3, ?1??2，?1??2，

2?149.25，s2y?569.1,样本方差s12?141.2，则t检验中统计量t =___________（要求计算

22222出具体数值）

27．已知某厂生产的一种元件，其寿命服从均值?0=120，方差?0?9的正态分布.现采用一

种新工艺生产该种元件，并随机取16个元件，测得样本均值x=123，从生产情况看，寿命 波动无变化.试判断采用新工艺生产的元件平均寿命较以往有无显著变化.(??0.05)（附： u0.025=1.96）

8.设某厂生产的零件长度X～N(?,?2)(单位：mm)，现从生产出的一批零件中随机抽取了 16件，经测量并算得零件长度的平均值x=1960，标准差s=120，如果?2未知，在显著水平??0.05下，是否可以认为该厂生产的零件的平均长度是2050mm?（t0.025(15)=2.131）

9.设某商场的日营业额为X万元，已知在正常情况下X服从正态分布N(3.864，0.2)，十一黄金周的前五天营业额分别为：4.28、4.40、4.42、4.35、4.37（万元） 假设标准差不变，问十一黄金周是否显著增加了商场的营业额．（取α=0.01， u0.01=2.32，u0.005=2.58）

第八章：方差分析与回归分析

1．要检验变量y和x之间的线性关系是否显著，即考察由一组观测数据(xi，yi)，i=1，2，…，n，

????x是否有实际意义，需要检验假设( ) ???得到的回归方程y01A．H0∶?0?0,H1∶?0?0

B．H0∶?1?0,H1∶?1?0

??0,H∶?C．H0∶?01?0?0 ??0,H∶?D．H0∶?11?1?0

2．设有一组观测数据(xi,yi)，i=1，2，?，n,其散点图呈线性趋势，若要拟合一元线性回归

????x,i?1,2,?,n，则估计参数β0，β1时应使（ ） ????x，且y?i?????方程y01i01A．

?(yi?1ni?i)最小 ?yB．

?(yi?1nni?i)最大 ?yC．

?i?1n?i)(yi?y2

最小 D．

?(yi?1i?i)2最大 ?y???3.已知一元线性回归方程为y??0?5x,且x=2, y=6，则?0=___________.

4.设由一组观测数据(xi,yi)(i=1，2，…，n)计算得x?150,y?200,lxx?25,lxy?75则y对x的线性回归方程为________________．

5.某公司研发了一种新产品，选择了n个地区A1，A2，?，An进行独立试销.已知地区Ai投 入的广告费为xi，获得的销售量为yi，i=1，2，?，n.研发人员发现（xi，yi）（i=1，2，?， n）满足一元线性回归模型

,i?1,　2　,　?　,n，　　　　　　　　?yi??0??1xi??i　 ?2?，?n相互独立，具有相同分布N（0，?），??1,?2，?=___________. 则β1的最小二乘估计?1

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